字典序問(wèn)題

求最優(yōu)化：按位貪心

第k小

按位枚舉，看滿足的是否存在k個(gè)

定義集合字典序?yàn)榕判蚝蟮淖值湫?/span>

第k大子集：按位貪心（二分？看情況）

比某個(gè)集合大k：枚舉LCP「LibreOJ NOI Round #1」驗(yàn)題

?

字典序比較：枚舉LCP

例題1

給出 ? 個(gè)字符串，字符集為 10
每次輸入一個(gè) 10 的排列來(lái)規(guī)定 10 種字符的字典序
詢問(wèn)第 ? 個(gè)串在這種字典序下排名第幾

LCP

建trie樹(shù)，兩者字典序不同一定有分叉，而分叉走下去的字符是比較關(guān)鍵。cnt[a][b]表示到根路徑上，因?yàn)樽址鸻，b之差而分叉的個(gè)數(shù)

離線+dfs

已知小串的子串問(wèn)題

套路：KMP、AC 自動(dòng)機(jī)
AC 自動(dòng)機(jī)和子串的位置關(guān)系、fail 指針

例題 1

? 給出一棵樹(shù)
? 每次給出一個(gè)串，詢問(wèn)一條路徑上這個(gè)串作為子串出現(xiàn)了多少次
? ?, ? ≤ 10

經(jīng)典問(wèn)題

離線，差分，阿貍的打字機(jī)

跨域LCA部分暴力

?

例題2

你需要維護(hù)一棵 Trie
每次插入一個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)，然后你要輸出這個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)到根的這條
路徑的最長(zhǎng)的“前綴 = 后綴”的長(zhǎng)度

?, ? ≤ 1000000

就是KMP了。

不能暴力跳，利用fail指針加速

但是必須是在這個(gè)到根鏈上的出邊

所以建主席樹(shù)

每個(gè)點(diǎn)對(duì)于每個(gè)分叉出去的邊都建一個(gè)往這方向走的到根路徑上的出邊集合（和fail的出邊合并）

每個(gè)點(diǎn)再維護(hù)一個(gè)初始的到根路徑上的主席樹(shù)

新加入一個(gè)點(diǎn)x，通過(guò)fa找到fail，x初始主席樹(shù)就是fail的這個(gè)方向出邊的主席樹(shù)

然后fa對(duì)于這個(gè)方向，新建一個(gè)主席樹(shù)，這個(gè)出邊節(jié)點(diǎn)指向x

?

例題3

? 你有兩個(gè)串集合 S 和 T，S 是固定的，T 會(huì)在操作中修改
? 每次操作：T 集合加一個(gè)串、詢問(wèn) T 里面有多少個(gè)串包含 S[i]

?

bzoj3881: [Coci2015]Divljak

S建AC自動(dòng)機(jī)

加入一個(gè)T，途經(jīng)的點(diǎn)直接fail樹(shù)上所有的點(diǎn)都會(huì)增加一次出現(xiàn)，

為了不重復(fù)，就是鏈并上的點(diǎn)+1

LCT維護(hù)fail樹(shù)，直接tag標(biāo)記表示每個(gè)點(diǎn)最近一次顏色是哪一個(gè)

access時(shí)候判斷是否已經(jīng)是當(dāng)前顏色即可。

O(nlogn)

?

已知大串的子序列問(wèn)題

?

? 一般模式：給出一個(gè)大串，求其子序列的一種信息
? 包括最優(yōu)化和計(jì)數(shù)兩類問(wèn)題
? 其中計(jì)數(shù)問(wèn)題包括兩種：位置不同算多種/內(nèi)容不同算多種
? 包括一系列公共子序列問(wèn)題
? 對(duì)于位置不同的問(wèn)題（或者最優(yōu)化問(wèn)題），只需要記錄 ? ? 這樣
的狀態(tài)即可，表示所有右端點(diǎn)不超過(guò) ? 的子序列的信息
? 對(duì)于內(nèi)容不同的問(wèn)題，我們需要另一些思想

?

記錄每個(gè)位置每個(gè)字符下一次第一個(gè)出現(xiàn)的位置

可建DAG，也即序列自動(dòng)機(jī)

可以直接進(jìn)行匹配和統(tǒng)計(jì)

內(nèi)容不同子序列計(jì)數(shù)問(wèn)題

例題1

求一個(gè)字符串有多少內(nèi)容不同的回文子序列

? = 5000, Σ = 10

f[l][r]表示，以l，r結(jié)尾的答案

f[l][r]=∑f[nxt[w]][las[w]]+(l<=r)+(l<r)

也就是往里面選擇一些+自己

記憶化搜索

首尾加上相同特殊字符，即可直接調(diào)用f[0][n+1]得到答案

?

例題2

? 給出兩個(gè)串，求他們所有內(nèi)容不同的公共上升子序列個(gè)數(shù)
? ? = 5000, Σ = ??

不會(huì)

?

已知大串的子串問(wèn)題

?

? 對(duì)于已知大串的題，一般是考慮維護(hù)一個(gè)結(jié)構(gòu)，來(lái)表示這個(gè)大串
內(nèi)的所有子串，同時(shí)還能體現(xiàn)出這些子串的（前后綴）關(guān)系
? 一般的方法分為兩種：后綴樹(shù)（數(shù)組）、SAM
? 前者轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)和的統(tǒng)計(jì)，后者轉(zhuǎn)化為路徑的統(tǒng)計(jì)

（PS：先考慮SAM和后綴樹(shù)，畢竟是樹(shù)形結(jié)構(gòu)方便。SA其次考慮（HEOI2019 D1T2就這樣沒(méi)有想出來(lái)。。。））

?

?

例題 1

? 給出一棵樹(shù)，點(diǎn)上有字符
? 求所有的直上直下的路徑構(gòu)成的不同串有多少種
? ? ≤ 10^6，字符集較大

字符集大，不能用廣義SAM

剩下后綴數(shù)組

直接每個(gè)點(diǎn)到跟的路徑看做后綴

后綴排序。倍增，和樹(shù)上倍增恰好契合，直接利用2^(k-1)的排序結(jié)果即可。

求height用hash+二分，

ans=∑dep-∑hei

?

例題2

? 給出一個(gè)串
? 每次給出 ?, ?, ?，在 ?, ? 中找一個(gè) ? 使得 LCP(?(k,n), ?(i,n) ) 最大
? ?, ? ≤ 10^6

k的后綴的排名在[l,r]的前驅(qū)后繼找到即可

后綴數(shù)組+主席樹(shù)（前綴后綴）

后綴數(shù)組+離線線段樹(shù)

?

例題3

加強(qiáng)：[HEOI2016/TJOI2016]字符串?

二分LCP長(zhǎng)度mid，看rk[c]最多延伸的區(qū)間[le,ri]，看這個(gè)區(qū)間里面是否有sa為[a,b-mid+1]的

主席樹(shù)差分判斷是否出現(xiàn)

注意：

1.lcp時(shí)候，++p1

2.rk，sa別寫反

#include<bits/stdc++.h> #define reg register int #define il inline #define fi first #define se second #define mk(a,b) make_pair(a,b) #define numb (ch^'0') #define pb push_back #define solid const auto & #define enter cout<<endl #define pii pair<int,int> using namespace std; typedef long long ll; template<class T>il void rd(T &x){char ch;x=0;bool fl=false;while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);(fl==true)&&(x=-x); } template<class T>il void output(T x){if(x/10)output(x/10);putchar(x%10+'0');} template<class T>il void ot(T x){if(x<0) putchar('-'),x=-x;output(x);putchar(' ');} template<class T>il void prt(T a[],int st,int nd){for(reg i=st;i<=nd;++i) ot(a[i]);putchar('\n');}namespace Miracle{ const int N=1e5+5; int n,m; char s[N]; int hei[N],sa[N],rk[N]; int xx[N],yy[N],buc[N]; int f[N][18],lg[N]; void SA(){int m=130;int *x=xx,*y=yy;for(reg i=1;i<=n;++i) ++buc[x[i]=s[i]];for(reg i=1;i<=m;++i) buc[i]+=buc[i-1];for(reg i=1;i<=n;++i) sa[buc[x[i]]--]=i;for(reg k=1;k<=n;k<<=1){int num=0;for(reg i=n-k+1;i<=n;++i) y[++num]=i;for(reg j=1;j<=n;++j){if(sa[j]-k>0) y[++num]=sa[j]-k;}for(reg i=1;i<=m;++i) buc[i]=0;for(reg i=1;i<=n;++i) ++buc[x[i]];for(reg i=2;i<=m;++i) buc[i]+=buc[i-1];for(reg i=n;i>=1;--i) sa[buc[x[y[i]]]--]=y[i],y[i]=0;swap(x,y);num=1;x[sa[1]]=1;for(reg i=2;i<=n;++i){x[sa[i]]=(y[sa[i]]==y[sa[i-1]]&&(y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k]))?num:++num;}if(num==n) break;m=num;} } void HEI(){for(reg i=1;i<=n;++i) rk[sa[i]]=i;int k=0;for(reg i=1;i<=n;++i){if(k) --k;if(rk[i]==1) continue;int j=sa[rk[i]-1];while(i+k<=n&&j+k<=n&&s[i+k]==s[j+k]) ++k;hei[rk[i]]=k;}for(reg i=1;i<=n;++i) {lg[i]=(i>>(lg[i-1]+1))?lg[i-1]+1:lg[i-1];f[i][0]=hei[i];}for(reg j=1;j<=17;++j){for(reg i=1;i+(1<<j)-1<=n;++i){f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);}}//;//build rmq } int lcp(int p1,int p2){// cout<<" lcp "<<p1<<" "<<p2<<" "<<n-rk[p1]+1<<endl;if(p1==p2) return n-sa[p1]+1;// p1=sa[p1],p2=sa[p2];if(p1>p2) swap(p1,p2);++p1;int len=lg[p2-p1+1];return min(f[p1][len],f[p2-(1<<len)+1][len]); } struct node{int ls,rs;int sum; }t[40*N]; int tot; int rt[N]; void pushup(int x){t[x].sum=t[t[x].ls].sum+t[t[x].rs].sum; } void upda(int &x,int y,int l,int r,int p){x=++tot;t[x]=t[y];if(l==r){++t[x].sum;return;}int mid=(l+r)>>1;if(p<=mid) upda(t[x].ls,t[y].ls,l,mid,p); else upda(t[x].rs,t[y].rs,mid+1,r,p);pushup(x); } int query(int x,int y,int l,int r,int L,int R){if(L<=l&&r<=R){return t[x].sum-t[y].sum;}int mid=(l+r)>>1;int ret=0;if(L<=mid) ret+=query(t[x].ls,t[y].ls,l,mid,L,R);if(mid<R) ret+=query(t[x].rs,t[y].rs,mid+1,r,L,R);return ret; } bool che(int a,int b,int pos,int len){b=b-len+1;if(a>b) return false;if(!len) return true;pos=rk[pos];// cout<<" che "<<a<<" "<<b<<" pos "<<pos<<" md "<<len<<endl;int le=pos;int L=1,R=pos;while(L<=R){int mid=(L+R)>>1;int now=lcp(mid,pos);if(now>=len) le=mid,R=mid-1;else L=mid+1;}L=pos,R=n;int ri=pos;while(L<=R){int mid=(L+R)>>1;int now=lcp(pos,mid);// cout<<mid<<" now "<<now<<endl;if(now>=len) ri=mid,L=mid+1;else R=mid-1;}// cout<<" le "<<le<<" ri "<<ri<<endl;int lp=query(rt[ri],rt[le-1],1,n,a,b);if(lp>0) return true;return false; } int main(){rd(n);rd(m);scanf("%s",s+1);SA();HEI();// prt(sa,1,n);// prt(rk,1,n);// prt(hei,1,n);for(reg i=1;i<=n;++i){upda(rt[i],rt[i-1],1,n,sa[i]);}int a,b,c,d;while(m--){rd(a);rd(b);rd(c);rd(d);int L=0,R=d-c+1;int ans=0;while(L<=R){int mid=(L+R)>>1;if(che(a,b,c,mid)) ans=mid,L=mid+1;else R=mid-1;}printf("%d\n",ans);}return 0; }} signed main(){Miracle::main();return 0; }/*Author: *Miracle* */ View Code

?

?

字符串綜合練習(xí)

樹(shù)上后綴排序

luoguP5353 【模板】樹(shù)上后綴排序

倍增即可。常數(shù)優(yōu)化？

?

?看i207M的吧

巧妙運(yùn)用三關(guān)鍵字排序，并且注意可重復(fù)、不可重復(fù)的搭配。

fa也不用倍增，直接循環(huán)找一遍即可。

還有我的辣雞代碼：（直接無(wú)視編號(hào)排好序，再sort+dfs）

#include<bits/stdc++.h> #define reg register int #define il inline #define fi first #define se second #define mk(a,b) make_pair(a,b) #define numb (ch^'0') #define pb push_back #define solid const auto & #define enter cout<<endl #define pii pair<int,int> using namespace std; typedef long long ll; template<class T>il void rd(T &x){char ch;x=0;bool fl=false;while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);(fl==true)&&(x=-x); } template<class T>il void output(T x){if(x/10)output(x/10);putchar(x%10+'0');} template<class T>il void ot(T x){if(x<0) putchar('-'),x=-x;output(x);putchar(' ');} template<class T>il void prt(T a[],int st,int nd){for(reg i=st;i<=nd;++i) ot(a[i]);putchar('\n');}namespace Miracle{ const int N=5e5+5; int n; vector<int>to[N]; char s[N]; int dep[N]; int fa[N][20]; int lim; void dfs1(int x){lim=max(lim,dep[x]);for(solid y:to[x]){dep[y]=dep[x]+1;dfs1(y);} } int mem[N],num; int sa[N],rk[N]; int xx[2*N],yy[2*N],buc[N],pos[N]; void SA(){int m=130;int *x=xx,*y=yy;for(reg i=1;i<=n;++i) ++buc[x[i]=s[i]];for(reg i=1;i<=m;++i) buc[i]+=buc[i-1];for(reg i=1;i<=n;++i) sa[buc[x[i]]--]=i;for(reg k=0;k<20;++k){if((1<<k)>lim) break;// cout<<" kk "<<k<<endl;int num=0;for(reg i=1;i<=n;++i){if(fa[i][k]==0) y[++num]=i;}for(reg i=1;i<=m;++i) buc[i]=0;for(reg i=1;i<=n;++i){if(fa[i][k]){++buc[x[fa[i][k]]];}}for(reg i=1;i<=m;++i) {buc[i]+=buc[i-1];pos[i]=num+buc[i];}for(reg i=1;i<=n;++i){if(fa[i][k]){y[pos[x[fa[i][k]]]--]=i;}}for(reg i=1;i<=m;++i) buc[i]=0;for(reg i=1;i<=n;++i) ++buc[x[i]];for(reg i=1;i<=m;++i) buc[i]+=buc[i-1];for(reg i=n;i>=1;--i){sa[buc[x[y[i]]]--]=y[i];y[i]=0;}swap(x,y);num=1;x[sa[1]]=1;for(reg i=2;i<=n;++i){x[sa[i]]=(y[sa[i]]==y[sa[i-1]]&&y[fa[sa[i]][k]]==y[fa[sa[i-1]][k]])?num:++num;}if(num==n) break;m=num;} } bool cmp(int a,int b){return xx[a]==xx[b]?a<b:xx[a]<xx[b]; } void dfs2(int x){mem[++num]=x;for(solid y:to[x]){dfs2(y);} } int main(){rd(n);dep[1]=1;for(reg i=2;i<=n;++i){rd(fa[i][0]);to[fa[i][0]].push_back(i);}for(reg j=1;j<=19;++j){for(reg i=1;i<=n;++i){fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];}}dfs1(1);scanf("%s",s+1);SA();// prt(xx,1,n);memset(buc,0,sizeof buc);num=0;for(reg i=1;i<=n;++i){sort(to[i].begin(),to[i].end(),cmp);}dfs2(1);// prt(mem,1,num);for(reg i=1;i<=n;++i) ++buc[xx[i]];for(reg i=1;i<=n;++i) buc[i]+=buc[i-1];for(reg i=n;i>=1;--i){xx[mem[i]]=buc[xx[mem[i]]]--;sa[xx[mem[i]]]=mem[i];}// prt(xx,1,n);prt(sa,1,n);return 0; }} signed main(){Miracle::main();return 0; }/*Author: *Miracle* */ View Code

?

區(qū)間回文子串

給出一個(gè)串
每次詢問(wèn)一個(gè)區(qū)間中有多少子區(qū)間是回文的

?, ? ≤ 10^6

manacher求出回文半徑p[]，

根據(jù)在mid的左右分別考慮，左右分別和l，r卡邊界

開(kāi)主席樹(shù)維護(hù)i-p[i],i+p[i]即可。

?

判斷AC自動(dòng)機(jī)相等

給出兩個(gè)串的集合 A、B
判斷“所有包含 A 中一個(gè)串作為子串的串的集合”和“所有包含 B中
一個(gè)串作為子串的串的集合”是否相等
長(zhǎng)度 ≤ 2000

即，是否存在一個(gè)串使得存在A的子串不存在B的或者存在B的不存在A的

直接從(x,y)表示A匹配到了x，B匹配到了y，都沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)A，B作為子串

大力BFS

枚舉出邊1~26，如果到達(dá)一個(gè)能出現(xiàn)，一個(gè)不能出現(xiàn)的狀態(tài)那么就不等了

能同時(shí)到達(dá)能出現(xiàn)的狀態(tài)，不管。

還是都不能出現(xiàn)，加入queue

?

THUSC2018

? (THUSC2018 D1T2)
? 給出 ? 和 ? 個(gè)和諧串，求有多少長(zhǎng)度為 2? 的形如 ?? 的串，不
包含 ? 個(gè)和諧串不相交地出現(xiàn)

? ? ≤ 100, ? ≤ 200, s ≤ 5, ? ≤ 5

形如AA？

并不是枚舉分界點(diǎn)！

外層枚舉第二個(gè)A開(kāi)始匹配的位置M

f[i][j][k]第一個(gè)A匹配到了i，第二個(gè)匹配到了j，劃分了k個(gè)

能劃分就直接劃分，回到起點(diǎn)

開(kāi)始f[0][M][0] 最后就是f[M][*][<k]

后半段M開(kāi)始也是直接能劃分就劃分

不可能最后得到的字符串劃分有相交

因?yàn)檫@樣，到了綠色位置就直接回起點(diǎn)了，不可能再到M了。

?

?

概率題

給出串集合 ?
我們隨機(jī)生成串，每次以 pi 的概率生成第 ? 個(gè)字母
一旦生成的串包含 ? 里面所有串作為子串，就停止
求期望生成多長(zhǎng)

?? ≤ 8, ? ∈ ? ≤ 6?

狀壓。成環(huán)。高斯消元。對(duì)S相同的進(jìn)行高斯消元，2^8*(50^3)

?

多串本質(zhì)不同子串

倒著做，
把si沒(méi)有出邊的指到下一個(gè)自動(dòng)機(jī)的初始節(jié)點(diǎn)
DP統(tǒng)計(jì)路徑

每個(gè)本質(zhì)不同的串會(huì)在出現(xiàn)字典序最小的位置被統(tǒng)計(jì)一次

?

?

最長(zhǎng)反鏈

給出一些字符串
你要從中選擇一個(gè)集合，使得任意一個(gè)串不是另一個(gè)串的子串
求集合的最大大小
? ≤ 2000, ∑?<= 10^7

fail樹(shù)的祖先和自己不能在一起

最長(zhǎng)反鏈=最小鏈覆蓋

求最小鏈覆蓋即可。

?

51nod?1600 Simple KMP

? 給出一個(gè)字符串
? 對(duì)字符串的每個(gè)前綴，輸出這個(gè)前綴的 KMP 的 fail 樹(shù)的深度之和
? ? ≤ 10^5

不斷跳kmp，感覺(jué)像是統(tǒng)計(jì)貢獻(xiàn)

可以發(fā)現(xiàn)，就是以i為結(jié)尾的子串在[1,i-1]的出現(xiàn)次數(shù)，樹(shù)剖維護(hù)right集合大小即可

?

?

THUWC2018

給出一個(gè)大串 ?
每次給出一個(gè)小串 ?，詢問(wèn)把 ? 插在 ? 中的哪一個(gè)位置能使插完
之后的字符串的字典序最小
多個(gè)位置輸出編號(hào)最小的位置
?, ∑? ≤ 10^6

考慮為什么要插入t，一定要使得比s的字典序要大，否則不如插到最后面

所以考慮和原串的字典序關(guān)系。

枚舉lcp=0~|t|，看下一個(gè)！

也就是t在s上匹配

匹配到了t的前綴i

SAM上找存在下一個(gè)字符<t[i+1]的最靠前的起始位置j，把j插入一個(gè)數(shù)組里

一旦失配就break

全部匹配？。。。。還是考慮下一個(gè)比t[1]字典序小的最靠前的位置

s最前面嘗試插入t

s最后2*|t|位置嘗試插入t

這些嘗試都加入數(shù)組

哈希+二分判斷

?

這樣我們每個(gè)插入位置i以插入后與s[1..i]+t的lcp為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行考慮了。

?

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/Miracevin/p/10805633.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的[题集]串的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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