最大流應用問題

實驗概述

論文評審問題

有m篇論文和n個評審，每篇論文需要安排a個評審，每個評審最多評b篇論文。請設計一個論文分配方案。

要求應用最大流解決上述問題，畫出m=10，n=3的流網絡圖并解釋說明流網絡圖與論文評審問題的關系。

編程實現所設計算法，計算a和b取不同值情況下的分配方案，如果沒有可行方案則輸出無解。

實驗思路

最大流建圖

論文-評委是一個二分圖，討論的是二分圖的連接問題。以流量的角度來看，我們向每篇論文發放一個容量為a的流量。而評委方每個評委可以承載的流量為b。最后，我們需要將論文方的流量全部發送到評委方。如果流量沒有全部發送完畢，就是一個無解的情況。為了使用最大流的算法，可以在論文方添加一個源點，評委方添加一個匯點。

源點可以看作是發送站，要將a流量發至每一個論文結點。然后論文結點需要想辦法將流量發至評委結點，而每個論文結點和評委結點之間都有一條路，其容量為1，既代表評審一篇論文。專家結點要想辦法將流量發送到匯點，因為那樣才能完成一篇論文的評審。每個專家與匯點的通路的容量為b，既每個專家最多評審b篇論文。b用完后，該專家無法到達匯點（無法完成論文評審）。

最大流求可行解

我們知道最大流問題是求源點到匯點送出的流的最大值。在本問題中，要想把所有論文評審完畢，最大流就必須是m*a。

最后找到所有從評委到論文的邊，這些邊都是原來論文到評委的反向邊，代表經過了這些路徑。

畫出的反向邊就是最后的連線

如果最后發現最大流 < m*a，就沒有解，因為源點送出去的流量沒有全部傳到。本質上是有論文沒有被審批。造成這種現象的原因是論文必須要a個評委，而評委有上限為b篇論文。在網絡中，體現為評委向匯點的路徑不能承受所有傳遞過來的流量。

標出的紅色邊是未送達的流量，說明無解

直接判斷有無解的方法就是看是否am < bn && a < n。如果是就一定有解，既評委向匯點的路徑必能承受所有傳遞來的流量。

最大流算法

現在，問題基本上就解決了，我們可以使用最大流算法來求解了。最大流算法五花八門，大家可以自行百度。其中《算法導論》中的例子是Ford Fulkson (DFS)，更好的是EK (Edmons-Karp)算法 (BFS)，但不是最好。最好的算法是Dinic，一種BFS分層DFS方法，因為我們的二分圖具有明顯的層次感。我們老師的要求是比較EK和Dinic，當然最好是多實現幾種最大流算法啦。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的最大流应用实验的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。