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[藍橋杯][2014年第五屆真題]地宮取寶

題目描述

X 國王有一個地宮寶庫。是 n x m 個格子的矩陣。每個格子放一件寶貝。每個寶貝貼著價值標簽。

地宮的入口在左上角，出口在右下角。

小明被帶到地宮的入口，國王要求他只能向右或向下行走。

走過某個格子時，如果那個格子中的寶貝價值比小明手中任意寶貝價值都大，小明就可以拿起它（當然，也可以不拿）。

當小明走到出口時，如果他手中的寶貝恰好是k件，則這些寶貝就可以送給小明。

請你幫小明算一算，在給定的局面下，他有多少種不同的行動方案能獲得這k件寶貝。

輸入

輸入一行3個整數，用空格分開：n m k (1< =n,m< =50, 1< =k< =12)

接下來有 n 行數據，每行有 m 個整數 Ci (0< =Ci< =12)代表這個格子上的寶物的價值。

輸出

要求輸出一個整數，表示正好取k個寶貝的行動方案數。該數字可能很大，輸出它對 1000000007 取模的結果。

樣例輸入

2 3 2
1 2 3
2 1 5

樣例輸出

14

思路

這個題目分析題意可以得到是一個dfs遞歸的題目，因為要搜索出每一種可能的情況。并且這個問題不需要回溯（只是在地圖上有兩個方向可以選擇，并且可以選擇是否拾起物體，回溯是不取這個物體，這個物體需要另做他用，這個問題不需要考慮）。
接下來就是如何設計這個dfs。
1.首先考慮遞歸參數。當前走到的地圖的位置（i，j），當前選擇出的物品的數目cnt，當前的最大物品的質量max。
2.遞歸出口是走到了地圖的出口，如果當前物品數量等于k，ans++，如果當前的物品數量等于k-1并且最后一個物品的重量大于max，ans++。另外一個遞歸出口是走出邊際和選擇的物品數量大于k。
dfs代碼如下：

void dfs(int i,int j,int cnt,int max){if(cnt>k||i>n||j>m)return;if(i==n&&j==m){if(cnt==k||(cnt==k-1&&maze[i][j]>max))(++ans)%MOD;return;}dfs(i,j+1,cnt,max);dfs(i+1,j,cnt,max);if(maze[i][j]>max){dfs(i+1,j,cnt+1,maze[i][j]);dfs(i,j+1,cnt+1,maze[i][j]);}}

這樣會超時，因為在每一點可以選擇的方案是2 or 4，這是一個指數級別搜索量。考慮到到達某一個點會有多種方案并且他們的狀態是相同的，所以之前的方案存在重復計算，應該設計記憶型搜索,記憶遞歸函數應該返回一個值。

代碼

// 遞歸改記憶型遞歸并不復雜，由于存在重復計算的情況 // 重復計算，就是dfs的參數一樣，也就是達到目前的狀態可能有許多方式，運用記憶化搜索，對于重復的位置只計算一次。 // 所以用一個標記數組，數組的參數與dfs的參數相同 long long dfs2(int i,int j,int cnt,int max){//查緩存 if(cache[i][j][cnt][max+1]!=-1)return cache[i][j][cnt][max+1];long long ans=0;//記得一定是局部變量 if(cnt>k||i>n||j>m)return 0;if(i==n&&j==m){if(cnt==k||(cnt==k-1&&maze[i][j]>max))++ans;return ans;}ans+=dfs2(i,j+1,cnt,max);ans+=dfs2(i+1,j,cnt,max);if(maze[i][j]>max){ans+=dfs2(i+1,j,cnt+1,maze[i][j]);ans+=dfs2(i,j+1,cnt+1,maze[i][j]);} // 在return之前一定寫緩存 cache[i][j][cnt][max+1]=ans%MOD;return ans%MOD; }

完整代碼

#include<iostream> #include<cmath> #include<sstream> #include<cstring> using namespace std; const int MOD=1000000007; const int N=55; int maze[N][N]; int vis[N][N];int n,m,k;long long ans=0;int cache[N][N][13][14]; void dfs(int i,int j,int cnt,int max){if(cnt>k||i>n||j>m)return;if(i==n&&j==m){if(cnt==k||(cnt==k-1&&maze[i][j]>max))(++ans)%MOD;return;}dfs(i,j+1,cnt,max);dfs(i+1,j,cnt,max);if(maze[i][j]>max){dfs(i+1,j,cnt+1,maze[i][j]);dfs(i,j+1,cnt+1,maze[i][j]);}} // 遞歸改記憶型遞歸并不復雜，由于存在重復計算的情況 // 重復計算，就是dfs的參數一樣，也就是達到目前的狀態可能有許多方式，運用記憶化搜索，對于重復的位置只計算一次。 // 所以用一個標記數組，數組的參數與dfs的參數相同 long long dfs2(int i,int j,int cnt,int max){//查緩存 if(cache[i][j][cnt][max+1]!=-1)return cache[i][j][cnt][max+1];long long ans=0;//記得一定是局部變量 if(cnt>k||i>n||j>m)return 0;if(i==n&&j==m){if(cnt==k||(cnt==k-1&&maze[i][j]>max))++ans;return ans;}ans+=dfs2(i,j+1,cnt,max);ans+=dfs2(i+1,j,cnt,max);if(maze[i][j]>max){ans+=dfs2(i+1,j,cnt+1,maze[i][j]);ans+=dfs2(i,j+1,cnt+1,maze[i][j]);} // 在return之前一定寫緩存 cache[i][j][cnt][max+1]=ans%MOD;return ans%MOD; } int main(){cin>>n>>m>>k;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++){cin>>maze[i][j];}memset(cache,-1,sizeof(cache)); // dfs(1,1,0,-1);cout<<dfs2(1,1,0,-1)<<endl;//由于max最開始的值為-1，由于數組中不能訪問-1.，所以做一個技巧，max+1 return 0; }

轉載于:https://www.cnblogs.com/gzr2018/p/10459927.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【蓝桥杯真题】地宫取宝(搜索-记忆化搜索详解)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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