2.11 矩阵和实数运算不同之处
矩陣和實(shí)數(shù)運(yùn)算不同之處
除了矩陣乘法不滿足交換律外,矩陣還有幾個(gè)特殊之處。
定義 零矩陣 元素都是零的矩陣稱為零矩陣,記作 O\mathbf{O}O 。注意不同型的零矩陣是不同的。
為什么呢?如果矩陣 AAA 是相關(guān)組,則存在多個(gè)非零向量 bi\mathbf{b_i}bi? 滿足 Abi=0A\mathbf{b_i} = \mathbf{0}Abi?=0 ,合成矩陣形式即得 AB=OA B = \mathbf{O}AB=O 。
例如
A=[1224]B=[2?4?12]AB=[0000]A= \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ \end{matrix} \right] \quad B= \left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\ -1 & 2 \\ \end{matrix} \right] \quad AB= \left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right] A=[12?24?]B=[2?1??42?]AB=[00?00?]
定義 對(duì)合矩陣 逆矩陣等于自身的矩陣,即滿足 AA=EAA = EAA=E 的矩陣。
對(duì)合矩陣有無(wú)窮多個(gè),不只是單位矩陣。矩陣如果即是對(duì)稱矩陣又是正交矩陣,則是對(duì)合矩陣。
定義 冪等矩陣 矩陣平方等于自身,即滿足 AA=AAA = AAA=A 。
冪等矩陣有無(wú)窮多個(gè),投影矩陣 PPP 就是冪等矩陣, 且 2A?E2A - E2A?E 是對(duì)合矩陣。
故大家在進(jìn)行矩陣運(yùn)算時(shí),不能想當(dāng)然地認(rèn)為實(shí)數(shù)結(jié)論可以推廣到矩陣,一定要謹(jǐn)慎!因?yàn)榫仃嚤举|(zhì)上是一種線性映射,是一種函數(shù)。矩陣乘法對(duì)應(yīng)著函數(shù)的復(fù)合,而函數(shù)的復(fù)合是不可交換的,導(dǎo)致矩陣乘法極其復(fù)雜。
因?yàn)榫仃嚦朔?AB=CAB=CAB=C 的逆是已知矩陣 AAA 和 CCC ,求矩陣 BBB 。滿足等式成立的矩陣 BBB 不唯一,所以無(wú)法定義矩陣除法。矩陣 AAA 滿足什么條件,矩陣 BBB 是唯一的呢?當(dāng)矩陣 AAA 的向量組是無(wú)關(guān)組時(shí),Abi=ciA\mathbf{b_i} = \mathbf{c_i}Abi?=ci? 是單射, 向量 ci\mathbf{c_i}ci? 確定唯一的向量 bi\mathbf{b_i}bi? ,所以 AB=[Ab1,?,Abp]=[c1,?,cp]=CAB=\left[ A\mathbf{b_1},\cdots,A\mathbf{b_p}\right] = \left[ \mathbf{c_1},\cdots,\mathbf{c_p}\right]=CAB=[Ab1?,?,Abp?]=[c1?,?,cp?]=C ,矩陣 CCC 確定唯一矩陣 BBB ,此時(shí)才能定義矩陣除法。
總結(jié)
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