5.7 隨機(jī)采樣最小二乘法

如果萬(wàn)一出現(xiàn)差錯(cuò)，又難以檢測(cè)出，則強(qiáng)影響點(diǎn)影響很大，此時(shí)可以采用一種隨機(jī)方法，盡量避免差錯(cuò)帶來(lái)的影響。

隨機(jī)最小二乘法不采用所有測(cè)量數(shù)據(jù)，而是隨機(jī)抽取部分測(cè)量數(shù)據(jù)，根據(jù)這些部分測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘。如果沒(méi)有抽取到強(qiáng)影響點(diǎn)，則由抽取到的部分測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘法能獲得滿意的結(jié)果，所以隨機(jī)最小二乘法關(guān)鍵是怎么保證沒(méi)有抽取到強(qiáng)影響點(diǎn)。由于隨機(jī)抽取到強(qiáng)影響點(diǎn)的概率與強(qiáng)影響點(diǎn)所占比例成正比，故強(qiáng)影響點(diǎn)越少，抽取到的可能性越低。具體做法如下：

按比例 $p$ 隨機(jī)抽取測(cè)試數(shù)據(jù)集，進(jìn)行最小二乘，獲得最優(yōu)近似解。如果強(qiáng)影響點(diǎn)占比大，$p$ 可以取小些。抽取測(cè)量點(diǎn)最小數(shù)量為能確定方程解，即 $n$ 個(gè)點(diǎn)。

計(jì)算抽取到數(shù)據(jù)的殘差，如果沒(méi)有強(qiáng)影響點(diǎn)，則進(jìn)入第 $3$ 步；如果有，則轉(zhuǎn)第 $1$ 步，重新進(jìn)行抽取。反復(fù)循環(huán)，直到?jīng)]有強(qiáng)影響點(diǎn)。如果循環(huán)多次，一直都有強(qiáng)影響點(diǎn)，則可以減小 $p$ 值。

計(jì)算抽取到數(shù)據(jù)的殘差和未抽取到數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)殘差，把預(yù)測(cè)殘差與殘差大小相當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)加入到抽取數(shù)據(jù)集。

采用增大后的抽取數(shù)據(jù)集進(jìn)行最小二乘，得到最終近似解。

為了避免實(shí)際抽取到了強(qiáng)影響點(diǎn)，但由于巧合，第 $2$ 步卻沒(méi)有發(fā)現(xiàn)強(qiáng)影響點(diǎn)，導(dǎo)致擬合徹底失敗，可以多次運(yùn)行上面流程，得到多個(gè)模型，選取最好的模型。

該方法最大優(yōu)點(diǎn)是能適用于強(qiáng)影響點(diǎn)比例很大的場(chǎng)景，比如強(qiáng)影響點(diǎn)比例達(dá) $60\%$ ，缺點(diǎn)是運(yùn)行時(shí)間不定，效果不定，有一定運(yùn)氣成分。需要設(shè)定幾個(gè)閾值，比如第一步的比例 $p$ ，第二步的判斷強(qiáng)影響點(diǎn)的殘差設(shè)定，第三步的預(yù)測(cè)殘差與殘差大小相當(dāng)?shù)脑O(shè)定，最后判斷最好模型的設(shè)定，總的來(lái)說(shuō)，最終結(jié)果對(duì)這些閾值不是很敏感，閾值能在較大范圍內(nèi)變動(dòng)，而不影響最終結(jié)果。該方法和 $RANSAC$ 隨機(jī)采樣一致性算法十分類似。

總結(jié)

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