本文首發于我的個人博客：尾尾部落

二分查找法作為一種常見的查找方法，將原本是線性時間提升到了對數時間范圍，大大縮短了搜索時間，但它有一個前提，就是必須在有序數據中進行查找。

二分查找很好寫，卻很難寫對，據統計只有10%的程序員可以寫出沒有bug的的二分查找代碼。出錯原因主要集中在判定條件和邊界值的選擇上，很容易就會導致越界或者死循環的情況。

下面對二分查找及其變形進行總結：

1. 最基本的二分查找

public int binarySearch(int[] A, int target, int n){int low = 0, high = n, mid;while(low <= high){mid = low + (high - low) / 2;if(A[mid] == target){return mid;}else if(A[mid] > target){high = mid - 1;}else{low = mid + 1;}}return -1; }

其中，有幾個要注意的點：

循環的判定條件是：low <= high

為了防止數值溢出，mid = low + (high - low)/2

當 A[mid]不等于target時，high = mid - 1或low = mid + 1

leetcode參考：Search Insert Position

2. 查找目標值區域的左邊界/查找與目標值相等的第一個位置/查找第一個不小于目標值數的位置

A = [1,3,3,5, 7 ,7,7,7,8,14,14]
target = 7
return 4

public int binarySearchLowerBound(int[] A, int target, int n){int low = 0, high = n, mid;while(low <= high){mid = low + (high - low) / 2;if(target <= A[mid]){high = mid - 1;}else{low = mid + 1;}}if(low < A.length && A[low] == target)return low;elsereturn -1; }

3. 查找目標值區域的右邊界/查找與目標值相等的最后一個位置/查找最后一個不大于目標值數的位置

A = [1,3,3,5,7,7,7, 7 ,8,14,14]
target = 7
return 7

public int binarySearchUpperBound(int[] A, int target, int n){int low = 0, high = n, mid;while(low <= high){mid = low + (high - low) / 2;if(target >= A[mid]){low = mid + 1;}else{high = mid - 1;}}if(high >= 0 && A[high] == target)return high;elsereturn -1; }

此題以可變形為查找第一個大于目標值的數/查找比目標值大但是最接近目標值的數，我們已經找到了最后一個不大于目標值的數，那么再往后進一位，返回high + 1，就是第一個大于目標值的數。

劍指offer：數字在排序數組中出現的次數

4. 查找最后一個小于目標值的數/查找比目標值小但是最接近目標值的數

此題以可由第 2 題變形而來，我們已經找到了目標值區域的下（左）邊界，那么再往左退一位，即low - 1，就是最后一個小于目標值的數。其實low - 1也是退出循環后high的值，因為此時 high剛好等于low - 1，它小于low，所以 while 循環結束。我們只要判斷high是否超出邊界即可。

A = [1,3,3, 5 ,7,7,7,7,8,14,14]
target = 7
return 3

int low = 0, high = n, mid; while(low <= high){mid = low + (high - low) / 2;if(target <= A[mid]){high = mid - 1;}else{low = mid + 1;} } return high < 0 ? -1 : high;

5. 查找第一個大于目標值的數/查找比目標值大但是最接近目標值的數

此題以可由第 3 題變形而來，我們已經找到了目標值區域的上（右）邊界，那么再往右進一位，即high + 1，就是第一個大于目標值的數。其實high + 1也是退出循環后low的值，因為此時 low剛好等于high + 1，它大于high，所以 while 循環結束。我們只要判斷low是否超出邊界即可。

A = [1,3,3,5,7,7,7,7, 8 ,14,14]
target = 7
return 8

int low = 0, high = n, mid; while(low <= high){mid = low + (high - low) / 2;if(target >= A[mid]){low = mid + 1;}else{high = mid - 1;} } return low > n ? -1 : low;

6. 旋轉數組返回最小元素

6.1 查找旋轉數組的最小元素（假設不存在重復數字）

LeetCode: Find Minimum in Rotated Sorted Array
Input: [3,4,5,1,2]
Output: 1

public int findMin(int[] nums) {int len = nums.length;if(len == 0)return -1;int left = 0, right = len - 1, mid;while(left < right){mid = left + (right - left) / 2;if(nums[mid] > nums[right])left = mid + 1;else{right = mid;}}return nums[left]; }

注意這里和之前的二分查找的幾點區別：

循環判定條件為left < right，沒有等于號

循環中，通過比較nums[left]與num[mid]的值來判斷mid所在的位置:

• 如果nums[mid] > nums[right]，說明前半部分是有序的，最小值在后半部分，令left = mid + 1；
• 如果nums[mid] <= num[right]，說明最小值在前半部分，令right = mid。

最后，left會指向最小值元素所在的位置。

6.2 查找旋轉數組的最小元素（存在重復項）

LeetCode: Find Minimum in Rotated Sorted Array II
劍指offer：旋轉數組的最小數字
Input: [2,2,2,0,1]
Output: 0

public int findMin(int[] nums) {int len = nums.length;if(len == 0)return -1;int left = 0, right = len - 1, mid;while(left < right){mid = left + (right - left) / 2;if(nums[mid] > nums[right])left = mid + 1;else if(nums[mid] < nums[right])right = mid;elseright--;}return nums[left]; }

和之前不存在重復項的差別是：當nums[mid] == nums[right]時，我們不能確定最小值在 mid的左邊還是右邊，所以我們就讓右邊界減一。

7. 在旋轉排序數組中搜索

7.1 不考慮重復項

LeetCode: Search in Rotated Sorted Array

法一：

• 先利用方法 6.1 查找數組中的最小元素，即確定分界點的位置
• 把旋轉的數組當成偏移，用(offset + mid) % len來求真實的 mid 的位置。
• 然后用二分查找來定位目標值

public int search(int[] nums, int target) {int len = nums.length;if(len == 0)return -1;int left = 0, right = len - 1, mid;while(left < right){mid = left + (right - left) / 2;if(nums[mid] > nums[right])left = mid + 1;elseright = mid;}int offset = left;left = 0;right = len - 1;while(left <= right){mid = left + (right - left) / 2;int realmid = (mid + offset) % len;if(nums[realmid] == target)return realmid;else if(nums[realmid] < target)left = mid + 1;elseright = mid - 1;}return -1; }

法二：其實沒有必要找到旋轉數組的分界點，對于搜索左側還是右側我們是可以根據mid跟high的元素大小來判定出來的，直接根據target的值做二分搜索就可以了。

public int search(int[] nums, int target) {int len = nums.length;if(len == 0)return -1;int left = 0, right = len - 1, mid;while(left <= right){mid = left + (right - left) / 2;if(nums[mid] == target)return mid;else if(nums[left] <= nums[mid]){if(target < nums[mid] && target >= nums[left])right = mid - 1;elseleft = mid + 1;}else if(nums[mid] <= nums[right]){if(target > nums[mid] && target <= nums[right])left = mid + 1;elseright = mid - 1;}}return -1; }

7.2 存在重復項

LeetCode: Search in Rotated Sorted Array II

public boolean search(int[] nums, int target) {int len = nums.length;if(len == 0)return false;int left = 0, right = len - 1, mid;while(left <= right){mid = left + (right - left) / 2;if(nums[mid] == target)return true;else if(nums[mid] > nums[right]){if(target < nums[mid] && target >= nums[left])right = mid;elseleft = mid + 1;}else if(nums[mid] < nums[right]){if(target > nums[mid] && target <= nums[right])left = mid + 1;elseright = mid;}else{right --;} }return false; }

8. 二維數組中的查找

劍指offer：二維數組中的查找

二維數組是有序的，從右上角來看，向左數字遞減，向下數字遞增。因此可以利用二分查找的思想，從右上角出發：

• 當要查找數字比右上角數字大時，下移；
• 當要查找數字比右上角數字小時，左移；

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[算法总结] 二分查找的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。