矩陣及線性變換

以向量為工具，研究向量合成即向量組線性組合，核心概念是線性空間和基。這種方法的優點是具有極強的幾何圖像，很直觀，是理解線性代數的基礎。但也有明顯的缺點，一是表達上不簡潔，每次都需要寫出向量組中每個向量和每個表示系數，表達不簡潔不利于數學的發展，思維的提高，所以需要把向量組和表示系數組作為一個整體考慮；二是計算上不方便，判斷向量組是否為基、計算正交補空間和向量投影這幾個線性代數基本問題，都需要深入到向量組中每個向量的每個分量，向量為工具，向量是作為一個整體，不方便看到分量，不利于計算，所以需要解剖向量組，深入到每個分量。這兩個要求，看似矛盾，一個是要把向量組作為整體，一個是要深入到每個向量的每個分量，矩陣作為工具，可以滿足這兩個要求，達到完美結合！矩陣缺點是幾何圖像被掩蓋了，十分不直觀，高度抽象，難以理解，學習難度大。所以學習線性代數，需要結合向量和矩陣，做到數形結合，矩陣是代數，是工具，向量是幾何，是靈魂，工具反過來又會促進思維的提高，兩者相輔相成，互相促進。看到矩陣就要想到向量，看到幾何圖像。

矩陣的引入

矩陣是把向量組作為一個整體研究向量組線性組合，再一次觀察向量組線性組合，$a_1{\mathbf{v}}_1+?+a_n{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}$ 為向量組 $\mathbf{V}=({\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}})$ 線性組合，實數組 $\mathbf{a}＝(a_1,?,a_n)$ 為表示系數組。把向量組作為整體，此時 $\mathbf{V}$ 就是矩陣，作為整體時，組內每個向量的順序很重要，如同向量的分量順序很重要，向量組相同，但順序不同的矩陣是不同的矩陣。表示系數組作為一個整體， $\mathbf{a}$ 可以看作 $n$ 維空間中的向量。線性組合表達式為 $V\mathbf{a}$ ，十分簡潔。按照線性代數的習慣，任意矩陣用大寫字母 $A$ 表示，任意向量用小寫字母 $\mathbf{x}$ 表示，故線性組合為 $A\mathbf{x}$ ，看到這個表達式就要想到向量組線性組合，幾何圖像是向量合成。

定義 矩陣 有序向量組的集合，$A=\left[{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,?,{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}\right]$ ，${\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}$ 是矩陣 $A$ 的第 $i$ 個向量，也稱矩陣的第 $i$ 列。

定義 矩陣乘以向量 矩陣向量組的線性組合，表示系數組是向量。
$$\begin{gathered} A\mathbf{x}=x_1{\mathbf{a}}_1+x_2{\mathbf{a}}_2+?+x_n{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}} \\ A=\left[{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,?,{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}\right] \\ \mathbf{x}=(x_1,x_2,?,x_n) \end{gathered}$$
${\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}$ 是矩陣 $A$ 的第 $i$ 個向量， $x_i$ 是向量 $\mathbf{x}$ 的第 $i$ 個分量。矩陣用中括號 $\left[\right]$ 圍起向量，向量用小括號 $\left(\right)$ 圍起數。

$A\mathbf{x}$ 稱矩陣乘以向量，借鑒了代數語言。

書寫矩陣時，矩陣排成二維表格。比如 ${\mathbf{a}}_1=(0,1)$ 和 ${\mathbf{a}}_2=(2,3)$ ，矩陣 $A$ 寫為
$$A=\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 3\end{array}\right]$$
比如 ${\mathbf{a}}_1=(0,1,2)$ 和 ${\mathbf{a}}_2=(3,4,5)$ ，矩陣 $A$ 寫為
$$A=?\begin{array}{cc}0& 3\\ 1& 4\\ 2& 5\end{array}?$$
矩陣排成二維表格時，第 $i$ 個向量 ${\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}$ 排成一列，所以也稱列向量。矩陣看到了每個向量的每個分量，同時又把所有向量作為一個有序整體。

當向量 $\mathbf{x}=(1,2)$ 時，
$$A\mathbf{x}=?\begin{array}{cc}0& 3\\ 1& 4\\ 2& 5\end{array}?(1,2)=1?\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}?+2?\begin{array}{c}3\\ 4\\ 5\end{array}?=?\begin{array}{c}0?1+3?2\\ 1?1+4?2\\ 2?1+5?2\end{array}?=?\begin{array}{c}6\\ 9\\ 12\end{array}?$$
為了便于觀察和記憶，中間計算過程把向量寫成列的形式，并用中括號圍起。

矩陣 $A$ 中的向量是 $m$ 維向量，有 $n$ 個向量時，矩陣形狀為 $m\times n$ ，稱 $m$ 行 $n$ 列矩陣。

重要性質 $m$ 行 $n$ 列矩陣只能與 $n$ 維向量相乘。

因為向量組線性組合中，組合系數的數量必須等于向量的數量。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2.1 矩阵的引入的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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