接上一期的分享，今天繼續(xù)學(xué)習(xí)統(tǒng)計學(xué)的相關(guān)知識，今天涉及到的五個知識點主要包括離散型概率分布、連續(xù)型概率分布、假設(shè)檢驗、假設(shè)檢驗的運(yùn)用（一類錯誤與二類錯誤）以及相關(guān)、因果以及回歸關(guān)系。

一、離散型概率分布?

離散型隨機(jī)變量是所有取值能夠一一列舉出來，這樣的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量。例如擲骰子試驗，朝上的點數(shù)只能從1，2，3，4，5，6中取值。而關(guān)于離散型隨機(jī)變量的分布就是離散型概率分布，離散型概率分布主要包括三類，幾何分布；二項分布以及泊松分布。下表匯總了這三類離散型概率分布的部分計算公式。

1.?幾何分布

（1）定義

伯努利試驗是只有兩種可能結(jié)果的單次隨機(jī)試驗。伯努利試驗都可以表達(dá)為“是或否”的問題。例如，拋一次硬幣，是否正面向上？在n次伯努利試驗中，第k次試驗才得到第一次成功的概率分布稱為幾何分布。

（2）條件

進(jìn)行一系列相互獨(dú)立試驗。

每一次試驗都存在成功和失敗的可能，且每次可能性都相同。

想得到的結(jié)果是，為了取得第一次成功所需要進(jìn)行多少次試驗。

（3）表示

X～Geo(p)

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（4）概率計算公式

第r次試驗取得成功的概率：P(X=r)=pq^r?1

需要r次以上才能獲得第一個成功的概率：P(X>r)=q^r

需要試驗r次或不到r次即可取得第一次成功的概率：P(X<=r)=1?q^r

期望：E(X)=1/p

方差：Var(X)=q/p²

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2.?二項式分布

（1）定義

如果試驗E是一個伯努利試驗，將E獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行n次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗為n重伯努利試驗。二項分布是n重伯努利試驗成功次數(shù)的離散概率分布。

（2）條件

進(jìn)行一系列獨(dú)立試驗。

每一次試驗都存在成功和失敗的可能，且每次成功概率相同。

試驗次數(shù)有限。

（3）與幾何分布的不同之處

幾何分布感興趣的是取得第一次成功所需要進(jìn)行多少次試驗。

二項式分布感興趣的是獲得成功的次數(shù)。

（4）表示

X～B(n,p)

在n次試驗中，取得r次成功的概率為：

（5）計算公式

期望：E(X)=np

方差：Var(X)=npq

3.?泊松分布

（1）定義

泊松分布描述單位時間/面積內(nèi)，隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)，比如某一服務(wù)設(shè)施一定時間內(nèi)到達(dá)的人數(shù)，一個月內(nèi)機(jī)器損壞的次數(shù)等。

（2）條件

單獨(dú)時間在給定區(qū)間內(nèi)隨機(jī)、獨(dú)立地發(fā)生，給定區(qū)間可以是時間或空間。

一直該區(qū)間內(nèi)的時間平均發(fā)生的次數(shù)（或者叫做發(fā)生率），且為有限數(shù)值。該時間平均發(fā)生次數(shù)通常用希臘字母λ表示。

（3）表示

X～Po(λ)

給定區(qū)間內(nèi)發(fā)生r次時間的概率是：

（4）計算公式

期望：E(X)=λ

方差：Var(X)=λ

?二、連續(xù)型概率分布?

隨機(jī)變量的取值是某一個區(qū)間中的任意一點，這樣的隨機(jī)變量稱為連續(xù)型隨機(jī)變量，比如公交車每15分鐘一班，某人在站臺等車的時間x就是一個連續(xù)型隨機(jī)變量。連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布叫做連續(xù)型概率分布。

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1.??正態(tài)分布

正態(tài)分布是統(tǒng)計學(xué)中常見的一種分布，如學(xué)生考試成績的人數(shù)分布等，表現(xiàn)為兩邊對稱，是一種鐘形的概率分布。正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為：

正態(tài)分布的期望是：

方差是：

μ=0且δ=1的正態(tài)分布，被稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。它有對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，通過該表可以找到對應(yīng)值累積的概率。

正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：正態(tài)分布X，均值是μ，標(biāo)準(zhǔn)差是δ,z定義為。

正態(tài)分布的重要應(yīng)用，我們在前一期中提過的3δ原則。

正態(tài)分布來近似二項分布：當(dāng)n足夠大的時候，正態(tài)分布對于離散型二項分布能夠很好地近似。

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評價正態(tài)分布：

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（1）圖形：建立直方圖或者枝干圖，看圖像的形狀是否類似正態(tài)曲線，即土墩形或者鐘形，并且兩端對稱。

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（2）計算區(qū)間(μ-δ,μ+δ)，(μ-2δ,μ+2δ)，(μ-3δ,μ+3δ)，看落在區(qū)間內(nèi)的百分比是否近似于68%，95%，100%。（3δ原則）

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（3）求IQR和標(biāo)準(zhǔn)差δ，計算IQR/δ，如果是正態(tài)分布，則IQR/δ≈1.3

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（4）建立正態(tài)概率圖，如果近似正態(tài)分布，點會落在一條直線上。

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1.??均勻分布

均勻分布是指連續(xù)型隨機(jī)變量所有可能出現(xiàn)值的出現(xiàn)概率都相同。其概率密度函數(shù)為：

均勻分布的期望為：

方差為：

均勻分布在自然情況下比較少見，而人工栽種的有一定株行距的植物群落即是均勻分布。這表明X落在 [a,b] 的子區(qū)間內(nèi)的概率只與子區(qū)間長度有關(guān)，和子區(qū)間位置無關(guān)，因此X落在 [a,b] 的長度相等的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相等的，所謂的均勻指的就是這種等可能性。

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1.??指數(shù)分布

指數(shù)分布通常用來表示隨機(jī)事件發(fā)生的時間間隔，如旅客進(jìn)機(jī)場的時間間隔、電子產(chǎn)品的壽命分布等。

指數(shù)分布的特征：無記憶性。比如燈泡的使用壽命服從指數(shù)分布，無論它已經(jīng)使用了多長時間，假設(shè)為s，只要還沒有損壞，它能再使用一段時間t的概率與一件新產(chǎn)品使用時間t的概率是一樣的。這個證明過程簡單表示：

P(s+t|s) = P(s+t,s)/P(s) = F（s+t）/F（s）=P(t)

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指數(shù)分布的概率密度函數(shù)為：

指數(shù)分布的期望為：

方差為：

?三、苦苦分不清的假設(shè)檢驗?

假設(shè)檢驗包括t檢驗、z檢驗、F檢驗、卡方檢驗、方差齊性檢驗等，這么多的假設(shè)檢驗，好混亂啊，下面總結(jié)的資料幫助你理解這么多類型的假設(shè)檢驗。

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（1）什么是假設(shè)檢驗

假設(shè)檢驗是指預(yù)先對總體參數(shù)的取值做出假定，然后用樣本數(shù)據(jù)來驗證，從而做出是接受還是拒絕的結(jié)論。

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（2）假設(shè)檢驗的思考邏輯

基本思路是：問題是什么？證據(jù)是什么？判斷依據(jù)是什么？做出結(jié)論。

基本步驟：

1)、提出原假設(shè)和備擇假設(shè)

2)、確定適當(dāng)?shù)臋z驗統(tǒng)計量

3)、規(guī)定顯著水平@，查出臨界值，確定拒絕域和接受域

4)、計算檢驗統(tǒng)計量的值，做出統(tǒng)計決策。

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(3)假設(shè)檢驗的類型

其中假設(shè)檢驗的種類包括：T檢驗，Z檢驗，卡方檢驗，F檢驗，ANOVA （方差分析）等等。

1）方差分析

又稱“ 變異數(shù)分析”，是R.A.Fisher發(fā)明的，要求比較的資料服從正態(tài)分布，用于兩個及兩個以上樣本均數(shù)差別的顯著性檢驗。方差分析可以用于兩樣本及以上樣本之間的比較。

方差分析主要用途：

①???均數(shù)差別的顯著性檢驗，

②???分離各有關(guān)因素并估計其對總變異的作用，

③???分析因素間的交互作用，

④???方差齊性檢驗。

2）T檢驗

T檢驗主要用于樣本含量較小（例如n<30），要求比較的資料服從正態(tài)分布，總體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知的正態(tài)分布資料。t檢驗只能用于兩樣本均數(shù)及樣本均數(shù)與總體均數(shù)之間的比較。t檢驗可用于比較男女身高是否存在差別。

3）Z檢驗

Z檢驗是一般用于大樣本(即樣本容量大于30)平均值差異性檢驗的方法。它是用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的理論來判斷差異發(fā)生的概率，從而比較兩個平均數(shù)>平均數(shù)的差異是否顯著。

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4）F檢驗

F檢驗又叫方差齊性檢驗。在兩樣本t檢驗中要用到F檢驗。

從兩研究總體中隨機(jī)抽取樣本，要對這兩個樣本進(jìn)行比較的時候：

①???首先要判斷兩總體方差是否相同，即方差齊性。

②???若兩總體方差相等，則直接用t檢驗；

③???若不等，可采用t'檢驗或變量變換或秩和檢驗等方法。

其中要判斷兩總體方差是否相等，就可以用F檢驗。簡單的說就是檢驗兩個樣本的方差是否有顯著性差異，這是選擇何種T檢驗（等方差雙樣本檢驗，異方差雙樣本檢驗）的前提條件。

T檢驗與 F檢驗的差異：T檢驗用來檢測數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度--系統(tǒng)誤差；F檢驗用來檢測數(shù)據(jù)的精密度偶然誤差。

?5）卡方檢驗

卡方檢驗就是統(tǒng)計樣本的實際觀測值與理論推斷值之間的偏離程度，實際觀測值與理論推斷值之間的偏離程度就決定卡方值的大小，如果卡方值越大，二者偏差程度越小；反之，二者偏差越大，若兩個值完全相等時，卡方值就為0，表明理論值完全符合。其中卡方檢驗針對分類變量。

卡方檢驗就是檢驗兩個變量之間有沒有關(guān)系。以運(yùn)營為例:卡方檢驗可以檢驗?zāi)行曰蛘吲詫€上買生鮮食品有沒有區(qū)別；不同城市級別的消費(fèi)者對買SUV車有沒有什么區(qū)別；如果有顯著區(qū)別的話，我們會考慮把這些變量放到模型或者分析里去。

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上面講了五種統(tǒng)計中的假設(shè)檢驗，說完之后，還是苦苦分不清，一張圖告訴你它們之間的區(qū)別和聯(lián)系。

?四、假設(shè)檢驗的運(yùn)用（一類錯誤與二類錯誤）?

1.假設(shè)檢驗

（1）目標(biāo)：判斷一個假設(shè)是否可信。

（2）假設(shè)檢驗：做出假設(shè)或斷言，對照證據(jù)進(jìn)行檢驗。

（3）步驟：

1）確定要進(jìn)行檢驗的假設(shè)。

2）選擇檢驗統(tǒng)計量。

3）確定用于做出決策的拒絕域。

4）求出檢驗統(tǒng)計量的p值。

5）查看樣本結(jié)果是否位于拒絕域內(nèi)。

6）做出決策。

2.詳細(xì)過程

（1）確定假設(shè)

所需要檢驗的斷言被成為原假設(shè)。

與原假設(shè)對立的被成為備擇假設(shè)。

原假設(shè)與備擇假設(shè)不用覆蓋所有可能。

（2）選擇檢驗統(tǒng)計量

檢驗統(tǒng)計量：用于對假設(shè)進(jìn)行檢驗的統(tǒng)計量，是與該檢驗關(guān)系最為密切的統(tǒng)計量。

（3）確定拒絕域

拒絕域：一組數(shù)值，給出反駁元假設(shè)的最極端證據(jù)。

為求拒絕域，先定顯著性水平，即所度量的一種愿望，希望在樣本結(jié)果不可能程度達(dá)到多大時，就拒絕原假設(shè)，一般選擇5%或1%。

檢驗分類：

單尾檢驗：檢驗的拒絕域在可能的數(shù)據(jù)集的一側(cè)。

雙尾檢驗：拒絕域一分為二位于數(shù)據(jù)集的兩側(cè)。

（4）求出p值

定義：某個小于或等于拒絕域方向上的一個樣本數(shù)值的概率。

為取得樣本中的各種結(jié)果或取得拒絕域方向上的某些更為極端的結(jié)果的概率。

（5）樣本結(jié)果位于拒絕域中嗎。

做出決策。

3.第一類錯誤與第二類錯誤

（1）即使證據(jù)很有力，也無法確定斷言是錯誤的。

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（2）假設(shè)檢驗可能出現(xiàn)的錯誤有兩種：

第一類錯誤：錯誤地拒絕真實假設(shè)。

P(第一類錯誤)=α，其中α為假設(shè)的顯著性水平。

第二類錯誤：錯誤地接受假的原假設(shè)。

P(第二類錯誤)=β

計算過程：檢查是否擁有H1的特定數(shù)值，求檢驗拒絕域以外的數(shù)值范圍，假定H1為真，求得到這些數(shù)值的概率。

功效：在H0為假的情況下，拒絕H0的概率。

功效=1?β

4.錯誤概率的計算

（1）第一類錯誤概率：顯著水平

發(fā)生了第一類錯誤，則我們拒絕了原假設(shè)，即原假設(shè)的發(fā)生概率落于拒絕域內(nèi)。

故而發(fā)生第一類錯誤的概率，等于原假設(shè)落于拒絕域內(nèi)的概率，等于顯著水平alpha。

P(第一類錯誤) =alpha

（2）第二類錯誤概率

第二類錯誤概率，則原假設(shè)錯誤情況下，接受原假設(shè)的概率。

即備擇假設(shè)正確的情況下，接受原假設(shè)的條件概率。

PS:?要計算第二類錯誤概率，必須擁有備擇假設(shè)H_1的具體數(shù)值，否則無法計算。因為需要根據(jù)備擇假設(shè)構(gòu)建新的置信區(qū)間。

計算步驟如下：

1）我們接受了原假設(shè)：根據(jù)原假設(shè)的置信區(qū)間，確定接受原假設(shè)時，檢驗統(tǒng)計量X所需要的取值范圍

2）備擇假設(shè)正確：根據(jù)備擇假設(shè)，得到新的概率分布

3）根據(jù)概率分布，得到X取值范圍的發(fā)生概率，即為第二類錯誤概率。

五、相關(guān)、回歸和因果關(guān)系?

相關(guān)表示兩個變量之間存在關(guān)聯(lián)，但并不是因果關(guān)系。回歸分析是根據(jù)相關(guān)關(guān)系的具體形態(tài)，選擇一個合適的數(shù)學(xué)模型，來近似表達(dá)變量間的平均變化關(guān)系。回歸分析可是看做是相關(guān)關(guān)系的具體實現(xiàn)。

1.相關(guān)性

客觀現(xiàn)象的相關(guān)關(guān)系有不同得分類標(biāo)準(zhǔn)，兩個變量之間的關(guān)系可以用散點圖來表示，進(jìn)而可以對兩個變量之間的關(guān)系作出判斷。

（1）相關(guān)的類型：

正相關(guān):兩個變量同時增加(或減小)。

負(fù)相關(guān):兩個變量變化的趨勢相反,一個變量增加而另一個變量減小。

不相關(guān):兩個變量間沒有明顯的(線性)關(guān)系。

非線性關(guān)系:兩個變量有關(guān)聯(lián),但是以散點圖呈現(xiàn)的相關(guān)關(guān)系不是直線形狀。?

（2）相關(guān)類型散點圖

（3）相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)：

1)相關(guān)系數(shù)工用于測量相關(guān)性的強(qiáng)度,它的取值范圍是-1~1

2)如果不相關(guān),點的分布就不會以直線模式上升或下降的值接近于0

3)如果是正相關(guān),相關(guān)系數(shù)就是正數(shù)(0<r≤1):兩個變量一同增加。完全正相關(guān)(所有的點在散點圖中呈現(xiàn)一條上升的直線)的相關(guān)系數(shù)r=1。r的值接近1表明是強(qiáng)正相關(guān),r的值接近0表明是弱正相關(guān)

4)如果是負(fù)相關(guān),相關(guān)系數(shù)就是負(fù)數(shù)(-1≤r<0):一個變量上升,另一個變量下降。完全負(fù)相關(guān)(所有的點在散點圖中呈現(xiàn)一條下降的直線)的相關(guān)系數(shù)r=-1。r的值接近-1表明是強(qiáng)負(fù)相關(guān),r的值接近0表明是弱負(fù)相關(guān)。

?? ?公式：

正相關(guān)是正數(shù)、負(fù)相關(guān)是負(fù)數(shù)、不相關(guān)趨近于零。

（4）相關(guān)的可能解釋

?? ?相關(guān)是偶然的。

?? ?兩個相關(guān)變量可能直接受到一些潛在因素的影響。

一個變量是另一個變量的原因。但是要注意,即便如此,它也許只是眾多原因中的一。

2.回歸

回歸分析是根據(jù)相關(guān)關(guān)系的具體形態(tài)，選擇一個合適的數(shù)學(xué)模型，來近似表達(dá)變量間的平均變化關(guān)系。回歸分析可是看做是相關(guān)關(guān)系的具體實現(xiàn)。

（1）??一元線性回歸模型

一元線性回歸描述因變量如何依賴自變量和誤差項的方程稱為回歸模型。可以表示為：Y＝β?＋β?X＋ε式中，β?，β?為模型的參數(shù)。

（2）最小二乘法

最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)。它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。

（3）回歸模型的擬合效果分析

使用估計的回歸方程之前，需要對模型進(jìn)行檢驗：

1）.結(jié)合經(jīng)濟(jì)理論和經(jīng)驗分析回歸系數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義是否合理；

2）.分析估計的模型對數(shù)據(jù)的擬合效果如何；

3）.對模型進(jìn)行假設(shè)檢驗。

3.相關(guān)與回歸和區(qū)別和聯(lián)系

（1）回歸分析與相關(guān)分析的區(qū)別：

　1）相關(guān)分析所研究的兩個變量是對等關(guān)系，回歸分析所研究的兩個變量不是對等關(guān)系，必須根據(jù)研究目的確定其中的自變量、因變量。

　2）對于變量x與y來說，相關(guān)分析只能計算出一個反映兩個變量間相關(guān)密切程度的相關(guān)系數(shù)，計算中改變x和y的地位不影響相關(guān)系數(shù)的數(shù)值。回歸分析有時可以根據(jù)研究目的不同分別建立兩個不同的回歸方程。

　3）相關(guān)分析對資料的要求是，兩個變量都是隨機(jī)的，也可以是一個變量是隨機(jī)的，另一個變量是非隨機(jī)的。而回歸分析對資料的要求是，自變量是可以控制的變量（給定的變量），因變量是隨機(jī)變量。

（2）回歸分析與相關(guān)分析的聯(lián)系：　　

1）相關(guān)分析是回歸分析的基礎(chǔ)和前提。假若對所研究的客觀現(xiàn)象不進(jìn)行相關(guān)分析，直接作回歸分析，則這樣建立的回歸方程往往沒有實際意義。只有通過相關(guān)分析，確定客觀現(xiàn)象之間確實存在數(shù)量上的依存關(guān)系，而且其關(guān)系值又不確定的條件下，再進(jìn)行回歸分析，在此基礎(chǔ)上建立回歸方程才有實際意義。　　

2）回歸分析是相關(guān)分析的深入和繼續(xù)。對所研究現(xiàn)象只作相關(guān)分析，僅說明現(xiàn)象之間具有密切的相關(guān)關(guān)系是不夠的，統(tǒng)計上研究現(xiàn)象之間具有相關(guān)關(guān)系的目的，就是要通過回歸分析，將具有依存關(guān)系的變量間的不確定的數(shù)量關(guān)系加以確定，然后由已知自變量值推算未知因變量的值，只有這樣，相關(guān)分析才具有實際意義。

4.因果關(guān)系

（1）建立因果關(guān)系的指導(dǎo)原則

?如果你懷疑某一特定的變量(被懷疑的原因)對其他變量產(chǎn)生了一些影響:

? 1）尋找對被懷疑變量產(chǎn)生影響的那些變量,此時我們并不關(guān)心其他因素變化與否。

? 2）在被懷疑變量存在或剔除后有不同變化的變量中,核實被懷疑的變量剔除與否對這些變量的影響是否相同。

? 3）尋找大量的被懷疑變量產(chǎn)生眾多影響的證據(jù)。

? 4）如果影響由其他潛在的原因引起(你懷疑之外的原因),確保在解釋了其他潛在的原因之后,影響依然存在。

? 5）如有可能,通過實驗研究測試被懷疑的原因。如果由于道德原因?qū)嶒灢荒軌蚰M的話,考慮用動物、細(xì)胞培養(yǎng)物或計算機(jī)模型進(jìn)行實驗。

6）試判斷由被懷疑變量產(chǎn)生影響的物理機(jī)制

?

（2）因果關(guān)系的置信水平

?? 1）可能的原因：我們已經(jīng)討論了相關(guān)性,但是不能確定相關(guān)性之中是否蘊(yùn)含著因果關(guān)系。在法律體系中,可能的原因(例如認(rèn)為一個嫌疑人可能犯罪了)經(jīng)常成為開始一項調(diào)查的原因。

?? 2）合理的根據(jù)：我們有足夠的理由去懷疑相關(guān)包含因果關(guān)系,可能是因為符合一些建立因果關(guān)系的原則。在法律體系中,合理的根據(jù)會成為法官批準(zhǔn)逮捕令或合法竊聽的一般標(biāo)準(zhǔn)

?? 3）排除合理懷疑：我們已經(jīng)找到合理解釋一件事情影響另一件事情的實體模型,懷疑這個因果關(guān)系是不合理的。在法律體系中,排除合理懷疑是定罪的一般標(biāo)準(zhǔn),并且要在陳述中展示嫌疑人是如何以及為什么犯罪。排除合理懷疑并不意味著排除一切懷疑。

參考鏈接

[小野仙蹤]的《概率論與統(tǒng)計學(xué)：離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布》，https://zhuanlan.zhihu.com/p/38224194。

[想吃麻辣燙啦]關(guān)于《關(guān)于假設(shè)檢驗，T檢驗 F檢驗 卡方檢驗 和 ANOVA 這些檢驗在什么情況下使用，它們的區(qū)別是什么？》的回答，https://www.zhihu.com/question/309884517/answer/579315142

[鄭大哲]關(guān)于《關(guān)于假設(shè)檢驗，T檢驗 F檢驗卡方檢驗 和 ANOVA 這些檢驗在什么情況下使用，它們的區(qū)別是什么？》的回答,https://www.zhihu.com/question/309884517

[Life·Intelligence]的《第一類錯誤和第二類錯誤》中的圖片https://www.cnblogs.com/leezx/p/9226078.html

CSDN博主「ChenVast」的原創(chuàng)文章《【統(tǒng)計學(xué)】相關(guān)性和因果關(guān)系》，遵循 CC 4.0 BY-SA 版權(quán)協(xié)議， https://blog.csdn.net/ChenVast/article/details/83272268

簡書[TooJo]的原創(chuàng)文章《相關(guān)與回歸分析》，https://www.jianshu.com/p/da6517ea81bf

百度知道[柒月黑瞳]的《簡述相關(guān)與回歸的區(qū)別和聯(lián)系》,https://zhidao.baidu.com/question/1606024674828812667.html。

CSDN博主「ChenVast」的原創(chuàng)文章《【統(tǒng)計學(xué)】相關(guān)性和因果關(guān)系》，遵循 CC 4.0 BY-SA 版權(quán)協(xié)議， https://blog.csdn.net/ChenVast/article/details/83272268。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的不得不学的统计学基础知识（二）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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