4.10 重要總結

讀者應該知道數值 $r$ 代表什么？就是矩陣 $A$ 的秩！為什么呢？顯然矩陣 $PAQ=\left[\begin{array}{c}{E}_{rr},F_{r,n?r}\\ {\mathbf{O}}_{m?r,r},{\mathbf{O}}_{r,n?r}\end{array}\right]$ 的行空間維度是 $r$ ，因為后面 $m?r$ 維分量都是 $0$ ，不能張開維度。列空間維度也是 $r$ ，因為自由矩陣 $F$ 能由單位矩陣 $E_{rr}$ 表示。矩陣乘以可逆矩陣不改變矩陣的秩，所以 $rankA=rankPAQ=r$ 。這也直接證明了行秩等于列秩 $rankA=rank{A}^T$ 。我們稱 $\left[\begin{array}{c}{E}_{rr},F_{r,n?r}\\ {\mathbf{O}}_{m?r,r},{\mathbf{O}}_{r,n?r}\end{array}\right]$ 為矩陣標準型，這也給出矩陣的秩另一個定義。

定義 矩陣的秩 矩陣高斯約當消元為標準型時，單位陣的階數為矩陣的秩。

定義 矩陣等價 如果存在可逆矩陣 $P,Q$ ，使 $PAQ=B$ ，則稱矩陣 $A,B$ 等價。

重要性質 矩陣等價時秩相等。

矩陣標準型還可以進一步化簡為最簡型，標準型進行列消元，把自由矩陣變換為零矩陣，即$PAQ=\left[\begin{array}{c}{E}_{rr},{\mathbf{O}}_{r,n?r}\\ {\mathbf{O}}_{m?r,r},{\mathbf{O}}_{r,n?r}\end{array}\right]$ 。

標準型$PAQ=\left[\begin{array}{c}{E}_{rr},F_{r,n?r}\\ {\mathbf{O}}_{m?r,r},{\mathbf{O}}_{r,n?r}\end{array}\right]$ 實際上可適用四種矩陣。

矩陣可逆時 $r=m=n$ ，標準型為$PA=\left[\begin{array}{c}{E}_{rr}\end{array}\right]$ ，只需進行行變換，故只需左乘矩陣。方程存在解且唯一解。

矩陣為列滿秩時 $r=n<m$ ，標準型為$PA=\left[\begin{array}{c}{E}_{rr}\\ {\mathbf{O}}_{m?r,r}\end{array}\right]$ ，只需進行行變換，故只需左乘矩陣。方程如果存在解則唯一，否則無解。

矩陣為行滿秩時 $r=m<n$ ，標準型為$PAQ=\left[\begin{array}{c}{E}_{rr},F_{r,n?r}\end{array}\right]$ ，有可能需要進行列變換，故需右乘矩陣 $Q$ 。方程存在解且無窮多。

矩陣為行列均不滿秩時 $r<min(m,n)$ ，標準型為$PAQ=\left[\begin{array}{c}{E}_{rr},F_{r,n?r}\\ {\mathbf{O}}_{m?r,r},{\mathbf{O}}_{r,n?r}\end{array}\right]$ ，有可能需要進行列變換，故需右乘矩陣 $Q$ 。方程如果存在解則無窮多，否則無解。

高斯約當消元法可求得矩陣很多東西：矩陣的主元，矩陣的秩，矩陣的零空間，方程的解，列向量組的極大無關組，行向量組的極大無關組，可逆矩陣的逆矩陣，向量是否能被矩陣的向量組表示。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的4.10 重要总结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。