格雷碼的編碼和譯碼算法

格雷碼(Golay Code)的編碼和譯碼算法

格雷碼在通信中應(yīng)用廣泛。例如早在1980年俄羅斯航天儀表碼研究所為了提高“星一地”、“地一星”鏈路數(shù)字指控信息的可靠性，研制和實(shí)現(xiàn)了格雷碼的編碼器和譯碼器，該設(shè)備在某型號(hào)飛行任務(wù)中成功地進(jìn)行了試驗(yàn)。試驗(yàn)表明，使用格雷碼，通信系統(tǒng)的誤碼率與未編碼通信系統(tǒng)相比減少了1-3個(gè)數(shù)量級(jí)。格雷碼通常是指線性分組(23,12)碼，最小距離dmin=7,糾錯(cuò)能力 t=3。由于223-12=2048=1+ ，所以格雷碼是完備碼，其碼重分布見下面表1。碼重0781112151623碼個(gè)數(shù)1253506128812885062531表1 格雷碼的碼重分布

格雷碼Golay (23，12)是循環(huán)碼。對(duì)于漢明碼、格雷碼、二次剩余碼、BCH碼和R-S碼等循環(huán)碼的解碼有很多方法，如梅杰特解碼(Meggit, 1961)、大數(shù)邏輯解碼(Reed，1954)、門限解碼(Massey, 1961)、信息組解碼(Prange, 1962)。最經(jīng)典的方法當(dāng)屬梅杰特解碼，它充分利用了循環(huán)碼的循環(huán)特征。

格雷碼的編碼算法輸入：信源消息u(消息分組u)輸出：碼字v1、處理：信源輸出為一系列二進(jìn)制數(shù)字0和1。在分組碼中，這些二進(jìn)制信息序列分成固定長(zhǎng)度的消息分組(message blocks)。每個(gè)消息分組記為u，由k個(gè)信息位組成。因此共有2k種不同的消息。編碼器按照一定的規(guī)則將輸入的消息u轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制n維向量v，這里n >k。此n維向量v就叫做消息u的碼字(codeword)、碼字矢量或碼向量(code vector)。 因此，對(duì)應(yīng)于2k種不同的消息，也有2k種碼字。這2k個(gè)碼字的集合就叫一個(gè)分組碼(block code)。若一個(gè)分組碼可用，2k個(gè)碼字必須各不相同。因此，消息u和碼字v存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。由于n符號(hào)輸出碼字只取決于對(duì)應(yīng)的k比特輸入消息，即每個(gè)消息是獨(dú)立編碼的，從而編碼器是無(wú)記憶的，且可用組合邏輯電路來(lái)實(shí)現(xiàn)。定義：一個(gè)長(zhǎng)度為n，有2k個(gè)碼字的分組碼，當(dāng)且僅當(dāng)其2k個(gè)碼字構(gòu)成域GF(2)上所有n維向量組成的向量空間的一個(gè)K維子空間時(shí)被稱為線性(linear)(n, k)碼。格雷碼Golay(n,k)就是線性分組(n, k)碼的一種。其編碼算法即為使用生成矩陣G：v = u·G 。例1-1 格雷碼Golay (20,8,7) 的生成矩陣G為：G= [ Ik P ]k×n = ，v = u·G ，處理完畢。其他線性分組(n, k)碼都可以照此辦理即可。線性分組(n, k)碼的校正子(伴隨式)有2n-k個(gè)，設(shè)該碼的糾錯(cuò)能力為t，那么重量小于或者等于t的所有錯(cuò)誤模式(圖樣)都要有唯一的校正子(伴隨式)與之對(duì)應(yīng)，因而，對(duì)于二進(jìn)制(n, k)碼，有漢明限：2n-k≥ ，當(dāng)2n-k=時(shí)，(n, k)碼稱為完備碼(Perfect Code)。完備碼的校正子(伴隨式)得到了充分的利用，不存在解碼不唯一的問(wèn)題，然而完備碼不一定是糾錯(cuò)能力強(qiáng)的碼，因?yàn)樗淖钚【嚯xdmin未必最大。完備碼也是稀少的，已知的二進(jìn)制完備碼有t=1的漢明碼(Hamming Code)和t=3的格雷碼(Golay Code)，以及n為奇數(shù)的簡(jiǎn)單重復(fù)(n,1)碼。三進(jìn)制完備碼有t=2的(11,6,5)格雷碼。糾錯(cuò)能力t=1的完備碼統(tǒng)稱為漢明碼。由定義可知，(n, k)漢明碼應(yīng)當(dāng)滿足下列條件：2n-k=1+n ，令校驗(yàn)位長(zhǎng)m=n-k，那么容易知道：n=2m-1, k=2m-1-m, dmin=3漢明碼的校驗(yàn)矩陣H具有特殊的性質(zhì)：它的m維列向量正好是除零向量以外的所有可能的向量組合，共有2m-1個(gè)，恰好構(gòu)成了H矩陣的列數(shù)n。格雷碼通常是指線性分組(23,12)碼，最小距離dmin=7，糾錯(cuò)能力 t=3。由于223-12=2048=1+ ，所以格雷碼是完備碼，其碼重(碼的重量)分布見下面表0-1。

表1 格雷碼的碼重分布碼重0781112151623碼個(gè)數(shù)1253506128812885062531

備注：1、格雷碼Golay (20,8,7) 的生成矩陣G為：G= [ Ik P ]k×n = 。2、除了分組碼之外，還有卷積碼。卷積碼編碼器同樣接受k比特分組的信息序列u，并產(chǎn)生n符號(hào)組的編碼序列(碼序列)v(卷積碼編碼中，符號(hào)u和v用來(lái)表示分組的序列而非單個(gè)分組)。但是，每一個(gè)編碼分組不僅取決于當(dāng)前單位時(shí)間對(duì)應(yīng)的k比特消息組，而且與前m個(gè)消息組有關(guān)。此時(shí)，編碼器的存儲(chǔ)級(jí)數(shù)(memory order)為m。編碼器所產(chǎn)生的所有可能的輸出編碼序列的集合構(gòu)成了一個(gè)碼。比值R=k/n稱為碼率(code rate)。由于編碼器有存儲(chǔ)單元

總結(jié)

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