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線性代數(shù)導(dǎo)論4——A的LU分解

一、A=LA分解 消元的目的，只是為了更好正確的認(rèn)識(shí)矩陣的概念，A=LU是最基礎(chǔ)的矩陣分解。L是下三角矩陣，U是上三角矩陣。A通過(guò)消元最終得到U，L即A與U之間的聯(lián)系。 先看A矩陣通過(guò)初等矩陣消元得到U： 這里要求的是A=LU，L和消元矩陣E是什么聯(lián)系呢？L與E互為逆矩陣。消元矩陣的逆是比較容易求的? 有時(shí)我們將U中的主元提取出來(lái)，其余的位置設(shè)為0，即diagonal對(duì)角陣D，可分解得到LDU，兩邊各一個(gè)三角矩陣，中間一個(gè)對(duì)角陣。
假設(shè)在三維矩陣中，消元步驟中不需要任何行交換，L是各消元矩陣的逆的反向乘積。 為什么要用逆的形式？即上圖中為什么下面的逆的形式的等式要比上面的等式要好？ 舉下面的例子，兩個(gè)消元矩陣E21（行2減去2倍行1）和E32（行3減去5倍的新行2）相乘得新的右側(cè)消元矩陣，那么，從右側(cè)結(jié)果顯示，元素10是我們不喜歡的（但它確實(shí)是運(yùn)算結(jié)果），E21（行2減去2倍行1）和E32（行3減去5倍的新行2）這種順序，行1（元素10）怎么就影響到了行3呢？這是因?yàn)?#xff0c;第一步中有2倍行1從行2中減去了，然后在第二步中又乘5倍從行3中減去，因此總共在行3中加上了10倍行1。因此，這種形式不是我們喜歡的，但逆的乘積則不是這樣的。 對(duì)于“第一步中有2倍行1從行2中減去了，然后在第二步中又乘5倍從行3中減去，因此總共在行3中加上了10倍行1”，我舉個(gè)例子解釋一下： 1 ?2 ?0 3 ?4 ?1 ? 5 ?0 ?5 該矩陣通過(guò)以上所描述的進(jìn)行變換，第一步第二行有：3-2*1 ? ?4-2*2 ? ?1-2*0 最終第二步第三行有：5-5*（3-2*1） ? 0-5*（4-2*2） ? 5-5*（1-2*0） 即：5-5*（3-2*1） ? 0-5*（4-2*2） ? 5-5*（1-2*0）= 5-5*3+10*1 ? 0-5*4+10*2 ? 5-5*1+10*0 由這個(gè)結(jié)果不難看出“總共在行3中加上了10倍行1”的結(jié)論了。
現(xiàn)在我們反向計(jì)算，順序倒過(guò)來(lái)求逆的積。L中矩陣相乘的順序非常好，2和5不會(huì)沖突，不會(huì)得到10。即要求出L，不需要任何運(yùn)算，只需要把所有消元乘數(shù)都寫(xiě)進(jìn)來(lái)，就能得到L。
總結(jié)下：A=LU，如果不存在行互換，消元乘數(shù)，即消元步驟中的需要乘以并減去的那個(gè)倍數(shù)，消元乘數(shù)可以直接寫(xiě)入L中。即只要步驟正確，可以在得到LU過(guò)程中把A拋開(kāi)。例如，當(dāng)你完成A第二行的消元時(shí)，為了得到LU，你只需要記住U中新的第二行是什么，同時(shí)消元所用的乘數(shù)也需要記住，至于A是什么不需要管。
二、消元耗費(fèi)次數(shù) 消元共耗費(fèi)了多少次？A變成U 把消元中的一次加和乘操作看為“一次”操作。100*100的矩陣，第一主元的消元需要接近100*100的操作（第一行不變），第二主元的消元需要接近99*99的操作（第二行不變）。。。。 因此n維矩陣的消元一共需要次數(shù)接近1/3 N3，1/3是考慮到求和式子中數(shù)字在逐漸減小，如果不減小的話應(yīng)該是n*n2，這才是n3。這其中有微積分的知識(shí)：從1到n對(duì)x2dx進(jìn)行積分，結(jié)果得到1/3n3，微積分其實(shí)是考慮連續(xù)情況下的“求和”（但線性代數(shù)式離散的）。 另一個(gè)問(wèn)題：之前是A進(jìn)行消元得到U，那么加上右側(cè)常數(shù)列b，它需要多少次操作？把它放到消元步驟中，然后進(jìn)行回代，一共需要n square次操作，要比A進(jìn)行變換的次數(shù)少得多。 因此，經(jīng)常有矩陣A和幾個(gè)右側(cè)向量，這時(shí)對(duì)A進(jìn)行更多次操作，將其分解乘L和U，來(lái)完成消元，之后就可以以較少次數(shù)處理右側(cè)向量了。這時(shí)方程組運(yùn)算中最基本的運(yùn)算問(wèn)題。
三、轉(zhuǎn)置與置換permutations，置換矩陣群 若允許行互換，當(dāng)主元位置為0時(shí)，要進(jìn)行行互換，置換矩陣可以進(jìn)行行互換。來(lái)看看3維下的所有置換矩陣： 3維下一共3*2*1=6個(gè)置換矩陣，他們形成的矩陣群有一些特點(diǎn)： 1）置換矩陣兩兩相乘結(jié)果仍然在該群中 2）取其逆，只用將行換回去，結(jié)果也在該群中 3）個(gè)別置換矩陣的逆矩陣就是其置換矩陣本身（比如上面的前4個(gè)，其轉(zhuǎn)置等于本身），但對(duì)于所有的，總結(jié)來(lái)說(shuō)是：置換矩陣的逆是等于其轉(zhuǎn)置。

總結(jié)

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