矩陣和實(shí)數(shù)運(yùn)算不同之處

除了矩陣乘法不滿足交換律外，矩陣還有幾個(gè)特殊之處。

定義 零矩陣 元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作 $\mathbf{O}$ 。注意不同型的零矩陣是不同的。

實(shí)數(shù) $ab=0$ 可得 $a=0$ 或 $b=0$ ，矩陣中存在類似的結(jié)論嗎，即兩個(gè)矩陣乘積為零矩陣，可得出某個(gè)矩陣為零矩陣嗎？結(jié)論是不能！若有兩個(gè)矩陣 $A$ 、$B$ 滿足 $AB=\mathbf{O}$ ，不能得出 $A=\mathbf{O}$ 或 $B=\mathbf{O}$ 的結(jié)論；若 $A=\mathbf{O}$ 而 $A(X?Y)=\mathbf{O}$ ，不能得出 $X=Y$ 的結(jié)論。

為什么呢？如果矩陣 $A$ 是相關(guān)組，則存在多個(gè)非零向量 ${\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}$ 滿足 $A{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}=0$ ，合成矩陣形式即得 $AB=\mathbf{O}$ 。

例如
$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{cc}2& ?4\\ ?1& 2\end{array}\right]AB=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$$

實(shí)數(shù) $a^2=1$ 可得 $a=1$ 或 $a=?1$ ，矩陣中存在類似的結(jié)論嗎，即矩陣平方為單位矩陣，可得出矩陣為單位矩陣或相反的單位矩陣嗎？結(jié)論是不能！若有矩陣 $A$ 滿足 $AA=E$ ，不能得出 $A=E$ 或 $A=?E$ 的結(jié)論。

定義 對(duì)合矩陣 逆矩陣等于自身的矩陣，即滿足 $AA=E$ 的矩陣。

對(duì)合矩陣有無(wú)窮多個(gè)，不只是單位矩陣。矩陣如果即是對(duì)稱矩陣又是正交矩陣，則是對(duì)合矩陣。

實(shí)數(shù) $a^2=a$ 可得 $a=1$ 或 $a=0$ ，矩陣中存在類似的結(jié)論嗎，即矩陣平方等于自身，可得出矩陣為單位矩陣或零矩陣嗎？結(jié)論是不能！若有矩陣 $A$ 滿足 $AA=A$ ，不能得出 $A=E$ 或 $A=\mathbf{O}$ 的結(jié)論。

定義 冪等矩陣 矩陣平方等于自身，即滿足 $AA=A$ 。

冪等矩陣有無(wú)窮多個(gè)，投影矩陣 $P$ 就是冪等矩陣， 且 $2A?E$ 是對(duì)合矩陣。

故大家在進(jìn)行矩陣運(yùn)算時(shí)，不能想當(dāng)然地認(rèn)為實(shí)數(shù)結(jié)論可以推廣到矩陣，一定要謹(jǐn)慎！因?yàn)榫仃嚤举|(zhì)上是一種線性映射，是一種函數(shù)。矩陣乘法對(duì)應(yīng)著函數(shù)的復(fù)合，而函數(shù)的復(fù)合是不可交換的，導(dǎo)致矩陣乘法極其復(fù)雜。

矩陣乘法沒(méi)有逆運(yùn)算：除法，不能定義矩陣 $A／B$ 。

因?yàn)榫仃嚦朔?$AB=C$ 的逆是已知矩陣 $A$ 和 $C$ ，求矩陣 $B$ 。滿足等式成立的矩陣 $B$ 不唯一，所以無(wú)法定義矩陣除法。矩陣 $A$ 滿足什么條件，矩陣 $B$ 是唯一的呢？當(dāng)矩陣 $A$ 的向量組是無(wú)關(guān)組時(shí)，$A{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}={\mathbf{c}}_{\mathbf{i}}$ 是單射， 向量 ${\mathbf{c}}_{\mathbf{i}}$ 確定唯一的向量 ${\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}$ ，所以 $AB=\left[A{\mathbf{b}}_1,?,A{\mathbf{b}}_{\mathbf{p}}\right]=\left[{\mathbf{c}}_1,?,{\mathbf{c}}_{\mathbf{p}}\right]=C$ ，矩陣 $C$ 確定唯一矩陣 $B$ ，此時(shí)才能定義矩陣除法。

總結(jié)

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