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title: 傅里葉變換學(xué)習(xí)
categories: 數(shù)學(xué)
date: 2019-08-14 17:09:27
tags: 高等數(shù)學(xué)

嘗試展示傅里葉級(jí)數(shù)詳細(xì)的推導(dǎo)過程，傅里葉變換的推導(dǎo)，解釋頻率域與時(shí)空域的關(guān)系以及高頻濾波低頻濾波的原理。

傅里葉計(jì)數(shù)的推導(dǎo)

1、任何一個(gè)函數(shù)都可以由很多個(gè)振幅不同的頻率不同的三角函數(shù)擬合。這個(gè)很直觀，不用過多解釋。

表達(dá)式：
$$f(t)=\sum _{n=1}^{\infty }(a_n?cos(\frac{2\pi n}{T}?t)+b_n?sin(\frac{2\pi n}{T}?t)$$
進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為歐拉表達(dá)
$$f(t)=\sum _{n=?\infty }^{\infty }{c}_n?e^{i\frac{2\pi n}{T}t}$$

$$關(guān)鍵是c_n怎么求，這里需要講清楚幾個(gè)概念，第一是基向量，第二是從向量的角度理解函數(shù)。$$

基向量好理解就是可以構(gòu)成其他同一維度內(nèi)任意向量的一組基本向量，正交基向量就是一組內(nèi)積為零的基向量。從向量的角度來理解函數(shù)就需要了解一下希爾伯特空間了：

可以把函數(shù)的自變量離散為有限多個(gè)值，這樣函數(shù)就是一個(gè)有限多個(gè)的很長的長度空間向量。可以證明其擁有向量的很多特點(diǎn)。在這里主要用到向量的內(nèi)積。
$$f(x)=[f(x1),f(x2),f(x3).....f(xn)]$$

$$|f(x){|}^2=|f(x1{)}^2,f(x2{)}^2,f(x3{)}^2,...f(xn{)}^2|$$

由上式可以看出其實(shí)函數(shù)的自己的內(nèi)積，可以寫成如下的積分形式：
$$f(x)?f(x)=|f(x){|}^2=\int f(x)f(x)dx$$
現(xiàn)在回想一下求基函數(shù)的系數(shù)怎么求的？
$$假設(shè)基函數(shù)a與其它正交基函數(shù)組成了向量V。則其系數(shù)a_1=\frac{v?a}{a?a}$$
嘗試求一下系數(shù)
$$a_n=\frac{{\int }_{x=0}^{x=T}f(x)?cos(\frac{2\pi n}{T}x)dx}{{\int }_{x=0}^{x=T}co{s}^2(\frac{2\pi n}{T}x)dx}=\frac{2}{T}{\int }_{x=0}^{x=T}f(x)?cos(\frac{2\pi n}{T}x)dx$$
同理求一下
$$c_n=\frac{1}{T}{\int }_{x=0}^{x=T}f(x)?e^{?i(\frac{2\pi n}{T}x)}dx$$
這就是傅里葉級(jí)數(shù)，在這里并沒有把過程一步步推導(dǎo)出來主要卡在-i的位置，我不知道-i怎么出來的。另外這個(gè)合成的基函數(shù)直接求內(nèi)積是0，所以其基函數(shù)內(nèi)積應(yīng)該是上面an和 bn的基函數(shù)內(nèi)積之和才對(duì)。

傅里葉變換

暫時(shí)先不寫吧，主要是是傅里葉級(jí)數(shù)理解了，傅里葉變換也就好理解了，例外這一塊還需要補(bǔ)充知識(shí)。
$$F(u)={\int }_{?\infty }^{\infty }f(x)e^{?i2\pi ux}dx$$

$$f(t)={\int }_{?\infty }^{\infty }F(u)e^{i2\pi ux}du$$

頻率和濾波

頻域和時(shí)域的關(guān)系：

[外鏈圖片轉(zhuǎn)存失敗(img-93TezyfU-1565786615811)(https://chenandongtime.github.io/img/1565785135709.png)]

[外鏈圖片轉(zhuǎn)存失敗(img-kxJGIcMn-1565786615817)(https://chenandongtime.github.io/img/1565785186318.png)]

所謂的時(shí)域就是能夠看出隨時(shí)間的改變函數(shù)只的改變，而頻域只能看到隨頻率的改變，對(duì)應(yīng)頻率的幅值的變化。對(duì)于一個(gè)函數(shù)來說，其變化大的地方對(duì)應(yīng)的高頻函數(shù)的幅值較大，其變換小的地方高頻函數(shù)的幅值小。那么所謂的高通低通濾波，就是在乘一個(gè)頻率函數(shù)，低通濾波時(shí)是高頻函數(shù)值為0既可以，低頻為1。高通濾波時(shí)，低頻函數(shù)為0，高頻函數(shù)為1。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的傅里叶变换学习的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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