Dinic算法

簡介：

相較 Edmonds-Karp 算法而言，為防止每進行一次增廣，都要做一遍BFS，時間復雜度過高，用于減少所作 BFS 次數。
因而 Dinic 算法在 EK 算法的基礎上增加了分層圖的概念，根據從s到各個點的最短距離的不同，把整個圖分層。

過程：

先利用BFS對殘余網絡分層，一個節點的深度，就是源點到它最少要經過的邊數。

利用BFS對殘余網絡分層，分完層后，利用DFS從前一層向后一層反復尋找增廣路。
分完層后，從源點開始，用DFS從前一層向后一層反復尋找增廣路(即要求DFS的每一步都必須要走到下一層的節點）。

在分層時，只要進行到匯點的層次數被算出即可停止，因為按照該DFS的規則，和匯點同層或更下一層的節點，是不可能走到匯點的。

DFS過程中，要是碰到了匯點，則說明找到了一條增廣路徑。此時要增加總流量的值，消減路徑上各邊的容量，并添加反向邊，即所謂的進行增廣。

DFS找到一條增廣路徑后，并不立即結束，而是回溯后繼續DFS尋找下一個增廣路徑。

當最上層的節點如果回溯到源點而且無法繼續往下走了，DFS結束，在此次DFS過程中，可以找到多條增廣路徑。

DFS結束后，對殘余網絡再次進行分層，然后再進行DFS當殘余網絡的分層操作無法算出匯點的層次（即BFS到達不了匯點）時，算法結束，最大流求出。

時間復雜度：

普通情況下， Dinic算法時間復雜度為O(V2E)
在二分圖中， Dinic算法時間復雜度為O(√VE)

模板題：Drainage Ditches

題意：

n 是農夫約翰挖的溝的數量， m 是這些溝渠的交叉點數量，
交叉口 1 是池塘，交叉點 M 是河流。
水從這條溝從 si 號流到 ei 號， ci 是水流通過溝渠的最大速率。
求水渠中所能流過的水的最大容量。

代碼：

#include<iostream> #include<string.h> #include<queue> #include<cmath> using namespace std; #define INF 0x3f3f3f3f const int MAX=210; struct node {int c;//速率int f;//逆流量 }; int sx,ex;//sx和ex分別代表源點和匯點 int pre[MAX];//前驅 node map[MAX][MAX]; int n,m; bool BFS()//BFS搜索層次網絡 {memset(pre,0,sizeof(pre));queue<int> q;q.push(sx);pre[sx]=1;while(!q.empty()){int start=q.front();q.pop();for(int i=1;i<=n;i++){if(!pre[i]&&map[start][i].c-map[start][i].f){pre[i]=pre[start]+1;q.push(i);}}}return pre[ex]!=0;} int dinic(int pos,int flow)//pos是頂點號，flow是當前頂點所能得到的流量 {int f=flow;if(pos==ex)return flow;for(int i=1;i<=n;i++){if(map[pos][i].c-map[pos][i].f&&pre[pos]+1==pre[i]){int use=map[pos][i].c-map[pos][i].f;//可用水量int t=dinic(i,min(use,flow));map[pos][i].f+=t;map[i][pos].f-=t;flow-=t;//此頂點得到的流量減去改變量}}return f-flow;} int slove() {int sum=0;while(BFS()){sum+=dinic(sx,INF);}return sum; } int main() {int u,v,w;while(cin>>m>>n){sx=1;ex=n;memset(map,0,sizeof(map)) ;for(int i=1;i<=m;i++){cin>>u>>v>>w;map[u][v].c+=w;}cout<<slove()<<endl;}return 0; }

ISAP算法

簡介：

同樣是基于分層思想的最大流算法，而有所不同的是，它省去了 Dinic 每次增廣后需要重新構建分層圖的麻煩，而是在每次增廣完成后自動更新每個點的標號。（也就是所在的層）

未結束，待更新
參考：[網絡流]學習筆記：一次理解網絡流！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的最大流（Dinic算法）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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