元胞自動機

元胞自動機（ Cellular Automata） 是 20 世紀 50 年代初由計算機之父馮·諾依曼為了模擬生命系統(tǒng)所具有的自復(fù)制功能而提出來的網(wǎng)格動力學模型。

概念

元胞自動機采用離散的空間布局和離散的時間間隔，將元胞分成有限種狀態(tài)，元胞個體狀態(tài)的演變僅與其當前狀態(tài)以及其某個局部鄰域的狀態(tài)有關(guān)。

將所有元胞自動機的動力學行為歸納為四大類（Wolfram. S.，1986):

⑴ 平穩(wěn)型:自任何初始狀態(tài)開始，經(jīng)過一定時間運行后，元胞空間趨于一個空間平穩(wěn)的構(gòu)形，這里空間平穩(wěn)即指每一個元胞處于固定狀態(tài)。不隨時間變化而變化。

⑵ 周期型：經(jīng)過一定時間運行后，元胞空間趨于一系列簡單的固定結(jié)構(gòu)（Stable Patterns）或周期結(jié)構(gòu)（Perlodical Patterns)。由于這些結(jié)構(gòu)可看作是一種濾波器（Filter），故可應(yīng)用到圖像處理的研究中。

⑶ 混沌型：自任何初始狀態(tài)開始，經(jīng)過一定時間運行后，元胞自動機表現(xiàn)出混沌的非周期行為，所生成的結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計特征不再變止，通常表現(xiàn)為分形分維特征。

⑷ 復(fù)雜型：出現(xiàn)復(fù)雜的局部結(jié)構(gòu)，或者說是局部的混沌，其中有些會不斷地傳播。

初等元胞自動機（ Elementary Cellular Automata， ECA)的基本要素如下：

• 元胞空間：元胞在空間分布的空間格點的集合，如一維直線上等間距的點。可為某區(qū)間上的整數(shù)點的集合。二維的元胞自動機通常有三種劃分方式（三角形、正方形、正六邊形）

網(wǎng)格類型優(yōu)點缺點

三角形	擁有相對較少的鄰居數(shù)目，易于處理復(fù)雜邊界	在計算機的表達與顯示不方便，需要轉(zhuǎn)換為四方網(wǎng)格
正方形	直觀簡單，而且適合于在現(xiàn)有計算機環(huán)境下進行表達顯示	不能較好地模擬各向同性的現(xiàn)象
正六邊形	能夠較好地模擬各向同性的現(xiàn)象，因此，模型更更加自然而真實	在表達顯示上較為困難、復(fù)雜

元胞空間的邊界條件

理論上，元胞空間是無限的，實際應(yīng)用中無法達到這一理想條件。常用的邊界條件有以下幾種：周期型、定值型、絕熱型、反射型

周期型邊界條件(Periodic Boundary)
是指相對邊界連接起來的元胞空間，對于一維空間，首尾相接形成一個圓環(huán)；
對于二維空間，上下相接、左右相接，形成一個拓撲圓環(huán)面，形似車胎

定值型邊界條件(Constant Boundary)
所有邊界外元胞均取某一固定常量

絕熱型邊界條件(Adiabatic Boundary)
在指邊界外鄰居元胞的狀態(tài)始終和邊界元胞的狀態(tài)保持一致，即具有狀態(tài)的零梯度。

反射型邊界條件(Constant Boundary)
在邊界外鄰居的元胞狀態(tài)是以邊界元胞為軸的鏡面反射

• 狀態(tài)集：S={s1,s2} 即只有兩種不同的狀態(tài)。這兩種不同的狀態(tài)可將其分別編碼為0 與 1；若用圖形表示，則可對應(yīng)“黑”與“白” 或者其他兩種不同的顏色。
• 鄰居：若一維鄰居半徑r=1，即每個元胞最多只有“左鄰右舍”兩個鄰居。

馮諾依曼型
鄰居數(shù)目=2d

2. 摩爾型
鄰居數(shù)目=3^d-1
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3. 擴展摩爾型
鄰居數(shù)目=(2r+1)^d-1

4. 馬格勒斯型(Margolus)
主要區(qū)別：以2*2的元胞塊為單元進行處理，而不是單獨處理
主要應(yīng)用領(lǐng)域：格子氣流體、顆粒流

• 演化規(guī)則：任意設(shè)定， 最多2^8=256種不同的設(shè)定方式。元胞以相鄰的8個元胞為鄰居。即Moore鄰居；一個元胞的生死由其在該時刻本身的生死狀態(tài)和周圍八個鄰居的狀態(tài)決定。根據(jù)元胞及其鄰居元胞的狀態(tài)，決定下一時刻該元胞狀態(tài)的動力學函數(shù)，也可以是狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程或局部映射。

從數(shù)學上來定義，有限自動機是一個五元組:

FA=(Q，S，δ，q0，F)

其中，Q是控制器的有限狀態(tài)集、S是輸入符號約有限集、δ是控制狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律的Q×S到Q的映射 (可用狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖或狀態(tài)轉(zhuǎn)移表表示)，q0是初始狀態(tài)、F是終止狀態(tài)集。若δ是單值映射，則稱M為確定性有限自動機;若δ是多值映射，則稱M為非確定性 有限自動機。

特征

（1）同質(zhì)性、齊性：同質(zhì)性反映在元胞空間內(nèi)的每個元胞都服從相同的規(guī)則；齊性指的是元胞的分布方式相同，大小形狀相同，空間分布整齊。

（2）空間離散：元胞分布在按一定規(guī)則劃分的離散的元胞空間上。

（3）時間離散：系統(tǒng)的演化是按等時間間隔分步進行的。t時刻的狀態(tài)只對t+1時刻的狀態(tài)產(chǎn)生影響。

（4）狀態(tài)離散、有限：元胞自動機的狀態(tài)參量只能取有限個離散值。

（5）同步計算（并行性）：元胞自動機的處理是同步進行的。

（6）時空局域性：每個元胞在t+1時刻的狀態(tài)，取決于其鄰居的元胞在t時刻的狀態(tài)。

（7）維數(shù)高：動力系統(tǒng)中一般將變量的個數(shù)成為維數(shù)。任何完備元胞自動機的元胞空間是在空間上的無窮集，每個元胞的狀態(tài)是這個動力學系統(tǒng)的變量，因此元胞自動機是一類無窮維動力系統(tǒng)。

應(yīng)用：
生物學領(lǐng)域

腫瘤細胞的增長機理和過程模擬
人類大腦的機理探索
艾滋病病毒HIV的感染過程
自組織、自繁殖等生命現(xiàn)象的研究
克隆技術(shù)
模擬植物的生長
貝殼上色素的沉積圖案
生態(tài)學領(lǐng)域

生態(tài)系統(tǒng)動態(tài)變化過程的模擬
螞蟻的行走路線，大雁、魚類洄游動物的群體行為的模擬
生物群落的擴散模擬

物理學模擬

LGA 格子氣自動機
LBM格子-玻爾茲曼法
流體領(lǐng)域，在多孔介質(zhì)、多相流、微小尺寸具有獨特的優(yōu)越性
LBM同樣被成功用于磁場、電場、熱擴散、熱傳導(dǎo)的模擬
雪花等枝晶的形成
液態(tài)金屬材料的凝固結(jié)晶過程
顆粒材料的垮塌現(xiàn)象
交通科學領(lǐng)域
兩條主線：
1）Nagel-Schreckenberg模型
對城市道路交通流的研究
2）BML模型
對城市交通網(wǎng)絡(luò)的研究

計算機科學與信息學領(lǐng)域

研究信息的保存、傳遞、擴散
圖像處理和模式識別

184號模型

• 道路被劃分為等距格子，每個格點表示一個元胞；
• 某個時刻，元胞或者是空的，或者被一輛車占據(jù)；
• 所有車輛的行進方向都是一致的（如向右）；
• 在每一個時間步內(nèi)：若第n輛車的前方元胞是空的，則該車可以向前行駛一步；
• 若前面的元胞被另一輛車n+1所占據(jù)，即使第n+1輛車在本時間步內(nèi)離開此元胞，第n輛車也停在原地不動；
• 整個系統(tǒng)采用周期性邊界條件以確保車輛數(shù)守恒。
  

NaSch模型

NaSch模型是對184號模型的推廣，1992年Nagle和Schreckenberg提出了著名的NaSch模型

Python 實現(xiàn)最簡單的元胞自動機

選取的元胞狀態(tài)只有兩種，分別為 0 和 1。每一層由 64 個元胞組成，若元胞狀態(tài)為 1，那么控制臺將打印星號(*)；如果元胞狀態(tài)為 0，那么控制臺將打印連字符(-)。也就是說，每一行由 64 個混合星號與連字符的圖案組成。

狀態(tài)更新規(guī)則：若當前元胞的前一個元胞的狀態(tài)為 1，或者前一個元胞的左右兩邊的元胞的狀態(tài)有且只有一個值為 1， 那么該元胞的狀態(tài)就為 1。反之，元胞的狀態(tài)設(shè)為 0。對于第一列和最后一列，我們只需分別考慮右元胞和左元胞即可。對于中間部分的元胞來說，若其領(lǐng)域元胞的狀態(tài)為[0,1,0]、[0,0,1]、[1,0,0]、[1,1,0]等狀態(tài)時，當前元胞的狀態(tài)就為 1。

import time def print_seq(seq, speed=0.5):for item in seq:if item:print('*', end='')else:print('-', end='')print('')time.sleep(speed)class Cell:def __init__(self, deepth=31):self.ca = [0 if i != 31 else 1 for i in range(64)]self.ca_new = []self.deepth = deepthdef process(self):print_seq(self.ca)for i in range(self.deepth):self._rule()print_seq(self.ca_new)self.ca = self.ca_newself.ca_new = []def _rule(self):for i in range(64):if 0 < i < 63:if self.ca[i - 1] == self.ca[i + 1]:self.ca_new.append(0)else:self.ca_new.append(1)elif i == 0:if self.ca[1]:self.ca_new.append(1)else:self.ca_new.append(0)else:if self.ca[62]:self.ca_new.append(1)else:self.ca_new.append(0)def main():cell = Cell()cell.process()if __name__ == '__main__':main()

參考文章：

元胞自動機研究的相關(guān)理論方法

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的元胞自动机简单理解的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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