时间复杂度计算杂记
算法時間復雜度的計算 [整理]
時間復雜度算法?
基本的計算步驟
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時間復雜度的定義
??? 一般情況下，算法中基本操作重復執行的次數是問題規模n的某個函數，用T(n)表示，若有某個輔助函數f(n)，使得當n趨近于無窮大時，T(n)/f(n)的極限值為不等于零的常數，則稱f(n)是T(n)的同數量級函數。記作T(n)=O(f(n))，稱O(f(n))為算法的漸進時間復雜度(O是數量級的符號 )，簡稱時間復雜度。
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根據定義，可以歸納出基本的計算步驟
1. 計算出基本操作的執行次數T(n)
??? 基本操作即算法中的每條語句（以;號作為分割），語句的執行次數也叫做語句的頻度。在做算法分析時，一般默認為考慮最壞的情況。
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2. 計算出T(n)的數量級
??? 求T(n)的數量級，只要將T(n)進行如下一些操作：
??? 忽略常量、低次冪和最高次冪的系數
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??? 令f(n)=T(n)的數量級。
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3. 用大O來表示時間復雜度
??? 當n趨近于無窮大時，如果lim(T(n)/f(n))的值為不等于0的常數，則稱f(n)是T(n)的同數量級函數。記作T(n)=O(f(n))。
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一個示例：
(1) int num1, num2;
(2) for(int i=0; i<n; i++){
(3)???? num1 += 1;
(4)???? for(int j=1;j<=n; j*=2){
(5)????????num2 += num1;
(6)???? }
(7) }
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分析：
1.
語句int num1, num2;的頻度為1；
語句i=0;的頻度為1；
語句i<n; i++; num1+=1; j=1; 的頻度為n；
語句j<=n; j*=2; num2+=num1;的頻度為n*log2n；
T(n) = 2 + 4n + 3n*log2n
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2.
忽略掉T(n)中的常量、低次冪和最高次冪的系數
f(n) = n*log2n
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3.
lim(T(n)/f(n)) = (2+4n+3n*log2n) /(n*log2n)
????????????????????= 2*(1/n)*(1/log2n) + 4*(1/log2n) + 3
?
當n趨向于無窮大，1/n趨向于0，1/log2n趨向于0
所以極限等于3。
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T(n) = O(n*log2n)
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簡化的計算步驟
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再來分析一下，可以看出，決定算法復雜度的是執行次數最多的語句，這里是num2 += num1，一般也是最內循環的語句。
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并且，通常將求解極限是否為常量也省略掉？
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于是，以上步驟可以簡化為：
1. 找到執行次數最多的語句
2. 計算語句執行次數的數量級
3. 用大O來表示結果
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繼續以上述算法為例，進行分析：
1.
執行次數最多的語句為num2 += num1
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2.
T(n) = n*log2n
f(n) = n*log2n
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3.
// lim(T(n)/f(n)) = 1
T(n) = O(n*log2n)
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一些補充說明
最壞時間復雜度
??? 算法的時間復雜度不僅與語句頻度有關，還與問題規模及輸入實例中各元素的取值有關。一般不特別說明，討論的時間復雜度均是最壞情況下的時間復雜度。這就保證了算法的運行時間不會比任何更長。
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求數量級
即求對數值(log)，默認底數為10，簡單來說就是“一個數用標準科學計數法表示后，10的指數”。例如，5000=5x10 3 (log5000=3) ，數量級為3。另外，一個未知數的數量級為其最接近的數量級，即最大可能的數量級。
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求極限的技巧
要利用好1/n。當n趨于無窮大時，1/n趨向于0
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一些規則(引自：時間復雜度計算 )
1) 加法規則
T(n,m) = T1(n) + T2(n) = O (max ( f(n),g(m) )
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2) 乘法規則
T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O (f(n) * g(m))
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3) 一個特例（問題規模為常量的時間復雜度）
在大O表示法里面有一個特例，如果T1(n) ＝ O(c)， c是一個與n無關的任意常數，T2(n) = O ( f(n) ) 則有
T(n) = T1(n) * T2(n) = O ( c*f(n) ) = O(f(n) )
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也就是說，在大O表示法中，任何非0正常數都屬于同一數量級，記為O(1)。
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4) 一個經驗規則
復雜度與時間效率的關系：
c < log2n < n < n*log2n < n2< n3 < 2n < 3n < n! （c是一個常量）
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?????????較好????????????????????一般?????????????較差
其中c是一個常量，如果一個算法的復雜度為c 、 log2n 、n 、 n*log2n,那么這個算法時間效率比較高，如果是 2n , 3n ,n!,那么稍微大一些的n就會令這個算法不能動了，居于中間的幾個則差強人意。
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復雜情況的分析
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以上都是對于單個嵌套循環的情況進行分析，但實際上還可能有其他的情況，下面將例舉說明。
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1.并列循環的復雜度分析
將各個嵌套循環的時間復雜度相加。
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例如：
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for (i=1; i<=n; i++)
??? x++;
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for (i=1; i<=n; i++)
??? for (j=1; j<=n; j++)
??????? x++;
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解：
第一個for循環
T(n) = n
f(n) = n
時間復雜度為Ο(n)
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第二個for循環
T(n) = n2
f(n) = n2
時間復雜度為Ο(n2)
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整個算法的時間復雜度為Ο(n+n2) = Ο(n2)。
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2.函數調用的復雜度分析
例如：
public void printsum(int count){
??? int sum = 1;
??? for(int i= 0; i<n;i++){
?????? sum +=i;
??? }? ?
??? System.out.print(sum);
}
?
分析：
記住，只有可運行的語句才會增加時間復雜度，因此，上面方法里的內容除了循環之外，其余的可運行語句的復雜度都是O(1)。
所以printsum的時間復雜度 = for的O(n)+O(1) = 忽略常量 = O(n)
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*這里其實可以運用公式 num =n*(n+1)/2，對算法進行優化，改為：
public void printsum(int count){
??? int sum = 1;
??? sum = count *(count+1)/2;? ?
??? System.out.print(sum);
}
這樣算法的時間復雜度將由原來的O(n)降為O(1)，大大地提高了算法的性能。
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3.混合情況（多個方法調用與循環）的復雜度分析
例如：
public void suixiangMethod(int n){
??? printsum(n);//1.1
??? for(int i= 0; i<n;i++){
??????printsum(n); //1.2
??? }
??? for(int i= 0; i<n;i++){
??????for(int k=0; k
???????System.out.print(i,k); //1.3
????? }
? }
suixiangMethod 方法的時間復雜度需要計算方法體的各個成員的復雜度。
也就是1.1+1.2+1.3 = O(1)+O(n)+O(n2) ----> 忽略常數 和 非主要項 == O(n2)
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更多的例子
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O(1)
交換i和j的內容
temp=i;
i=j;
j=temp;???????????????????
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以上三條單個語句的頻度為1，該程序段的執行時間是一個與問題規模n無關的常數。算法的時間復雜度為常數階，記作T(n)=O(1)。如果算法的執行時間不隨著問題規模n的增加而增長，即使算法中有上千條語句，其執行時間也不過是一個較大的常數。此類算法的時間復雜度是O(1)。
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O(n2)
??? sum=0；???????????????/* 執行次數1 */
???for(i=1;i<=n;i++)???? ?
??????for(j=1;j<=n;j++)
????????sum++；?????? /* 執行次數n2 */
解：T(n) = 1 + n2 = O(n2)
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?? for (i=1;i<n;i++)
?? {
??????y=y+1;??????? ①? ?
?????? for(j=0;j<=(2*n);j++)?? ?
?????????x++;??????? ②?????
??}??????? ?
解：? 語句1的頻度是n-1
????????語句2的頻度是(n-1)*(2n+1) = 2n2-n-1
????????T(n) = 2n2-n-1+(n-1) = 2n2-2
????????f(n) = n2
????????lim(T(n)/f(n)) = 2 + 2*(1/n2) = 2
????????T(n) = O(n2).
?
O(n)???????????????????????????????????????
?? a=0;
??b=1;????????????????????①
?? for (i=1;i<=n;i++) ②
?? { ?
????? s=a+b; ③
????? b=a; ④ ?
????? a=s; ⑤
?? }
解：? 語句1的頻度：2,?????? ?
????????語句2的頻度：n,?????? ?
????????語句3的頻度：n,?????? ?
????????語句4的頻度：n,?? ?
????????語句5的頻度：n,?????????????????????????????????
????????T(n) = 2+4n
????????f(n) = n
????????lim(T(n)/f(n)) = 2*(1/n) + 4 = 4
????????T(n) = O(n).??? ?
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????
O(log2n)
??i=1;?????? ①
?? while (i<=n)
????? i=i*2; ②
解：語句1的頻度是1,?
?????? 設語句2的頻度是t,? 則：nt<=n;?t<=log2n
?????? 考慮最壞情況，取最大值t=log2n,
???????T(n) = 1 + log2n
???????f(n) = log2n
???????lim(T(n)/f(n)) = 1/log2n + 1 = 1
???????T(n) = O(log2n)
?
?O(n3)
?? for(i=0;i<n;i++)
?? {?
?????for(j=0;j<i;j++)?
????? {
????????for(k=0;k<j;k++)
???????????x=x+2;?
????? }
?? }
解：當i=m, j=k的時候,內層循環的次數為k當i=m時, j 可以取 0,1,...,m-1 ,? 所以這里最內循環共進行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i從0取到n, 則循環共進行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/2次
T(n) = n(n+1)(n-1)/2 = (n3-n)/2
f(n) = n3
所以時間復雜度為O(n3)。
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總結
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