5.7 隨機采樣最小二乘法

如果萬一出現差錯，又難以檢測出，則強影響點影響很大，此時可以采用一種隨機方法，盡量避免差錯帶來的影響。

隨機最小二乘法不采用所有測量數據，而是隨機抽取部分測量數據，根據這些部分測量數據進行最小二乘。如果沒有抽取到強影響點，則由抽取到的部分測量數據進行最小二乘法能獲得滿意的結果，所以隨機最小二乘法關鍵是怎么保證沒有抽取到強影響點。由于隨機抽取到強影響點的概率與強影響點所占比例成正比，故強影響點越少，抽取到的可能性越低。具體做法如下：

按比例 $p$ 隨機抽取測試數據集，進行最小二乘，獲得最優近似解。如果強影響點占比大，$p$ 可以取小些。抽取測量點最小數量為能確定方程解，即 $n$ 個點。

計算抽取到數據的殘差，如果沒有強影響點，則進入第 $3$ 步；如果有，則轉第 $1$ 步，重新進行抽取。反復循環，直到沒有強影響點。如果循環多次，一直都有強影響點，則可以減小 $p$ 值。

計算抽取到數據的殘差和未抽取到數據的預測殘差，把預測殘差與殘差大小相當的數據加入到抽取數據集。

采用增大后的抽取數據集進行最小二乘，得到最終近似解。

為了避免實際抽取到了強影響點，但由于巧合，第 $2$ 步卻沒有發現強影響點，導致擬合徹底失敗，可以多次運行上面流程，得到多個模型，選取最好的模型。

該方法最大優點是能適用于強影響點比例很大的場景，比如強影響點比例達 $60\%$ ，缺點是運行時間不定，效果不定，有一定運氣成分。需要設定幾個閾值，比如第一步的比例 $p$ ，第二步的判斷強影響點的殘差設定，第三步的預測殘差與殘差大小相當的設定，最后判斷最好模型的設定，總的來說，最終結果對這些閾值不是很敏感，閾值能在較大范圍內變動，而不影響最終結果。該方法和 $RANSAC$ 隨機采樣一致性算法十分類似。

總結

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