目錄

numpy.linalg.det() 行列式

numpy.linalg.solve() 方程的解

numpy.linalg.inv()?逆矩陣

np.linalg.eig 特征值和特征向量

np.linalg.svd 奇異值分解

np.linalg.pinv 廣義逆矩陣（QR分解）

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numpy.linalg模塊包含線性代數的函數。使用這個模塊，可以計算逆矩陣、求特征值、解線性方程組以及求解行列式等線性代數所需的功能

numpy.linalg.det() 行列式

numpy.linalg.det() 函數計算輸入矩陣的行列式。

行列式在線性代數中是非常有用的值。 它從方陣的對角元素計算。 對于 2×2 矩陣，它是左上和右下元素的乘積與其他兩個的乘積的差。換句話說，對于矩陣[[a，b]，[c，d]]，行列式計算為 ad-bc。 較大的方陣被認為是 2×2 矩陣的組合。

import numpy as np a = np.array([[1,2], [3,4]]) print (np.linalg.det(a)) # 輸出結果為：-2.0b = np.array([[6,1,1], [4, -2, 5], [2,8,7]]) print (b) print (np.linalg.det(b)) print (6*(-2*7 - 5*8) - 1*(4*7 - 5*2) + 1*(4*8 - -2*2))輸出結果為： [[ 6 1 1][ 4 -2 5][ 2 8 7]] -306.0 -306

numpy.linalg.solve() 方程的解

numpy.linalg.solve() 函數給出了矩陣形式的線性方程的解。比如求解形如 Ax = b 的線性方程組，其中 A 為矩陣，b 為一維或二維的數組，x 是未知變量

import numpy as np# 創建矩陣和數組 B = np.mat("1 -2 1;0 2 -8;-4 5 9") b = np.array([0,8,-9])# 調用solve函數求解線性方程 x = np.linalg.solve(B,b) print (x) # [29. 16. 3.]# 使用dot函數檢查求得的解是否正確 print (np.dot(B , x)) # [[ 0. 8. -9.]]

numpy.linalg.inv()?逆矩陣

numpy.linalg.inv() 函數計算矩陣的乘法逆矩陣。

逆矩陣（inverse matrix）：設A是數域上的一個n階矩陣，若在相同數域上存在另一個n階矩陣B，使得： AB=BA=E ，則我們稱B是A的逆矩陣，而A則被稱為可逆矩陣。注：E為單位矩陣。

注：矩陣必須是方陣且可逆，否則會拋出LinAlgError異常

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import numpy as np x = np.array([[1,2],[3,4]]) y = np.linalg.inv(x) print (x) print (y) print (np.dot(x,y))輸出結果為： [[1 2][3 4]] [[-2. 1. ][ 1.5 -0.5]] [[1.0000000e+00 0.0000000e+00][8.8817842e-16 1.0000000e+00]]

實例

import numpy as np a = np.array([[1,1,1],[0,2,5],[2,5,-1]]) print ('數組 a：') print (a) ainv = np.linalg.inv(a) print ('a 的逆：') print (ainv) print ('矩陣 b：') b = np.array([[6],[-4],[27]]) print (b) print ('計算：A^(-1)B：') x = np.linalg.solve(a,b) print (x) # 這就是線性方向 x = 5, y = 3, z = -2 的解輸出結果為： 數組 a： [[ 1 1 1][ 0 2 5][ 2 5 -1]] a 的逆： [[ 1.28571429 -0.28571429 -0.14285714][-0.47619048 0.14285714 0.23809524][ 0.19047619 0.14285714 -0.0952381 ]] 矩陣 b： [[ 6][-4][27]] 計算：A^(-1)B： [[ 5.][ 3.][-2.]]

np.linalg.eig 特征值和特征向量

特征值（eigenvalue）即方程 Ax = ax 的根，是一個標量。特征向量（eigenvector）是關于特征值的向量

numpy.linalg模塊中，eigvals函數可以計算矩陣的特征值，而eig函數可以返回一個包含特征值和對應的特征向量的元組

import numpy as np# 創建一個矩陣 C = np.mat("3 -2;1 0")# 調用eigvals函數求解特征值 c0 = np.linalg.eigvals(C) print (c0) # [ 2. 1.]# 使用eig函數求解特征值和特征向量 (該函數將返回一個元組，按列排放著特征值和對應的特征向量，其中第一列為特征值，第二列為特征向量) c1,c2 = np.linalg.eig(C) print (c1) # [ 2. 1.]? print (c2) #[[ 0.89442719 0.70710678] # [ 0.4472136 0.70710678]]# 使用dot函數驗證求得的解是否正確 for i in range(len(c1)): print ("left:",np.dot(C,c2[:,i])) print ("right:",c1[i] * c2[:,i]) #left: [[ 1.78885438] # [ 0.89442719]] #right: [[ 1.78885438] # [ 0.89442719]] #left: [[ 0.70710678] # [ 0.70710678]] #right: [[ 0.70710678] # [ 0.70710678]]

np.linalg.svd 奇異值分解

SVD（Singular Value Decomposition，奇異值分解）是一種因子分解運算，將一個矩陣分解為3個矩陣的乘積

numpy.linalg模塊中的svd函數可以對矩陣進行奇異值分解。該函數返回3個矩陣——U、Sigma和V，其中U和V是正交矩陣，Sigma包含輸入矩陣的奇異值。

import numpy as np# 分解矩陣 D = np.mat("4 11 14;8 7 -2")# 使用svd函數分解矩陣 U,Sigma,V = np.linalg.svd(D,full_matrices=False) print ("U:",U) # U: [[-0.9486833 -0.31622777] # [-0.31622777 0.9486833 ]]print ("Sigma:",Sigma) # Sigma: [ 18.97366596 9.48683298]print ("V",V) # V [[-0.33333333 -0.66666667 -0.66666667] # [ 0.66666667 0.33333333 -0.66666667]] # 結果包含等式中左右兩端的兩個正交矩陣U和V，以及中間的奇異值矩陣Sigma# 使用diag函數生成完整的奇異值矩陣。將分解出的3個矩陣相乘 print (U * np.diag(Sigma) * V) #[[ 4. 11. 14.] # [ 8. 7. -2.]]

np.linalg.pinv 廣義逆矩陣（QR分解）

使用numpy.linalg模塊中的pinv函數進行求解,

注：inv函數只接受方陣作為輸入矩陣，而pinv函數則沒有這個限制

import numpy as np# 創建一個矩陣 E = np.mat("4 11 14;8 7 -2")# 使用pinv函數計算廣義逆矩陣 pseudoinv = np.linalg.pinv(E) print (pseudoinv) #[[-0.00555556 0.07222222] # [ 0.02222222 0.04444444] # [ 0.05555556 -0.05555556]]# 將原矩陣和得到的廣義逆矩陣相乘 print (E * pseudoinv) #[[ 1.00000000e+00 -5.55111512e-16] # [ 0.00000000e+00 1.00000000e+00]]

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的Python 第三方模块之 numpy.linalg - 线性代数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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