最大流问题之FF算法与EK算法
目錄
問題描述：
EK算法：
算法描述：
偽代碼：
例子：
控制臺對應輸出為：
關鍵定理證明：
最大流最小割定理：
1推2：
2推3：
3推1：
時間復雜度分析
分析
關鍵邊定義：
時間復雜度計算：
FF算法：
FF算法介紹
FF算法缺陷分析：
問題描述：
G=（V，E）是一個有向圖，其中每條邊（u，v）有一個非負的容量值c（u，v），而且如果E中包含一條邊（u，v），那么圖中就不存在它的反向邊。在流網絡中有兩個特殊的結點，源結點s和匯點t，源結點s只會流出不會流進，匯點只會流進不會流出，我們要求的就是從源結點流到匯結點的路徑的值之和的最大值
EK算法：
算法描述：
每次從殘留網絡中找出一條從源結點到匯結點的最短路徑，流選為路徑中的殘存容量，依據流更新殘存網絡（將每條邊的殘存容量改為當前容量減去流的大小，并添加對應的反向邊，邊的容量為流的大小）
重復選最短路徑，更新殘存網絡，直到沒有最短路徑為止
此時的流累加和即為最大流
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由于每次要找的是最短路徑，所以需要用BFS找路徑
偽代碼：
例子：
初始圖：
第一次路徑1->2->4->6，流大小：12
更新后圖為：
第二次路徑為1->3->5->6，流大小：4
更新后圖為：
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第三次路徑為1->3->5->4->6，流大小：7
更新后圖為：
此時，再也找不到最短路徑，算法結束，則最大流為：12+4+7=23
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控制臺對應輸出為：
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關鍵定理證明：
最大流最小割定理：
| 下面條件等價 1、f是G的一個最大流 2、殘存網絡不包括任何增廣路徑 3、|f|=c(S,T)，其中（S，T）是流網絡的某個切割 |
1推2：
假定f是G的一個最大流，但殘存網絡中仍包含有一條增廣路徑，那么對流f增加流量后，所得的值是嚴格大于f的值的，這與f是G的一個最大流矛盾
2推3：
假設流網絡G不包含任何增廣路徑，現在定義S為G中存在一條從s到v的路徑的所有v的集合，定義T為V-S，則劃分（S,T）是流網絡G的一個切割。
對S中的任意一個結點u，T中的任意一個結點v
如果（u,v）屬于E，則必有f(u,v)=c(u,v)
如果(v,u)屬于E，則必有f(v,u)=0
如果（u,v）和(v,u)都不屬于E，則f(u,v)= f(v,u)=0
因此
所以|f| = f(S,T）= c(S,T)，得證
3推1：
對于所有切割（S,T），|f|≤c（S，T）
因此，當|f| = c（S，T）時，f就是一個最大流
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時間復雜度分析
分析
對于一個流網絡，我們要分析EK算法的復雜度，實際就是要分析調用bfs的次數，但是bfs的次數是很難分析的，所以需要做一點轉換，將對bfs次數的分析轉換為其它和它等價的實體量且稍微簡單一點的分析
在實際分析中，我們發現關鍵邊的個數和bfs的次數是等價的，所以要分析bfs次數，不妨就分析關鍵邊的個數
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關鍵邊定義：
邊(u,v)的殘存容量為最短路徑的殘存容量，則稱為為關鍵邊
任一增廣路徑都至少存在一條關鍵邊
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時間復雜度計算：
邊(u,v)成為關鍵邊到下一次成為關鍵邊，從原結點到u的距離至少增加2個單位
②由于從源結點s到結點u的中間結點不可能包括s、u或t，所以一直到u成為不可到達結點前，距離最長為v-2
由①②可得邊（u,v）成為關鍵邊的次數最多為（V-2）/2，取V/2
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由于一共有E條邊，所以EK算法中關鍵邊總數為O（VE）
總時間 = BFS時間 * BFS次數
由于每次BFS時間為O（E），需要O（VE）次BFS，所以總時間為O（VE2）
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FF算法：
FF算法介紹
FF算法和EK算法很相似，唯一不同的地方就是FF算法每次找的不是最短增廣路徑，它找的路徑是隨機的
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FF算法缺陷分析：
由于FF算法每次找的增廣路徑不是最短路徑，所以FF算法存在這樣一個缺陷：它會使一條邊成為關建邊的最大次數從原來的V/2上升到K/2（K為所有邊中權值最大的邊的權值）
舉下面一個例子
圖3、FF算法樣例圖
按照EK算法，邊（u,v）和（v,u）成為關鍵邊的最大次數應該是4/2-1 = 1，所以所需要的bfs次數為1+1 = 2次
圖4、FF算法過程圖
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圖5、FF算法過程圖
在FF算法中，它將以圖4和圖5的方式反復流動500000次
邊（u,v）和（v,u）成為關鍵邊的最大次數是1000000/2=500000，所以所需要的bfs次數為500000+500000=1000000次，由于調用bfs的效率過低，所以會導致FF算法比EK算法慢
代碼：×
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總結
以上是生活随笔為你收集整理的最大流问题之FF算法与EK算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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