標(biāo)號(hào)法求最大流

圖論中網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)概念見上篇博客

算法基本思想：
從某個(gè)初始流開始，重復(fù)地增加流的值到不能再改進(jìn)為止，則最后所得的流將是一個(gè)最大流。為此，不妨將每條邊上的流量設(shè)置為0作為初始流量。為了增加給定流量的值，我們必須找出從發(fā)點(diǎn)到收點(diǎn)的一條路并沿這條路增加流量。

當(dāng)前流為最大流的充要條件：網(wǎng)絡(luò)中不存在增廣路
最大流最小截定理：在任何網(wǎng)絡(luò)中，最大流的流量等于最小截集的容量。
整數(shù)流定理：在任何網(wǎng)絡(luò)中，如果網(wǎng)絡(luò)所有的弧容量都是整數(shù)，則存在整數(shù)最大流。

明確一點(diǎn)：最大流是指網(wǎng)絡(luò)中流的值達(dá)到最大，即源的出流量或匯的入流量達(dá)到最大，每段弧都有對(duì)應(yīng)的流量，而不是求網(wǎng)絡(luò)中某個(gè)路徑的流量。

把最大流算法想象成兩個(gè)運(yùn)輸站之間運(yùn)貨，兩個(gè)運(yùn)輸站之間有很多個(gè)中轉(zhuǎn)站，每個(gè)中轉(zhuǎn)站都有一個(gè)最大容量，站與站之間運(yùn)貨都有不同的運(yùn)貨量，而且中轉(zhuǎn)站不會(huì)留貨物，所以貨物的總量一定等于源站的出貨數(shù)或者匯站的進(jìn)貨數(shù)。最大流算法就是在不超過所有中轉(zhuǎn)站的容量的情況下，求最大出貨量/進(jìn)貨量以及所有中轉(zhuǎn)站之間的運(yùn)貨量。
如下圖所示，左邊是容量，右邊是流量，在如圖所示的流中，流的值達(dá)到了最大，為13，也不存在增廣路，所謂增廣路就是一條從源到匯的路徑，路徑上的所有弧非飽和（正向）或非空（反向），即一條仍能增加流量的路。

為什么說增廣路是一條仍能增加流量的路？其實(shí)不難理解，增廣路的定義如上文，路徑上的所有弧非飽和（正向）或非空（反向），反向弧的流量假設(shè)為n，實(shí)際上等價(jià)于為正向弧的流量為-n，因?yàn)閚不能小于0，所以n=0的時(shí)候，反向弧的流量雖然達(dá)到了最小，但是把他當(dāng)做正向弧的時(shí)候，流量卻達(dá)到了最大。
對(duì)于一條路徑而言，非飽和弧和非空弧都意味著該條路徑的流量沒有達(dá)到飽和。既然網(wǎng)絡(luò)中存在一條沒有達(dá)到飽和的路徑，那么網(wǎng)絡(luò)的流也沒有達(dá)到最大。這就是當(dāng)前流為最大流的充要條件，可用數(shù)學(xué)語言證明。

算法文字描述：
步驟0：將網(wǎng)絡(luò)中所有弧流量全部置0
步驟1：將源的點(diǎn)流量設(shè)為無窮大，令u=s。
步驟2：標(biāo)記 點(diǎn)$v_i=u$的所有未被標(biāo)記的鄰點(diǎn)$v_j$的點(diǎn)流量（BFS）。
標(biāo)記方法：若u到鄰點(diǎn)是正向弧，且流量小于容量，則點(diǎn)流量$\Delta (v_j)$取前點(diǎn)流量$\Delta (v_i)$和弧的容流量差值$C_{ij}?F_{ij}$的較小者
若是反向弧連接，且流量大于0，則點(diǎn)流量$\Delta (v_j)$取前點(diǎn)流量$\Delta (v_i)$和弧流量$F_{ij}$的較小者
步驟3：若標(biāo)記到了匯則轉(zhuǎn)步驟4，否則任選一個(gè)剛剛被標(biāo)記的點(diǎn)設(shè)為$u$，轉(zhuǎn)步驟2，若剛剛沒有標(biāo)記任何點(diǎn)則算法結(jié)束。（步驟2由于會(huì)執(zhí)行多次，剛剛表示步驟2最近一次執(zhí)行時(shí)標(biāo)記的點(diǎn)，即$v_i$的可被標(biāo)記的鄰點(diǎn)）
步驟4：從匯開始，依次回溯被標(biāo)記的點(diǎn)，并將兩點(diǎn)之間的弧加/減一個(gè)匯流量$\Delta (t)$，正向則加，反向則減，回溯到源后，轉(zhuǎn)步驟1。

算法符號(hào)描述：
步驟0： 設(shè)F是從源s到匯t的任意可行流，對(duì)任意$<\mu ,v>=<v_i,v_j>\in E$，令$F_{ij}=0$。//從零流開始。
步驟1： 對(duì)源$s=v_0$標(biāo)記為$(s,+,\Delta (s)=\infty )，S=｛s｝，U=｛v_j｝,j=0,1,2,?,n；\mu =v_i=s。$(S表示已標(biāo)記的頂點(diǎn)集，U未檢查的頂點(diǎn)集，初始值為全體頂點(diǎn)。)
步驟2： 對(duì)$Sˉ$(S的補(bǔ))中與$\mu =v_i$的所有鄰點(diǎn)$v_j$，有：
(1) 若$<v_i,v_j>\in E，且F_{ij}<C_{ij}$，則將$v_j$標(biāo)記為$(v_i,+,\Delta (v_j))$，其中$\Delta (v_j)=min?｛\Delta (v_i),C_{ij}?F_{ij}｝，S=S\cup v_j$。
(2) 若$<v_j,v_i>\in E$，且$F_{ij}>0$，則將$v_j$標(biāo)記為$(v_i,?,\Delta (v_j))$，其中$\Delta (v_j)=min?｛\Delta (v_i),F_{ij}｝，S=S\cup v_j$。
步驟3： 若$v_j=t\in S$，轉(zhuǎn)步驟4，否則$v_j=t$，令$U=U?v_i$，若$S\cap U=\phi$，則算法結(jié)束，當(dāng)前流為最大流；否則若$S\cap U=\phi$，任選$v_i\in S\cap U$，轉(zhuǎn)步驟2。（實(shí)際上，S∩U就是步驟2中剛剛被標(biāo)記的點(diǎn)）
步驟4： 令$z=t$。
步驟5： 若$z$的標(biāo)記為$(g,+,\Delta (z))$，則$F(<g,z>)=F(<g,z>)+\Delta (z)$；
若z的標(biāo)記為$(g,?,\Delta (z))$，則$F(<z,g>)=F(<z,g>)?\Delta (z)$。
步驟6： 若$g=s$，則取消所有點(diǎn)的標(biāo)號(hào)，轉(zhuǎn)步驟1，否則，令$z=g$，轉(zhuǎn)步驟5。
標(biāo)記的意義：$(v_i,+,\Delta (v_j))$表示點(diǎn)$v_i$經(jīng)流量為$\Delta (v_j)$的正向弧到達(dá)點(diǎn)$v_j$
$(v_i,?,\Delta (v_j))$表示點(diǎn)$v_i$經(jīng)流量為$\Delta (v_j)$的反向弧到達(dá)點(diǎn)$v_j$

符號(hào)描述可能不好理解，對(duì)照文字描述理解。

例子：（編輯太麻煩了，從word截的圖）



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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的最大流算法 - 标号法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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