5.10 阻尼倒數法

改進Gram-Schmidt分解中需要計算 $r_{ii}=\Vert {\mathbf{a}}_i\Vert$ ，${\mathbf{q}}_i={\mathbf{a}}_i/r_{ii}$，$r_{ii}$ 表示子空間第 $i$ 個坐標軸的高度，當其為 $0$ 時，說明子空間少了該維度，矩陣 $A$ 不是列滿秩，${\mathbf{a}}_i$ 可由前面 $i?1$ 個 ${\mathbf{a}}_j,j<i$ 表示，這樣 ${\mathbf{q}}_i$ 單位向量應該為 $0$ 向量，最優解的第 $i$ 個分量應該為 $0$ 。但實際計算時，由于舍入誤差，$r_{ii}$ 不會等于 $0$ ，只會趨近 $0$ ，是個極小的數。如果還是按公式 ${\mathbf{q}}_i={\mathbf{a}}_i/r_{ii}$ 計算，由于舍入誤差 ${\mathbf{q}}_i$ 會極不穩定，導致最優解的第 $i$ 個分量遠離 $0$ 。所以我們希望當 $r_{ii}$ 很小時，$1/r_{ii}$ 實際計算時取 $0$ ，不是很小時，還是取原值。即要求

$$1/r_{ii}=\{\begin{array}{rccc}1/r_{ii}& for& large& r_{ii}\\ 0& for& small& r_{ii}\end{array}$$

為了達到這個目的，可以采用各種數學技巧，阻尼倒數法就是著名的一種。

$$1/r_{ii}=\frac{r_{ii}}{r_{ii}^2+{\lambda }^2}$$

$\lambda$ 是阻尼系數，需要人為設定，當 $r_{ii}<\lambda$ 時，認為 $r_{ii}$ 過小，理論上是 $0$ 。

阻尼倒數法有如下近似結果

$$\frac{r_{ii}}{r_{ii}^2+{\lambda }^2}=\{\begin{array}{rcc}\frac{1}{r_{ii}}& for& |r_{ii}|?\lambda \\ \frac{r_{ii}}{{\lambda }^2}\to 0& for& |r_{ii}|?\lambda \end{array}$$

為了減小阻尼系數 $\lambda$ 對正常 $r_{ii}$ 的影響，可以令當 $r_{ii}$ 較大時，$\lambda$ 趨近 $0$ 。可采用分段函數

$$\lambda =\{\begin{array}{rcc}{\lambda }_0(1?\frac{|r_{ii}|}{?})& for& |r_{ii}|\le ?\\ 0& for& |r_{ii}|>?\end{array}$$

也可采用高斯函數

$$\lambda ={\lambda }_0{e}^{?(\frac{|r_{ii}|}{?}{)}^2}$$

其中 ${\lambda }_0$ 為名義阻尼系數，$?$ 為判斷奇異的閾值。

高斯函數比分段函數更光滑，這樣最優解在奇異位置更平滑。高斯函數缺點是當 $r_{ii}$ 較大時，$\lambda$ 不等于 $0$ ，會引入極小誤差。

按照阻尼倒數法計算，${\mathbf{q}}_i={\mathbf{a}}_i/r_{ii}$ ，當 $r_{ii}$ 趨近 $0$ 時，${\mathbf{q}}_i$ 趨近 $0$ 。最優解的第 $i$ 分量 ${\hat{x}}_i=({\delta }_i?{\sum }_{j=i+1}^n({\delta }_j{\hat{x}}_j))/r_{ii}$ 也趨近 $0$ ，達到穩定解的目的。阻尼倒數法涉及的參數如 ${\lambda }_0$、$?$ ，其最優值很難確定。

$r_{ii}$ 趨近 $0$ ，矩陣 $A$ 不是列滿秩，此時矩陣是行列均不滿秩，方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解理論需要采用奇異值分解，后面章節會解釋。阻尼倒數法雖能得到較穩定的解，但只是其中一個解，沒有包含所有解。

總結

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