(平均遍歷定理). 設 $X$ 是自反 Banach 空間, $V\in \scrB(X)$ 并且存在常數 $K$, 使得 $\sen{V^n}\leq K\ (n=1,2,\cdots)$, 令 $$\bex T_n=\frac{1}{n}\sex{I+V+\cdots+V^{n-1}}. \eex$$ 證明: (1) $\sed{T_n}$ 在 $\scrN(I-V)\oplus \overline{\scrR(I-V)}$ 上強收斂于一個線性算子 $P$, $P^2=P$ 且 $\sen{P}\leq K$. ?(2) $X=\scrN(I-V)\oplus \overline{\scrR(I-V)}$, 從而 $\sed{T_n}$ 在 $X$ 上強收斂于 $P$.

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證明: ?

(1) 對 $y\in (I-V)x\in \scrR(I-V)$, 有 ????$$\bex ????T_ny=\frac{1}{n}(I+V+\cdots+V^{n-1})(I-V)x ????=\frac{1}{n}(I-V^n)x, ????\eex$$ ????而 ????$$\bex ????\sen{T_ny}\leq\frac{1+K}{n}\sen{x}\to 0\quad\sex{n\to\infty}. ????\eex$$ ????由此, ????$$\bee\label{1} ????y\in \scrR(I-V)\ra T_ny\to 0\ (n\to\infty). ????\eee$$ ????對 $y\in \overline{\scrR(I-V)}$, 任意固定的 $\ve>0$, ????$$\bex ????\exists\ y_\ve\in \scrR(I-V),\st \sen{y_\ve-y}<\frac{\ve}{2K}. ????\eex$$ ????又由 \eqref{1} 知 $T_ny_\ve\to 0\ (n\to\infty)$; 即對該 $y_\ve$, ????$$\bex ????\exists\ N,\st n\geq N\ra \sen{T_ny_\ve}<\frac{\ve}{2}. ????\eex$$ ????于是當 $n\geq N$ 時, ????$$\beex ????\bea ????\sen{T_ny}&\leq \sen{T_n(y-y_\ve)}+\sen{T_ny_\ve}\\ ????&\leq \sen{T_n}\cdot \sen{y-y_\ve} ????????+\sen{T_ny_\ve}\\ ????&\leq K\cdot \frac{\ve}{2K}+\frac{\ve}{2}\\ ????&=\ve. ????\eea ????\eeex$$ ????由此, ????$$\bee\label{2} ????y\in\overline{\scrR(I-V)}\ra T_ny\to 0\ (n\to\infty). ????\eee$$ ????再者, 對 $y\in \scrN(I-V)$ 有 $(I-V)y=0$, $y=Vy$, 而 $y=Vy=V^2y=\cdots$, ????$$\bex ????T_ny=\frac{1}{n}(I+V+\cdots+V^{n-1})y ????=\frac{1}{n}\cdot ny=y. ????\eex$$ ????由此, ????$$\bee\label{3} ????y\in \scrN(I-V)\ra T_ny\to y\ (n\to\infty). ????\eee$$??? 由 \eqref{2}, \eqref{3}, 我們知 ????$$\bee\label{4} ????\scrN(I-V)\cap \overline{\scrR(I-V)}=\sed{0}. ????\eee$$ ????事實上, ????$$\beex ????\bea ????y\in \scrN(I-V)\cap \overline{\scrR(I-V)} ????&\ra \left\{\ba{ll} ????T_ny\to 0,&\mbox{ 由 }\eqref{2}\\ ????T_ny\to y,&\mbox{ 由 }\eqref{3} ????\ea\right.\\ ????&\ra y=0. ????\eea ????\eeex$$ ????據 \eqref{2},\eqref{3},\eqref{4}, 我們有 ????$$\beex ????\bea ????&\quad y\in \scrN(I-V)\oplus \overline{\scrR(I-V)}\\ ????&\ra y=y_1+y_2\quad\sex{y_1\in \scrN(I-V),\ y_2\in \overline{\scrR(I-V)}}\\ ????&\ra T_ny=T_ny_1+T_ny_2\to y_1+0=y_1\quad(n\to\infty). ????\eea ????\eeex$$ ????定義算子 ????$$\bex ????\ba{cccc} ????P:&\scrN(I-V)\oplus \overline{\scrR(I-V)}&\to&\scrN(I-V)\oplus \overline{\scrR(I-V)}\\ ????&y&\mapsto&y_1, ????\ea ????\eex$$ ????則易知 $P$ 是線性的, $P^2=P$, 且由 ????$$\bex ????\sen{Py}=\sen{\lim_{n\to\infty}T_ny} ????=\lim_{n\to\infty}\sen{T_ny} ????\leq K\sen{y}\quad\sex{\forall\ y\in \scrN(I-V)\oplus\overline{\scrR(I-V)}} ????\eex$$ ????知 $\sen{P}\leq K$.

(2) 對 $x\in X$, 由 ????$$\bex ????\sen{T_nx}\leq \sen{T_n}\cdot \sen{x}\leq K\sen{x} ????\eex$$ ????知 $\sed{\sen{T_nx}}$ 有界. 由 $X$ 的自反性知\footnote{參見張恭慶泛函分析講義第二章第五節的定理 2.5.28---自反 Banach 空間中的有界點列一定有弱收斂的子列.} ????$$\bex ????\exists\ \sed{n_j},\ y\in X,\st T_{n_j}x\rightharpoonup y\ \sex{\mbox{弱收斂}}. ????\eex$$ ????于是對 $\forall\ f\in \scrN(I-V^*)$, ????$$\beex ????\bea ????\sef{f,y}&=\lim_{j\to\infty} ????????\sef{f,T_{n_j}x}\\ ????????&=\lim_{j\to\infty} ????????????\sef{f,\frac{x+Vx+\cdots+V^{n_j-1}x}{n}}\\ ????????&=\lim_{j\to\infty}\frac{1}{n_j} ????????????\sez{\sef{f,x}+\sef{f,Vx} ????????????????+\cdots+\sef{f,V^{n_j-1}x}}\\ ????????&=\lim_{j\to\infty}\sef{f,x}\\ ????????&\quad\sex{f\in \scrN(I-V^*)^\perp\ra \sef{(I-V^*)f,x}=\sef{f,(I-V)x}=0\atop\ra f(x)=f(Vx)=f(V^2x)=\cdots}\\ ????????&=\sef{f,x}. ????\eea ????\eeex$$ ????故\footnote{這里及以后我們利用里家里蹲大學數學雜志第223期的結果.} ????$$\beex ????\bea ????&\quad\sef{f,x-y}=0,\quad \forall\ f\in\scrN(I-V^*)\\ ????&\ra x-y\in \scrN(I-V^*)^\perp=\overline{\scrR(I-V)}. ????\eea ????\eeex$$ ????往證 ????$$\bex ????y\in \scrN(I-V)=\overline{\scrR(I-V^*)}^\perp, ????\eex$$ ????而有結論: ????$$\bex ????X=\scrN(I-V)\oplus \overline{\scrR(I-V)}. ????\eex$$ ?????事實上, 對 $\forall\ (I-V^*)f\in \scrR(I-V^*)$, ????$$\beex ????\bea ????\sef{(I-V^*)f,y} ????&=\lim_{j\to\infty} ????????\sef{(I-V^*),\frac{x+Vx+\cdots+V^{n_j-1}x}{n_j}}\\ ????&=\lim_{j\to\infty}\sef{f,(I-V)\frac{x+Vx+\cdots+V^{n_j-1}x}{n_j}}\\ ????&=\lim_{j\to\infty}\sef{f,\frac{x-V^{n_j}x}{n_j}}\\ ????&=0\\ ????&\quad\sex{\sev{\sef{f,\frac{x-V^{n_j}x}{n}}}\leq ????????\sen{f}\cdot\frac{1+K}{n}\sen{x}}. ????\eea ????\eeex$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的平均遍历定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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