HNU離散數學2018年期末考試參考答案

• 序：
• 參考答案：
• • 第一題：
  • • 真值表解法：
    • 等值演算解法：
  • 第二題：
  • 第三題：
  • 第四題：
  • 第五題：
  • • (1)組合計算：
    • (2)通項計算：
  • 第六題：
  • 第七題：
  • • Prim解法：
    • Kruskal解法：

序：

筆者前段時間剛考完補修的離散數學，復習過程中深感沒有參考答案的痛苦，雖然試卷本身難度并不大可以和同學比對得出正確答案，但是在復習時間不足時有一份詳盡的參考答案實在是一件令人希冀的事情。故筆者在此將自己復習過程中做過的18年試卷整理成電子版方便復習取用，個人答案難免有所紕漏，若發現有疑問的地方歡迎與我討論。

那么下面便開始吧：

參考答案：

第一題：

首先將條件轉換為命題有：

1、如果A上則B或C要上： A→(B∨C)； 2、如果B上則D與E都不上： B→(?D∧?E)； 3、A與E上且只上一個： (?A∧E)∨(A∧?E)； 4、E上則CD必須上： E→(C∧D)；

真值表解法：

首先確定有(?A∧E)∨(A∧?E)得到只含AE的真值表：

之后由條件E→(C∧D)可知E為0時CD無限制，E為1時CD都為1，即添加CD進入真值表有：

再由B→(?D∧?E)將B添入真值表，此處限制條件為B為1時DE都為0，即有：

最后根據條件A→(B∨C)得到限制條件A為1時BC不全為0，刪去上一步真值表中相應行：

等值演算解法：

(A→(B∨C))∧(B→(?D∧?E))∧((?A∧E)∨(A∧?E))∧(E→(C∧D)) <=> (?A∨(B∨C))∧(?B∨(?D∧?E))∧((?A∧E)∨(A∧?E))∧(?E∨(C∧D)) <=> (?A∨B∨C)∧(?B∨(?D∧?E))∧((?A∧E∧?E)∨(?A∧E∧C∧D)∨(A∧?E∧?E)∨(A∧?E∧C∧D)) <=> (?A∨B∨C)∧(?B∨(?D∧?E))∧((?A∧C∧D∧E)∨(A∧?E)∨(A∧C∧D∧?E)) <=> (?A∨B∨C)∧((?B∧?A∧C∧D∧E)∨(?B∧A∧?E)∨(?B∧A∧C∧D∧?E)∨(?D∧?E∧?A∧C∧D∧E)∨(?D∧?E∧A∧?E)∨(?D∧?E∧A∧C∧D∧?E)) <=> (?A∨B∨C)∧((?A∧?B ∧C∧D∧E)∨(A∧?B∧?E)∨(A∧?B∧C∧D∧?E)∨(A∧?D∧?E)) <=> (?A∧?A∧?B∧C∧D∧E)∨(?A∧A∧?B∧?E)∨(?A∧A∧?B∧C∧D∧?E)∨(?A∧A∧?D∧?E)∨(B∧?A∧?B∧C∧D∧E)∨(B∧A∧?B∧?E)∨(B∧A∧?B∧C∧D∧?E)∨(B∧A∧?D∧?E)∨(C∧?A∧?B∧C∧D∧E)∨(C∧A∧?B∧?E)∨(C∧A∧?B∧C∧D∧?E)∨(C∧A∧?D∧?E) <=> (?A∧?B∧C∧D∧E)∨(A∧B∧?D∧?E)∨(?A∧?B∧C∧D∧E)∨(A∧?B∧C∧?E)∨(A∧?B∧C∧D∧?E)∨(A∧C∧?D∧?E)再將不足五項的合取式進行擴展，如： (A∧B∧?D∧?E)<=>(A∧B∧(C∨?C)∧?D∧?E)<=>(A∧B∧C∧?D∧?E)∨(A∧B∧?C∧?D∧?E)即繼續進行等值演算有： <=> (?A∧?B∧C∧D∧E)∨(?A∧?B∧C∧D∧E)∨(A∧?B∧C∧D∧?E)∨(A∧B∧(C∨?C)∧?D∧?E)∨(A∧?B∧C∧(D∨?D)∧?E)∨(A∧(B∨?B)∧C∧?D∧?E) <=> (?A∧?B∧C∧D∧E)∨(?A∧?B∧C∧D∧E)∨(A∧?B∧C∧D∧?E)∨(A∧B∧C∧?D∧?E)∨(A∧B∧?C∧?D∧?E)∨(A∧?B∧C∧D∧?E)∨(A∧?B∧C∧?D∧?E)∨(A∧B∧C∧?D∧?E)∨(A∧?B∧C∧?D∧?E) <=> (?A∧?B∧C∧D∧E)∨(A∧?B∧C∧?D∧?E)∨(A∧?B∧C∧D∧?E)∨(A∧B∧?C∧?D∧?E)∨(A∧B∧C∧?D∧?E)

第二題：

首先將條件轉換為命題有： 1、如果A上則B或C要上： A→(B∨C)； 2、如果B上則D與E都不上： B→(?D∧?E)； 3、A與E上且只上一個： (?A∧E)∨(A∧?E)； 4、E上則CD必須上： E→(C∧D)； 此處給出前提C不上即C為0，即?C為真。 下面開始自然推理： (1) ?C為真 前提條件 (2) E→(C∧D)為真 前提條件 (3) ?(C∧D)→?E為真 (2)條件式的等值條件式 (4) (?C∨?D)→?E為真 (3)德摩根定律 (5) ?C∨?D為真 (1)與析取式性質A→(A∨B) (6) ?E為真 (5)(4)假言推理 (7) (?A∧E)∨(A∧?E)為真 前提條件 (8) ?(?A∧E)→(A∧?E)為真 (7)析取式的等值條件式 (9) (A∨?E)→(A∧?E)為真 (8)德摩根定律 (10) A∨?E為真 (6)與析取式性質A→(A∨B) (11) A∧?E為真 (10)(9)假言推理 (12) A為真 (11)與合取式性質(A∨B)→A (13) A→(B∨C)為真 ?提條件 (14) B∨C為真 (12)(13)假言推理 (15) ?C→B為真 (14)析取式的等值條件式 (16) B為真 (1)(15)假言推理 (17) B→(?D∧?E)為真 前提條件 (18) ?D∧?E為真 (16)(17)假言推理 (19) ?D為真 (18)與合取式性質(A∨B)→A 至此ABDE的上場情況已經全部推出(12)(16)(19)(6)。 即AB上場而DE不上場。

第三題：

論域：熬夜看球人 謂詞：題中已經給出相應設定 將文字轉換為謂詞邏輯有： 1、 任何熬夜看球人要么是真球迷要么是真球迷的鐵哥們：?x(T(x)∨Z(x)) 2、 任何一個真球迷平常都喜歡踢球： ?x(Z(x)→P(x)) 3、 并不是所有熬夜看球人平常都喜歡踢球： ??xP(x) 現在由前提條件推出有些熬夜看球人是真球迷的鐵哥們： ?xT(x) 下面開始推導： (1) ??xP(x)為真 前提條件 (2) ?x?P(x)為真 (1)德摩根定律 (3) ?P(c)為真 (2)存在指定，存在x滿足即令x=c (4) ?x(Z(x)→P(x))為真 前提條件 (5) ?x(?P(x)→?Z(x))為真 (4)條件式的等值條件式的代換實例 (6) ?P(c)→?Z(c)為真 (5)全稱指定，任x0為真尤令x=c為真 (7) ?Z(c)為真 (3)(6)假言推理的代換實例 (8) ?x(T(x)∨Z(x))為真 前提條件 (9) ?x(?Z(x)→T(x))為真 (8)析取式的等值條件式的代換實例 (10)?Z(c)→T(c)為真 (9)全稱指定，任x0為真尤令x=c為真 (11)T(c)為真 (7)(10)假言推理的代換實例 (12)?xT(x)為真 (11)存在推廣，T(c)為真即存在x=c為真 證畢！

第四題：

首先建立表示每個人的集合U={A,B,C,D,E,F}， 令序偶<A,B>表示A可以找到B，即可得關系R= { <A,B>,<A,D>,<A,E>,<B,C>,<B,F>,<C,E>,<C,A>,<C,D>,<D,A>,<D,C>,<D,F>,<E,B>,<E,D>,<F,C>,<F,E> }

轉換為關系序偶即有：

六步之內找到所有人即M∨M²∨M³∨M⁴∨M⁵∨M⁶矩陣元素必全為1。
M²=M○M有：

M³=M○M²有：

此時M∨M²∨M³已滿足矩陣元素全為1的條件。
即3步即可找到所有人，驗證定理正確！

第五題：

(1)組合計算：

首位為大寫字母即C26 1；末位為數字即C10 1。
即組合數為C26 1 * C10 1 * ((C62 1)⁴ + (C62 1)⁵ + (C62 1)⁶ + (C62 1)⁷）

(2)通項計算：

由遞推公式a_n=7a_n-1-10a_n-2
可得方程a_n-7a_n-1+10a_n-2=0
即可得特征根方程x²-7x+10=0
解得x₁=2，x₂=5
即可得通項的通式有a_n=A * 2ⁿ + B * 5ⁿ
帶入a₀=2以及a₁=6即可得方程組：
A + B = 2
2A + 5B =6
解得A=4/3，B=2/3
即得最終通項a_n=4/3 * 2ⁿ + 2/3 * 5ⁿ

第六題：

運算表如下：

判斷其構成一個群： 1、封閉性： 由運算表可知?a,b∈G，有a*b∈G; 2、可結合性：由運算表可知?a,b,c∈G，有(a*b)*c=a*(b*c)=a*b*c; 3、單位元： 由運算表可知?a∈G，有0*a=a*0=a; 4、逆元： 已知單位元為0，由運算表可知除單位元本身?a∈G有a^-1=360-a滿足a^-1*a=a*a^-1=0; 綜上所述，證明此代數系統構成一個群。計算每個元素的階即： (1) 0的階 0=0 為1階元 (2) 45的階 45*45=90 45*90=135 45*135=180 45*180=225 45*225=270 45*270=315 45*315=0 為8階元 (3) 90的階 90*90=180 90*180=270 90*270=0 為4階元 其余同理，最終得： 1階元: 0 2階元： 180 4階元： 90、270 8階元： 45、135、225、315

第七題：

Prim算法以及Kruskal算法的描述如圖：

首先指出，由于(C,E)邊權值未定，本題可以有多個答案，此處令(C,E)=2進行求解。

Prim解法：

用Prim算法求最小生成樹： 1、選取結點A進行初始化，此時U={A}，T={}，選取最短邊(A,C)=4加入T； 2、U={A,C}，T={(A,C)},此時最短邊(C,E)=2加入T； 3、U={A,C,E}，T={(A,C),(C,E)},此時最短邊(D,E)=4加入T； 4、U={A,C,E,D}，T={(A,C),(C,E),(D,E)},此時最短邊(D,F)=5加入T； 5、U={A,C,E,D,F}，T={(A,C),(C,E),(D,E),(D,F)},此時最短邊(F,G)=3加入T； 6、U={A,C,E,D,F,G}，T={(A,C),(C,E),(D,E),(D,F),(F,G)},此時最短邊(A,B)=6加入T； 7、U={A,C,E,D,F,G,B}，T={(A,C),(C,E),(D,E),(D,F),(F,G),(A,B)},此時最短邊(E,H)=6加入T； 8、U={A,C,E,D,F,G,B,H}，T={(A,C),(C,E),(D,E),(D,F),(F,G),(A,B),(E,H)},此時最短邊(H,J)=5加入T； 9、U={A,C,E,D,F,G,B,H,J}，T={(A,C),(C,E),(D,E),(D,F),(F,G),(A,B),(E,H),(H,J)},此時|U|=|V|，最小生成樹構造完畢，權值和35。

Kruskal解法：

1、選取未選最小權值邊，此時(C,E)=2加入，邊數i=1; 2、選取未選最小權值邊，此時(G,F)=3加入，邊數i=2; 3、選取未選最小權值邊，此時(A,C)=4加入，邊數i=3; 4、選取未選最小權值邊，此時(E,D)=4加入，邊數i=4; 5、選取未選最小權值邊，此時(A,D)=5，但是加入會構成環故舍棄，選取(H,J)=5加入，邊數i=5; 6、選取未選最小權值邊，此時(D,F)=5加入，邊數i=6; 7、選取未選最小權值邊，此時(E,H)=6加入，邊數i=7; 8、選取未選最小權值邊，此時(A,B)=6加入，邊數i=8; 此時邊數i=n-1=8完成了最小生成樹的構造，權值和為35。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的湖南大学 离散数学 2018年期末考试 参考答案的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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