基于三維沖擊波的變分理論--交通運(yùn)輸工程（一）

• 沖擊波理論
• 基于三維沖擊波的變分理論

寫在最前：很幸運(yùn)的是畢業(yè)后還在從事研究生期間相關(guān)的科研工作，不見得非常喜歡這個(gè)專業(yè)，但在這個(gè)專業(yè)近10年的學(xué)習(xí)時(shí)間里，還是想看到自己做的東西能落地并且付諸到工程實(shí)踐中。最近在做車輛到達(dá)-駛離曲線相關(guān)的研究，發(fā)現(xiàn)很多教科書級的原理忘記了，走了很多彎路，因此想要寫下研究生期間所用到的一系列方法論：基于三維沖擊波的變分理論、copula理論、卡爾曼濾波、最短路算法、車輛到達(dá)-駛離曲線、LSTM NN等。無論以后的職業(yè)生涯是選擇 浩瀚宇宙還是數(shù)據(jù)分析相關(guān)，都希望留下一些東西，僅此紀(jì)念。
讀研期間，搞了至少兩個(gè)國內(nèi)交通領(lǐng)域鮮少有人研究的方法論，苦是真的苦：英文文獻(xiàn)讀到頭禿，給世界各地的學(xué)們者發(fā)郵件詢問問題（很多聯(lián)系郵箱被遺棄了，一封封被退回來，再找相關(guān)最新期刊的聯(lián)系方式，這個(gè)過程太酸爽了），坐冷板凳的焦慮感等。但文章被國際高水平期刊收錄的那一刻或者專利被授權(quán)的那一刻真的很有成就感，那些晚上回寢室的路上連只汪都沒有的日子好像都值得了。
本文會(huì)適當(dāng)參雜英文注解，因?yàn)樵摾碚撟畛跏菄獾膶W(xué)術(shù)大牛們提出的，“沖擊波理論”也是翻譯過來的。我們用到的很多方法論都是翻譯過來的，如果能讀最初的原汁原味的著作會(huì)很有幫助。

沖擊波理論

沖擊波理論（the kinematic wave theory，也稱LWR理論）最初是由Lighthill, M. J和Whitham, G. B. 以及Richards, P. I. 于上世紀(jì)50年代提出的，他們將交通流類比為由車輛組成的可壓縮連續(xù)流體介質(zhì)，用車流的平均速度（velocity）、平均密度（density）和流率（flow）等宏觀變量來描述交通流的演化過程。LWR理論的核心是時(shí)空中任意一點(diǎn)的流量q和密度k之間的函數(shù)關(guān)系。假設(shè)研究區(qū)域沒有駛?cè)腭偝?#xff0c;守恒定律滿足下述關(guān)系：

沖擊波理論可以描述道路交通流在時(shí)空上的變化特征，是估計(jì)車輛運(yùn)行軌跡的基礎(chǔ)。Newell, G. F.在整合駛?cè)?駛出累積曲線和沖擊波理論的基礎(chǔ)上，通過在時(shí)空圖二維坐標(biāo)系中增加路網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的累積車輛數(shù)量（第三維），提出了三維沖擊波理論。假設(shè)在封閉的一維研究區(qū)域中，車輛遵守先進(jìn)先出（First In First Out，簡稱FIFO）的原則，那么在距離dx的空間范圍內(nèi)，通過的累計(jì)車輛數(shù)為

其中，N(x,t) 是指在點(diǎn)(x,t)處的累計(jì)車輛數(shù)；在分段線性基本圖（即三角形基本圖）的假設(shè)下 dN只取兩個(gè)值：交通波向前傳遞時(shí)為0，向后傳播時(shí)為（kj * dx） ，kj 是指阻塞密度。

基于三維沖擊波的變分理論

在三維沖擊波理論的基礎(chǔ)上，Daganzo, C. F.于2005年提出了一種基于變分理論（Variational Theory，簡稱VT）和比較通行能力約束的路網(wǎng)交通流計(jì)算模型。該計(jì)算模型在初始點(diǎn) (x0,t0)給定一定的邊界條件，即可估計(jì)時(shí)空圖中任意一點(diǎn) (x,t)處的累積車輛數(shù)。本文將該模型定義為基于三維沖擊波的變分理論（the variational theory of kinematic waves為原文）。
在應(yīng)用層面，基于三維交通波的變分理論從本質(zhì)上講反映了具有凹密度函數(shù)關(guān)系的沖擊波形式的交通流問題可以通過在離散化時(shí)空網(wǎng)格上使用最短路徑法加以解決。所以基于三維交通波的變分理論的應(yīng)用基礎(chǔ)是離散化時(shí)空圖，如下圖（初始變分網(wǎng)絡(luò)）所示。

在三角形基本圖的假設(shè)下，離散化時(shí)空圖的參數(shù)認(rèn)為已知。其中，前向弧波速為 u（自由流速度），后向弧波速為 w（消散波速度），時(shí)間步長 tstep 作為輸入變量通常假設(shè)為1s以方便計(jì)算，空間步長sstep可通過如下公式獲得。
其中， 和 qmax和kj分別表示最大流量和阻塞密度，通常可以從實(shí)際數(shù)據(jù)中獲得。

總結(jié)：基于三維沖擊波的變分理論有一個(gè)強(qiáng)假設(shè)，即流量-密度關(guān)系服從三角形基本圖。該理論在實(shí)際的應(yīng)用中國是通過離散化時(shí)空圖實(shí)現(xiàn)的。

文獻(xiàn)參考
[1] Lighthill M J, Whitham G B. On Kinematic Waves. I. Flood Movement in Long Rivers[J]. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 1955, 229(1178):281-316.
[2] Richards P I. Shock Waves on the Highway[M]. INFORMS, 1956.
[3] Newell G F. A simplified theory of kinematic waves in highway traffic, part I: General theory[J]. Transportation Research Part B: Methodological, 1993, 27(4): 281-287.
[4] Newell G F. A simplified theory of kinematic waves in highway traffic, part Ⅱ: General theory[J]. Transportation Research Part B: Methodological, 1993, 27(4): 289-303.
[5] Newell G F. A simplified theory of kinematic waves in highway traffic, part Ⅲ: General theory[J]. Transportation Research Part B: Methodological, 1993, 27(4): 305-313.
[6] Daganzo C F. A variational formulation of kinematic waves: basic theory and complex boundary conditions[J]. Transportation Research Part B: Methodological, 2005, 39(2): 187-196.
[7] Daganzo C F. A variational formulation of kinematic waves: Solution methods[J]. Transportation Research Part B: Methodological, 2005, 39(10): 934-950.

感謝Daganzo C F將基于三維交通波的變分理論變?yōu)榭山獾?#xff0c;才有了研究生期間的研究。

～～先粗略的寫一個(gè)版本，后續(xù)再優(yōu)化公式和排版。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的基于三维冲击波的变分理论--交通运输工程（一）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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