整數快速冪：
為了引出矩陣的快速冪，以及說明快速冪算法的好處，我們可以先求整數的冪。
如果現在要算X^8：則 XXXXXXXX 按照尋常思路，一個一個往上面乘，則乘法運算進行7次。
(XX)(XX)(XX)(XX)
這種求法，先進行乘法得X^2,然后對X^2再執行三次乘法，這樣去計算，則乘法運算執行4次。已經比七次要少。所以為了快速算的整數冪，就會考慮這種結合的思想。
現在要考慮應該怎么分讓計算比較快。接下來計算整數快速冪。例如：X^19次方。
19的二進制為：1 0 0 1 1 。
由(X^m)(X^n) = X^(m+n)
則X^19 = (X^16)(X^2)*(X^1)
那么怎么來求解快速冪呢。請看下列代碼：
求解X^N的值。
///整數快速冪，計算x^N

int QuickPow(int x,int N) {int res = x;int ans = 1;while(N){if(N&1){ans = ans * res;}res = res*res;N = N>>1;}return ans; }

那么讓我們來看看下面這段代碼到底對不對：
對于X^19來說：
19的二進制為：1 0 0 1 1
初始：

ans = 1; res = x;

則10011最后一位是1，所以是奇數。

ans = res*ans = x; res = res*res = x^2;

然后右移一位，1 0 0 1
則1001最后一位是1，所以是奇數

ans = res*ans = x*(x^2) = x^3 res = res*res = x^2*x^2 = x^4

然后右移一位，1 0 0
則最后一位是0，所以當前的數為偶數。

res = res*res = x^4*x^4 = x^8

然后右移一位，1 0
最后一位是0，當前數是偶數。

res = res*res =x^8*x^8= x^16

然后右移一位，1
最后一位是1，當前數是奇數

ans = ans*res = (x^3)*（x^16） = x^19 res = res*res = x^32

可以看出res = X^m,m 始終是與二進制位置上的權值是相對應的。當二進制位為0時，我們只讓resres使冪指數2.對應下一個二進制位的權值，當二進制位為1時，ans = ans*res 。則乘上了該乘的X冪次。
2.矩陣快速冪算法篇

看了一個整數數的快速冪，現在我們就正式介紹矩陣快速冪算法。假如現在有一個n*n的方陣A。所謂方陣就是行數和列數相等的矩陣，先給出一個數M，讓算矩陣A的M次冪，A^M.在此只要求計算并不需要去深究這個矩陣到底是什么含義。則上面代碼可以化為。

上面只是簡單的計算矩陣的冪，大家會感覺很抽象，因為上述矩陣并沒有具體的含義，
現在就舉例說明矩陣快速冪在實際運用中的意義：
以最常見的斐波那契數列為例：眾所周知：斐波那契數列遞推公式為：
F[n] = F[n-1] + F[n-2]. 由f[0]=0,f[1]=1,可以遞推后面的所有數。
在以前，我們會常常用for循環，這是最直接的算法。
POJ 3070 題目，讓求斐波那契數列，其n更是高達10億。
直接遞推的局限性：
（1）本題讓你遞推的斐波那契數n高達10億。測試時間僅1秒的時間，for循環用遞推公式遞歸導致超時。
（2）想要打表實現隨機訪問根本不可能，先把斐波那契數列求到10億，然后想去進行隨機訪問。題目未給出那么多內存，數組也開不到10億。
因此它可以用矩陣快速冪來寫。
觀察f[n] = f[n-1]+f[n-2] 第n相是由第n-1項和第n-2項遞推而來。
同理，第n+1項由第n項和第n-1項遞推而來。
因此可以用矩陣表示：

則，知道f[n-1]、f[n-2]則乘上左方矩陣，就能得到等號左側矩陣，第一個位置
即為要求的f[n]。

轉載于:https://www.cnblogs.com/A-Little-Nut/p/10352772.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的快速幂矩阵的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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