一、問題提出

　　已知一個n維向量A，和一個標量k，可將它們進行標量乘法運算，得到向量B——
B = kA

　　那么，若只知兩個共線的向量A、B，如何求k呢，既——
k = B/A = ？

二、解決辦法

　　我們可以將上下均乘以（點積，dot product）“A”——
k = B/A
= (B . A)/(A . A)
= (B . A)/( |A|^2 )
= (b1*a1 + b2*a2 + b3*a3 + ... + bn*an) / ( a1*a1 + a2*a2 + a3*a3 + ... + an*an )

三、幾何解釋、推廣到非共線向量

　　先回憶一下向量點積的的幾何算法——
A . B = |A| * |B| * cos(th)
注：th是兩個向量的夾角

　　將上式除以 |A|（向量A的模長），可得出向量B在向量A上的投影的模長——
| Prj(B)A | = |A| * |B| * cos(th) / |A| = |B| * cos(th)

　　將投影的模長再除以 |A|，既是 投影模長在總長度的比例——
k = | Prj(B)A | / |A| = (|B|/|A|) * cos(th)

　　對于共線向量而言，很明顯，就是先前欲求的標量k值。
　　對于非共線向量而言，則是投影向量的相關k值。

　　也就是說，不論是否共線，該除法都有值（除非A是零向量）。
　　在很多時候，這個特性很有用。比如在寫圖形編輯系統時，需要計算點擊位置是線段的哪一部分。因為鼠標點擊坐標是有理數（比例尺），而線段的斜率有可能是無理數，這會造成兩個向量不是共線的。而本文的除法算法，可以穩健的處理這一情況。而且投影向量更符合一般的操作習慣。

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的向量除法——标量乘法的逆运算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。