最終目標是解微分方程。第一章首先介紹了一般意義下的傅里葉變換，之后逐漸將傅里葉變換的概念抽象化，將變換的定義域進行拓展。最后少量介紹傅里葉變換在偏微分方程中的應用。習題解答是自己寫的，有的不會，有的不知道對不對。

傅里葉變換是解偏微分方程的有力工具，因為它就像拉普拉斯變換一樣，可以將微分方程轉變為代數方程。通常的傅里葉變換由

定義，而這種方法只對性質非常好的函數有效，一旦 的定積分不存在，那么傅里葉變換將無法定義，這在使用上會帶來很大不便。一種眼見可行的方法是用性質好的函數來逼近原函數，例如對于函數 ，我們可以將 的極限視為其傅里葉變換，此時我們可以計算出

然而，逼近的思想同時面臨著兩個問題，其一是收斂函數列的傅里葉變換不一定收斂，這就導致類似于

這樣的簡單函數無法計算傅里葉變換（并且我們都知道，它的傅里葉變換是 ），其二則更嚴重，就連那些可以收斂的函數列，也有可能僅僅改變了極限的路徑而收斂于不同的結果，這就導致傅里葉變換本身是定義不良好的。

這個問題最終的解決辦法，是將一部分性質極其好的函數作為測試函數，之后用傅里葉變換與內積所滿足的性質反向地公理化定義傅里葉變換，并篩選出可以進行傅里葉變換的函數。這個函數空間叫作廣義緩增函數空間，而測試函數所構成的空間叫作急降函數空間。廣義緩增函數空間包含了所有在無窮遠處以多項式速度增長的函數，而且甚至還包含了一些一般意義上根本不是函數的“函數”。狄拉克

函數就是其中的一個例子。

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第一節，

中的傅里葉變換

定義1.1，對于

，定義 ，其中

定理1.1，設

，那么以下分別成立：
1，
2， 連續，因此若 ，那么
3，
4，記 則
5，
6，記 則
7，設 ，那么
8，

命題1.1，記

為 的第 元素，如果 ，那么

定義1.2，設

，稱函數 在 中對 可微，當存在 使得

定理1.2，設

， 是 對 的微分，那么有

命題1.2，設

，那么
進一步，如果 在 處連續，那么
如果 ，那么 幾乎處處成立

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第二節，

中的傅里葉變換

假定

在 中稠密

定理1.3，設

，那么 并且

因此，傅里葉變換在

內可以定義為 內傅里葉變換的極限

定理1.4，傅里葉變換是

內的酉算子，意即它是等距的滿射

定理1.5，對于

，記 表示傅里葉變換，則

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第三節，緩增廣義函數

對于

和函數 ，記

記

定義1.3，設

，如果對于任意 都有 ，則稱

定理1.6，傅里葉變換是

的自同構

定義1.4，稱

定義了一個緩增廣義函數，當它是線性并且連續的，意即：
1，
2， 如果 ，那么

記所有緩增廣義函數的集合為

對于任意有界函數

， 顯然定義了一個緩增廣義函數。用同樣的方法，可以得出

定義1.5，對于

，定義 為滿足 的緩增廣義函數，此時對于 有 成立

定義1.6，設

，如果對于任意 都有 ，則稱

定理1.7，傅里葉變換是

的自同構

定義1.7，設

，記其希爾伯特變換 為

此時有

成立，希爾伯特變換可以擴張為 的自同構，并且 ，

命題1.3，對于

與 ，記 ，則有 并且 ，其中 表示滿足 的廣義函數

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證明、例題

例1.1，對于

，計算 的傅里葉變換
不失一般性令 ，否則可以作變量代換令 進行歸約。則有：
因此

例1.2，計算

的傅里葉變換
對于 ，已知
因此，

命題1.2證明：
設

，則在 中有 ，此處應用定理1.1(6)與例1.1 ，再應用定理1.1(8)
如果 ，那么根據勒貝格收斂定理， 在 內成立，并且如果 在點 連續則

定理1.3證明
設

，記 則 ，因此 并且 （證明見習題1.7）
由于
所以 因此 （見習題1.7）
因此，根據定理1.2，
同時，

例1.3，計算

的傅里葉變換
雖然 ，但是 可以用有界區間上的定積分逼近得到，計算可得

例1.4，設

，證明
其中 ，因此

例1.5，計算

的傅里葉變換
因此，

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習題1.1

(i)

，計算 的傅里葉變換。提示：

（例1.1）

(ii)

，計算 的傅里葉變換

已知

，對 求導并代入 得

因此

習題1.2

(i)證明在

內 ，其中 定義為實部非負的一支

當

的實部大于 時 傅里葉變換有定義，此時 ，因此

因此即使

的實部為 上式仍然成立

習題1.3

證明Young不等式：令

， ，則

因此

習題1.4

證明Minkowski不等式：

用

逼近 ，則有：

習題1.5，令

， ，

(i)證明哈代不等式：

令

則

(ii)證明等號成立且僅成立于

，并證明原式中的系數 最優

不會

習題1.6，視傅里葉變換為

的映射

(i)證明其是單射

根據命題1.2作逆變換直接得到結論

(ii)證明傅里葉變換的像對乘法封閉

根據傅里葉變換對卷積的性質直接得到結論

(iii)證明

，其中 表示連續并且在無窮遠處趨于 的函數

一維的時候，

就是反例，它雖然是 的元素，但是它的逆變換不是 的元素

高維的時候，令

即可

習題1.7

(i)證明定理1.1中公式的一般化：如果

， ，其中 ，那么

，因此其傅里葉變換由 定義

(ii)對于

與 ， ， ；對于 或 則如何？

對于前者，只需證明

趨于 就足夠

由于

在 中的稠密性，取 滿足 ，則有
由于 在緊致集上連續，所以可以取足夠小的 使得 ，其中 是 的支撐集，此時

綜上連續性得證

對于后者，

因此，可以取到足夠大的 使得

的話不知道

(iii)設

， 在 點連續并且 ，證明

根據命題1.2，

因為

單調收斂于 ，所以

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Felipe Linares, Gustavo Ponce (auth.) - Introduction to Nonlinear Dispersive Equations (2015, Springer-Verlag New York)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的希尔伯特变换_学习笔记1-傅里叶变换1的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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