目錄

• 概念介紹
• • 流(Flow)
  • 網絡流(Network flow)
  • 流網絡$(G,s,t,c)$
  • 頂點𝒗的級𝒍𝒆𝒗𝒆𝒍(𝒗)：
  • 最大流最小割定理：
• 最大流求解
• • Ford_Fullkerson方法
  • • 最大容量增廣（MCA，Maximum Capacity Augmentation）
    • 最短路徑增廣（EK算法，Edmond-Karp）
• MCA和EK算法的實現
• • 舉例
  • 源碼
  • 輸出參考

概念介紹

流(Flow)

一種抽象的實體，在源點流出，通過邊輸送，在匯點被吸收，將目標從一個地點輸送到另一個地點。

網絡流(Network flow)

在一個每條邊都有容量（Capacity）的有向圖分配流，使一條邊的流量不會超過它的容量。

流網絡$(G,s,t,c)$

(𝑮,𝒔,𝒕,𝒄)
𝑮→圖(𝐺𝑟𝑜𝑢𝑝) 𝒔→源點(𝑆𝑜𝑢𝑟𝑐𝑒) t→匯點(𝑡𝑎𝑟𝑔𝑒𝑡) 𝒄→容量函數(𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑦)

流量函數 $f(u,v)$
容量函數 $c(u,v)$
剩余容量函數 $r(u,v)=c(u,v)?f(u,v)$

對于流量函數$f(u,v)$，滿足以下條件：

斜對稱: $f(u,v)=?f(v,u)$

容量約束: $f(u,v)=f(u,v)$

流量守恒: $?u\in V?s,t,{\sum }_{v\in V}f(u,v)=0$

零自流量: $f(u,u)=0$

頂點𝒗的級𝒍𝒆𝒗𝒆𝒍(𝒗)：

由源點𝑠到頂點𝑣的通路中的最少的邊數

分級圖𝑳為(𝑽,𝑬′)，其中𝑬′={(𝒖,𝒗)|𝒍𝒆𝒗𝒆𝒍(𝒗)=𝒍𝒆𝒗𝒆𝒍(𝒖)+𝟏}

最大流最小割定理：

對流網絡$(G,s,t,c)$，$f$是$G$中的流，則下面的命題等價：

存在一個容量為$c(u,v)=|f|$的割集$S,T$;

$f$是$G$中的最大流；

不存在$f$的增廣路徑。

最大流求解

Ford_Fullkerson方法

根據最大流最小割定理，在尋找圖𝐺的最大流時，可以令𝐺的初始流量𝑓=0，然后重復地在𝑓的剩余圖中尋找一條增廣路徑，用該路徑的瓶頸流量來擴張流量𝑓，直到剩余圖中不存在增廣路徑為止。

最大容量增廣（MCA，Maximum Capacity Augmentation）

根據Ford-Fullkerson方法求解最大流問題，不同點在于指定了增廣路徑的選取方法：搜索一條具有最大瓶頸容量的增廣路徑來加快算法運行時間（貪婪算法）。

步驟：

對所有$(u,v)\in E$, $r(u,v)=c(u,v)$;

對所有$(u,v)\in E$, $f(u,v)=0$;

若剩余圖𝑅中存在增廣路徑，找出使得瓶頸流量𝛿最大的增廣路徑𝑝，轉4；不存在轉6；

對所有增廣路徑$p$上的邊$(u,v)\in p$，令 $r(u,v)=r(u,v)?\Delta$；

對所有增廣路徑$p$上的邊$(u,v)\in p$，令 $f(u,v)=f(u,v)+\Delta$，轉3；

返回最大流$f$。

最短路徑增廣（EK算法，Edmond-Karp）

根據Ford-Fullkerson方法求解最大流問題，不同點在于指定了增廣路徑的選取方法：搜索一條具有最短路徑(邊最少)的增廣路徑來加快算法運行時間。

步驟：

對所有$(u,v)\in E$, $r(u,v)=c(u,v)$;

對所有$(u,v)\in E$, $f(u,v)=0$;

按照分級圖原理，用BFS在剩余圖中搜索由𝑠到𝑡的最短路徑𝑝，轉4；不存在轉6；

對所有增廣路徑$p$上的邊$(u,v)\in p$，令 $r(u,v)=r(u,v)?\Delta$；

對所有增廣路徑$p$上的邊$(u,v)\in p$，令 $f(u,v)=f(u,v)+\Delta$，轉3；

返回最大流$f$。

MCA和EK算法的實現

舉例

$c(u,v)$

源碼

# -*- coding: utf-8 -*- # Copyright (c) 2019 - Youpeng Hu <yoooooohu@foxmail.com> import copyclass Weighted_Gragh:def __init__(self, vertices):self.adjacent_table = {}for vertex in vertices:self.adjacent_table.update({vertex: {}})print("Weighted Gragh has been created Successfully!!!!!") print('self.adjacent_table', end=" -> \n")print(self.adjacent_table)def addNeighbor(self, source, terminal, weigh):neighbor_list = self.adjacent_table[source]neighbor_list.update({terminal: weigh})self.adjacent_table.update({source: neighbor_list})print('Add a new Neighbor\nself.adjacent_table', end=" -> \n")print(self.adjacent_table)def maxCapacityAugmentation(self, source, terminal):print('###################################')print('Max Capacity Augmentation algorithm')self.f_table = {}self.r_table = copy.deepcopy(self.adjacent_table)path = self.findMaxBottleneckDFS(source, terminal, 0, {}) while path:print('path', end=" >>>>>>>>>>>>>>\n")print(path)bottleneck = self.foundBottleneck(path, terminal)self.argumentFlow(bottleneck, path, terminal)path = self.findMaxBottleneckDFS(source, terminal, 0, {})return self.f_tabledef findMaxBottleneckDFS(self, source, terminal, level, level_table, max_bottleneck = 1000):print('(source, terminal, max_bottleneck)', end=" ->\n")print((source, terminal, max_bottleneck))level += 1for end, weight in self.r_table[source].items():if weight > 0:if level not in level_table:level_table[level] = {}if end not in level_table[level]:level_table[level][end] = {} level_table[level][end] = {source: weight}if end == terminal:return level_tableif weight >= max_bottleneck:return self.findMaxBottleneckDFS(end, terminal, level, level_table, max_bottleneck = max_bottleneck)elif weight < max_bottleneck:return self.findMaxBottleneckDFS(end, terminal, level, level_table, max_bottleneck = weight)elif weight < 0:raise ("the value of weigh have some problem")def edmondKarp(self, source, terminal):print('###################################')print('edmondKarp algorithm')self.f_table = {}self.r_table = copy.deepcopy(self.adjacent_table)path = self.findTerminalBFS([source], terminal, 0, {}, [source]) while path:print('argument table', end=" >>>>>>>>>>>>>>\n")print(path)bottleneck = self.foundBottleneck(path, terminal)self.argumentFlow(bottleneck, path, terminal)path = self.findTerminalBFS([source], terminal, 0, {}, [source])return self.f_tabledef findTerminalBFS(self, start_list, terminal, level, level_table, visited):print('(start_list, terminal, level, level_table, visited)', end=" ->\n")print((start_list, terminal, level, level_table, visited))level += 1end_list = []for start in start_list:for end, weight in self.r_table[start].items():if (weight > 0) & (end not in visited):if level not in level_table:level_table[level] = {}if end not in level_table[level]:level_table[level][end] = {}level_table[level][end] = {start: weight}if terminal == end:return level_tablevisited.append(end)end_list.append(end)elif weight < 0:raise ("the value of weight have some problem")if end_list:return self.findTerminalBFS(end_list, terminal, level, level_table, visited)def foundBottleneck(self, path, terminal):weight_list = []tmp_level = max(path.keys())print('tmp_level', end =" ->")print(tmp_level)start = terminalwhile tmp_level > 0:for start, weight in path[tmp_level][start].items():passtmp_level -= 1weight_list.append(weight) print('Bottleneck of traffic -> {}'.format(min(weight_list)))return min(weight_list)def argumentFlow(self, bottleneck, path, terminal):tmp_level = max(path.keys())end = terminalprint('path:\n', terminal, end="")while tmp_level > 0:for start, weight in path[tmp_level][end].items():passprint("->", start, weight, end="")if start not in self.f_table:self.f_table[start] = {} if end not in self.f_table[start]:self.f_table[start][end] = 0 self.f_table[start][end] += bottleneckself.r_table[start][end] -= bottlenecktmp_level -= 1end = startprint() print('self.r_table', end=" ->\n")print(self.r_table)print('self.f_table', end=" ->\n")print(self.f_table) if __name__ == '__main__':gragh = Weighted_Gragh(['s','a','b','c','d','e','f','g','h','i','j','t'])gragh.addNeighbor('s', 'a', 6)gragh.addNeighbor('s', 'c', 8)gragh.addNeighbor('a', 'b', 3)gragh.addNeighbor('a', 'd', 3)gragh.addNeighbor('b', 't', 10)gragh.addNeighbor('c', 'd', 4)gragh.addNeighbor('c', 'f', 4)gragh.addNeighbor('d', 'e', 3)gragh.addNeighbor('d', 'g', 6)gragh.addNeighbor('e', 'b', 7)gragh.addNeighbor('e', 'j', 4)gragh.addNeighbor('f', 'h', 4)gragh.addNeighbor('g', 'e', 7)gragh.addNeighbor('h', 'g', 1)gragh.addNeighbor('h', 'i', 3)gragh.addNeighbor('i', 'j', 3)gragh.addNeighbor('j', 't', 5)gragh.edmondKarp('s', 't')print('gragh.f_table for Edmond_Karp', end="->>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>\n")print(gragh.f_table)print('gragh.r_table for Edmond_Karp', end="->>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>\n")print(gragh.r_table) gragh.maxCapacityAugmentation('s', 't')print('gragh.f_table for maxCapacityAugmentation', end="->>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>\n")print(gragh.f_table)print('gragh.r_table for maxCapacityAugmentation', end="->>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>\n")print(gragh.r_table)

輸出參考

無論對于MCA或EK算法，輸出的r_table

gragh.r_table {'s': {'a': 0, 'c': 0}, 'a': {'b': 0, 'd': 0}, 'b': {'t': 0}, 'c': {'d': 0, 'f': 0}, 'd': {'e': 0, 'g': 2}, 'e': {'b': 0, 'j': 3}, 'f': {'h': 0}, 'g': {'e': 2}, 'h': {'g': 0, 'i': 0}, 'i': {'j': 0}, 'j': {'t': 1}, 't': {} }

最大流$f_{max}(u,v)$

edited date: 2019-11-15

總結

以上是生活随笔為你收集整理的网络流最大流分配(附python源码)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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