核彈當量問題

核彈爆炸由于是個復雜的過程，因此就有了爆炸火球半徑、輻射半徑、沖擊波半徑以及熱輻射半徑等不同的威力評價標準。

具體的介紹可參見：

https://www.zhihu.com/question/20134458

一顆核彈的破壞性有多大？

這里給出幾組數據：

名稱當量火球半徑沖擊波半徑

1945年胖子	20kt	200m	1.91km
1966年B61	340kt	630m	4.91km
1986年W87	300kt	600m	4.71km

“另外再幫你算算哦，把B61的34萬和胖子的2萬都開根號，兩者比值是4.11，然而，胖子的火球半徑200米乘4.1貌似是820米，怎么B61才630米呢？5psi的沖擊波半徑1.91千米乘4.1貌似是7.83千米哦，怎么B61才4.91呢？不是說好了技術進步威力更大的嗎”

上面是貼吧某博主用以佐證自己觀點的論據。然而，這顯然錯誤的。

沖擊波是空氣被壓縮導致的。而空氣可以看做麥克思韋子，它的壓力是由單位體積內的粒子能量決定的。因此，如果當量E可以產生R半徑的空氣壓縮球的話，要產生2R的壓縮球，勢必需要將E提升8倍才行。

而火球半徑就要麻煩一些了。

一方面，輻射的光子是玻色子，它不占空間，能量可疊加，且不改變傳播方向。從點光源的波動模型可以知道，波前能量如果沒有衰減的話，R球面的能量和2R球面的能量相等，但2R球面的面積是前者的4倍，因此如果要維持能量密度的話，E提升4倍即可。

另一方面，輻射源需要維持一定的溫度才能釋放可見光，而溫度也就是粒子平均動能，正如上面沖擊波半徑的推導，E和R的立方成正比。

所以，火球半徑中E和R的關系，顯然在2和3之間。實際上，它的理論值就是2.5，其推導過程如下：

http://www.applet-magic.com/fireball.htm

The Expansion of the Fireball of an Explosion

實測值2.46和理論值符合的非常好。

這里的推導和熱力學統計其實沒多大關系，算是本人學習玻爾茲曼分布的副產品吧。

Lanchester戰爭模型

第一次世界大戰期間，英國工程師Lanchester針對戰爭問題建模，以預測戰爭的結果。

Frederick William Lanchester，1868～1946，被譽為英國三大最杰出的汽車工程師之一。英國皇家學會會員。

該模型包含了兩個子模型：

Lanchester’s linear law：假設雙方的裝備能力相當，則單位時間內的損失，和戰線的長度成正比，且雙方損失的數量相等。這個模型主要適用于遠程兵器威力有限的古代戰爭，古代戰爭以短兵相接的肉搏戰為主。而肉搏戰的特點就是一對一。

Lanchester’s square law：現代戰爭越來越立體化，因此是個多對多的模型。

首先，我們假設A軍在戰斗開始后的t時刻有$x(t)$人，B軍在戰斗開始后的t時刻有$y(t)$人，且每支軍隊的減員均由敵方攻擊造成，減員速率與敵方人數成正比。忽略增員部隊與非戰斗減員，我們可以根據雙方的減員速率列出如下的微分方程組：

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=?by\text{\hspace{1em}(1)}$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=?cx\text{\hspace{1em}(2)}$$

在上述微分方程組中，b與c分別代表B軍與A軍的單兵作戰效率，即每個戰士在單位時間內干掉的敵軍數量。我們可以用這個量來代表士兵的“質量”或“效率”，顯然這個量與軍隊的武器水平，指揮員的指揮水平與戰士的單兵素質有關。

用公式2除以公式1，得：

$$\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=\frac{?cx}{?by}$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{cx}{by}$$

$$by\mathrm{d}y=cx\mathrm{d}x$$

兩邊同時求t的定積分：

$${\int }_{t_0}^{t}by(t)\mathrm{d}y(t)={\int }_{t_0}^{t}cx(t)\mathrm{d}x(t)$$

$$b{\int }_{y_0}^{y}y\mathrm{d}y=c{\int }_{x_0}^{x}x\mathrm{d}x$$

$$b{y}^2?b{y}_0^2=c{x}^2?c{x}_0^2$$

$$b{y}^2?c{x}^2=b{y}_0^2?c{x}_0^2=K$$

我們可以由b，c，與雙方初始人數$y_0，x_0$計算出K值。顯然：

當K=0時，A、B平手。

當K>0時，B勝。

當K<0時，A勝。

Lanchester模型是一個連續模型，但實際戰斗，尤其是海戰，一般是離散模型，這時就要用到Salvo combat model了。

比如中途島戰役，美國在擊沉日本3艘航母之后，遭到日本飛龍號的反擊，損失了約克城號，直到第二波攻擊，才最終將飛龍號擊沉。

參考：

https://mp.weixin.qq.com/s/npprTz_GRgdv3BK7ff2grg

Lanchester戰爭模型：用可分離變量的微分方程占卜戰事

隨機過程

隨機變量序列的收斂性

弱收斂：$F_n(x)\stackrel{W}{}F(x)$

依分布收斂：$X_n\stackrel{L}{}X$

依概率收斂：$X_n\stackrel{P}{}X$

r階收斂：$X_n\stackrel{r}{}X$

幾乎處處收斂（almost everywhere convergent）：$X_n\stackrel{a.e.}{}X$ or $X_n\stackrel{a.s.}{}X$

一致收斂（uniform convergence）：$X_n\stackrel{u.c.}{}X$

以上概念實際上都是測度論的內容。具體到這里，弱收斂針對分布函數F，而其他收斂針對隨機變量X。

收斂嚴格性：

$$X_n\stackrel{P}{}X?X_n\stackrel{L}{}X$$

$$X_n\stackrel{r}{}X?X_n\stackrel{P}{}X$$

$$X_n\stackrel{a.s.}{}X?X_n\stackrel{P}{}X$$

大數定律：

依概率收斂->弱大數定律

幾乎處處收斂->強大數定律

隨機過程常用公式或符號

名稱公式或符號

期望	$$EX={\int }_{?\infty }^{+\infty }x\mathrm{d}F(x)$$，若存在密度函數則$$EX={\int }_{?\infty }^{+\infty }xf(x)\mathrm{d}x$$
方差	$$DX=Var(X)=E(X?EX{)}^2$$
協方差	$$Cov(X,Y)=E\{\overline{[X?E(X)]}[Y?E(Y)]\}$$
相關系數	$${\rho }_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$$
協方差矩陣	$$?\begin{array}{cccc}Cov(X_1,X_1)& Cov(X_1,X_2)& ?& Cov(X_1,X_n)\\ Cov(X_2,X_1)& Cov(X_2,X_2)& ?& Cov(X_2,X_n)\\ ?& ?& & ?\\ Cov(X_n,X_1)& Cov(X_n,X_2)& ?& Cov(X_n,X_n)\end{array}?$$
相關函數	$$R(X,Y)=E[\overline{X}Y]$$
均方極限	$${l.i.m}_{n\to +\infty }X$$

https://mp.weixin.qq.com/s/46NrpIako2lJ2ZitAQs8Sw

劃重點！通俗解釋協方差與相關系數

http://pinkyjie.com/2010/08/31/covariance/

淺談協方差矩陣

平穩過程

嚴平穩過程：有限維分布。

寬平穩過程：二階矩。

不要被名字迷惑了，由于兩者關注的東西不同，一般情況下，嚴平穩過程不一定是寬平穩過程，寬平穩過程也不一定是嚴平穩過程。

只有以下特例：

1.對于二階矩過程，嚴平穩過程一定是寬平穩過程。

2.對于正態過程，嚴平穩過程和寬平穩過程是等價的。

大數定律與中心極限定理

大數定律

切比雪夫大數定律：用統計方法來估計期望的理論依據。

$$E(X)\approx \frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{x}_k$$

貝努利大數定律：事件A發生的頻率$\frac{n_A}{n}$依概率收斂于事件A的概率p。當n很大時，事件發生的頻率與概率有較大偏差的可能性很小：$p\approx \frac{n_A}{n}$

創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学狂想曲（八）——核弹当量问题, Lanchester战争模型, 随机过程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。