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title: 傅里葉變換學習
categories: 數學
date: 2019-08-14 17:09:27
tags: 高等數學

嘗試展示傅里葉級數詳細的推導過程，傅里葉變換的推導，解釋頻率域與時空域的關系以及高頻濾波低頻濾波的原理。

傅里葉計數的推導

1、任何一個函數都可以由很多個振幅不同的頻率不同的三角函數擬合。這個很直觀，不用過多解釋。

表達式：
$$f(t)=\sum _{n=1}^{\infty }(a_n?cos(\frac{2\pi n}{T}?t)+b_n?sin(\frac{2\pi n}{T}?t)$$
進一步轉化為歐拉表達
$$f(t)=\sum _{n=?\infty }^{\infty }{c}_n?e^{i\frac{2\pi n}{T}t}$$

$$關鍵是c_n怎么求，這里需要講清楚幾個概念，第一是基向量，第二是從向量的角度理解函數。$$

基向量好理解就是可以構成其他同一維度內任意向量的一組基本向量，正交基向量就是一組內積為零的基向量。從向量的角度來理解函數就需要了解一下希爾伯特空間了：

可以把函數的自變量離散為有限多個值，這樣函數就是一個有限多個的很長的長度空間向量。可以證明其擁有向量的很多特點。在這里主要用到向量的內積。
$$f(x)=[f(x1),f(x2),f(x3).....f(xn)]$$

$$|f(x){|}^2=|f(x1{)}^2,f(x2{)}^2,f(x3{)}^2,...f(xn{)}^2|$$

由上式可以看出其實函數的自己的內積，可以寫成如下的積分形式：
$$f(x)?f(x)=|f(x){|}^2=\int f(x)f(x)dx$$
現在回想一下求基函數的系數怎么求的？
$$假設基函數a與其它正交基函數組成了向量V。則其系數a_1=\frac{v?a}{a?a}$$
嘗試求一下系數
$$a_n=\frac{{\int }_{x=0}^{x=T}f(x)?cos(\frac{2\pi n}{T}x)dx}{{\int }_{x=0}^{x=T}co{s}^2(\frac{2\pi n}{T}x)dx}=\frac{2}{T}{\int }_{x=0}^{x=T}f(x)?cos(\frac{2\pi n}{T}x)dx$$
同理求一下
$$c_n=\frac{1}{T}{\int }_{x=0}^{x=T}f(x)?e^{?i(\frac{2\pi n}{T}x)}dx$$
這就是傅里葉級數，在這里并沒有把過程一步步推導出來主要卡在-i的位置，我不知道-i怎么出來的。另外這個合成的基函數直接求內積是0，所以其基函數內積應該是上面an和 bn的基函數內積之和才對。

傅里葉變換

暫時先不寫吧，主要是是傅里葉級數理解了，傅里葉變換也就好理解了，例外這一塊還需要補充知識。
$$F(u)={\int }_{?\infty }^{\infty }f(x)e^{?i2\pi ux}dx$$

$$f(t)={\int }_{?\infty }^{\infty }F(u)e^{i2\pi ux}du$$

頻率和濾波

頻域和時域的關系：

[外鏈圖片轉存失敗(img-93TezyfU-1565786615811)(https://chenandongtime.github.io/img/1565785135709.png)]

[外鏈圖片轉存失敗(img-kxJGIcMn-1565786615817)(https://chenandongtime.github.io/img/1565785186318.png)]

所謂的時域就是能夠看出隨時間的改變函數只的改變，而頻域只能看到隨頻率的改變，對應頻率的幅值的變化。對于一個函數來說，其變化大的地方對應的高頻函數的幅值較大，其變換小的地方高頻函數的幅值小。那么所謂的高通低通濾波，就是在乘一個頻率函數，低通濾波時是高頻函數值為0既可以，低頻為1。高通濾波時，低頻函數為0，高頻函數為1。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的傅里叶变换学习的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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