网络流（最大流）基础入门
好不容易大概搞懂了網(wǎng)絡(luò)流，寫個(gè)博客鞏固一下（盜了點(diǎn)圖，請(qǐng)圖主原諒）
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定義 網(wǎng)絡(luò)流與最大流
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網(wǎng)絡(luò)流是指給定一個(gè)有向圖，和兩個(gè)點(diǎn)–源點(diǎn)S和匯點(diǎn)T，點(diǎn)之間有連邊，
每條邊有一個(gè)容量限制，可以看作水管，網(wǎng)絡(luò)流就是指由S點(diǎn)流到T點(diǎn)的一個(gè)可行流。
最大流就是指所有可行流里面最大的流。
通俗的講，就是由若干個(gè)運(yùn)貨點(diǎn)，一個(gè)是起點(diǎn)，一個(gè)是終點(diǎn)，有一些運(yùn)貨點(diǎn)由路相連，每條路有容量限制，走過那條路時(shí)運(yùn)送的貨物不能超過其中的容量限制，求最大流就是求從起點(diǎn)運(yùn)送盡量多的貨物到終點(diǎn)，到達(dá)終點(diǎn)的貨物個(gè)數(shù)。
舉個(gè)例子：
此時(shí)最大流為4。
同時(shí)，網(wǎng)絡(luò)流也有三個(gè)性質(zhì)：
1、容量限制: f[u,v]<=c[u,v]
2、反對(duì)稱性：f[u,v] = - f[v,u]
3、流量平衡: 對(duì)于不是源點(diǎn)也不是匯點(diǎn)的任意結(jié)點(diǎn),流入該結(jié)點(diǎn)的流量和等于流出該結(jié)點(diǎn)的流量和。
網(wǎng)絡(luò)流必須滿足這三個(gè)性質(zhì)
第一個(gè)很容易理解，就是運(yùn)送的貨物不能夠超出限制
第二個(gè)也很容易理解，v向u流入x，v減少，u增加，如果從反方向看，就意味著
u減少-x，v增加-x，也就是u向v流入-x
第三個(gè)就是除了源點(diǎn)和匯點(diǎn)的運(yùn)貨點(diǎn)不能夠囤貨，收到貨物就要發(fā)出去。
最大流算法Dinic
最大流的算法有很多，有EK，Dinic，ISAP等
現(xiàn)在就介紹一種時(shí)間效率很高的算法–Dinic，
概念
其實(shí)EK，Dinic都有一個(gè)統(tǒng)一的思路–找增廣路，
相信同學(xué)們?cè)趯W(xué)二分圖的時(shí)候已經(jīng)聽過這個(gè)名詞，
增廣路的意思是在當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)之后找到一條能夠從源點(diǎn)到匯點(diǎn)能運(yùn)更多貨物的路徑。當(dāng)一條邊被增廣之后(即它是增廣路的一部分,或者說增廣路通過這條邊),這條邊還能通過的流量，叫做剩余流量，修改之后的圖稱為殘量網(wǎng)絡(luò)。
拿剛才的作為例子：
所以這類算法的思路就是，一直找增廣路，找到?jīng)]有為止
但是如果走完增廣路，有更優(yōu)的流法怎么辦?例如說：
又圖可知，最大流為4，
但在這個(gè)圖里面，若算法選擇了紅色路徑為增廣路，
此時(shí)流為2，這樣走之后就找不到增廣路了，因此最大流為2，顯然不對(duì)。
正確路徑應(yīng)是：
所以我們不能夠單純的尋找，需要給程序提供一個(gè)反悔的機(jī)會(huì)，
在這里我們引入一個(gè)反向弧的概念，也就是在增廣的同時(shí)，給增廣路上的邊的反向邊容量增加所增廣流量：
意思是，程序可以反悔，把所流的流量流回去。
按照這個(gè)步驟，繼續(xù)執(zhí)行下去，程序就會(huì)找到另一條增廣路，從而得到正確答案。
將原本紅色的增廣流量流回去到1點(diǎn)，然后換一條路徑到-2-T，此時(shí)藍(lán)色就可以走4-T增廣，其實(shí)是一種“偷梁換柱”的手法。
引入反向弧后，就能解決這個(gè)問題。
算法步驟
Dinic算法是在找增廣路 前提下加了幾個(gè)優(yōu)化，
先給一個(gè)步驟，后面詳細(xì)解釋：
1.用BFS建立分層圖
2.用DFS的方法尋找一條由源點(diǎn)到匯點(diǎn)的路徑,獲得這條路徑的流量x.
根據(jù)這條路徑修改整個(gè)圖,將所經(jīng)之處正向邊流量減少x,反向邊流量增加x
重復(fù)步驟2,直到DFS找不到新的路徑時(shí),重復(fù)步驟1
1、BFS
為了避免走重復(fù)的路徑，
首先從S點(diǎn)BFS，將整個(gè)圖分成若干層，變成層次圖，S點(diǎn)為第0層，
定義dis[u]為u所在的層數(shù)，也就是至源點(diǎn)的最短距離。
(tips:如果u點(diǎn)到下一個(gè)節(jié)點(diǎn)v的邊剩余容量為0，則算法忽略此邊，因?yàn)槭Ｓ嗳萘繛?已經(jīng)無(wú)法增廣)
例如說：
如果在BFS的時(shí)候沒有遍歷過T點(diǎn)，則說明源點(diǎn)與匯點(diǎn)不連通，函數(shù)返回0，算法結(jié)束。
有的話，返回1，代表建立成功，那么dis數(shù)組可以為接下來(lái)的DFS尋找增廣路提供優(yōu)化。
2、DFS
在BFS之后就要從源點(diǎn)開始DFS找增廣路，
DFS(u,exp)表示經(jīng)過u點(diǎn)時(shí)當(dāng)前流量為exp。
剛開始時(shí)從源點(diǎn)DFS時(shí)，exp=∞，表示從該點(diǎn)流出的流量可以為無(wú)限大。
在DFS中遍歷u所連接的點(diǎn)v，dis[v]必須等于dis[u]+1，否則會(huì)多走沒有必要的路徑。
可以利用DFS進(jìn)行多路增廣來(lái)保證時(shí)間效率，即一次增廣多條路。
因邊有流量限制，所以DFS(u,exp)
[Math Processing Error]
當(dāng)u點(diǎn)為T時(shí)，就等于找到一條由S點(diǎn)到T點(diǎn)的增廣路，返回exp至上一層。
當(dāng)u點(diǎn)不為T時(shí)，定義一個(gè)值flow為在u點(diǎn)所增廣的流量，初始值為0
同時(shí)要找下一個(gè)節(jié)點(diǎn)以DFS（節(jié)點(diǎn)是一條以u(píng)為起點(diǎn)的邊上的終點(diǎn)），
但需要一些限制，首先dis[v]=dis[u]+1，而且該邊的剩余容量不能為0，否則肯定不能夠增廣更多的流量。
對(duì)于每次節(jié)點(diǎn)的DFS，如果該DFS可以增廣的流量為0，說明增廣失敗，就直接跳過后面，找下一個(gè)節(jié)點(diǎn)v。
不為0的話，當(dāng)前exp就減去增廣路的流量，代表著在u點(diǎn)還可以流的流量，如果exp已經(jīng)等于0就代表著在該點(diǎn)已經(jīng)沒有更多流量可以流過去了，必須退出增廣。
flow加上該增廣路增廣流量。
同時(shí)，正向邊減去流量，代表剩余流量，反向邊加上流量（反向弧）
最后，該點(diǎn)所有的節(jié)點(diǎn)遍歷完后，返回該點(diǎn)所增廣的流量flow給上一層。
整個(gè)DFS結(jié)束后，最大流累加器ans加上S點(diǎn)的增廣流量，因?yàn)橥Ｖ沽薉FS，
所以已經(jīng)沒有路可以增廣，所以重新BFS給當(dāng)前殘余網(wǎng)絡(luò)建層次圖。
如果BFS返回0，即S點(diǎn)和T點(diǎn)不聯(lián)通時(shí)，直接退出，輸出當(dāng)前ans，
也就是最大流
即偽代碼：
while(BFS()):
ans += DFS(S,inf)
這樣，Dinic算法的步驟就結(jié)束了。
模擬
讓我們來(lái)模擬一下吧：
以下面這個(gè)圖作為例子：
首先用BFS分層，層次圖如下：
分層后開始由S點(diǎn)DFS，
首先DFS(S,∞)：
找到下一個(gè)節(jié)點(diǎn)3，dis[3]=dis[S]+1，所以可以，
此時(shí)流進(jìn)3的最大流量只能是現(xiàn)在走過路徑所允許的容量和當(dāng)前點(diǎn)點(diǎn)流量的最小值，即min(∞,5)=5，即進(jìn)入DFS(3,5)。
DFS(3,5):
找到下一個(gè)節(jié)點(diǎn)T，此時(shí)流進(jìn)T最大流量為min(5,3)=3。
所以進(jìn)入DFS(T,3)
DFS(T,3):
因?yàn)樽叩絋，所以找到一條增廣路，流量為3，返回增廣流量3上一層。
DFS(3,5):
找到一條增廣路，所以當(dāng)前點(diǎn)3還可以流的流量為：5-3=2（留了一些到T點(diǎn)），在該點(diǎn)所增廣得到的流量為0+3=3
正向邊減3，反向弧加3，也就是：
然后從3尋找下一個(gè)節(jié)點(diǎn)1，由于dis[1]!=dis[3]+1，所以跳過。
接下來(lái)沒有其他節(jié)點(diǎn)了，返回該點(diǎn)所增廣流量3到上一層。
DFS(S,∞):
在節(jié)點(diǎn)3得到增廣流量3，所以當(dāng)前節(jié)點(diǎn)可流流量，∞-3=∞（S點(diǎn)可流無(wú)窮的水），在S點(diǎn)增廣得到的流量為：0+3=3
同理，正向邊減3，反向弧加3，也就是：
修改完邊之后，遍歷S下一個(gè)節(jié)點(diǎn)1，因?yàn)閐is[1]=dis[S]+1，所以沒有問題，能流進(jìn)1最大流量：min(∞,5)=5，所以進(jìn)入DFS(1,5)
DFS(1,5):
找到下一個(gè)節(jié)點(diǎn)2，dis[2]=dis[1]+1，
能流進(jìn)2最大流量：min(5,6)=5，所以DFS(2,5)
DFS(2,5):
找到下一個(gè)節(jié)點(diǎn)T，dis[T]=dis[2]+1，
能流進(jìn)T最大流量：min(5,10)=5，所以DFS(T,5)
DFS(T,5):
走到T了，直接返回增廣流量5給上一層。
DFS(2,5):
flow=0+5=5，該點(diǎn)還可以流的流量為5-5=0，
正向邊減5，反向邊加5，也就是：
返回5到上一層
DFS(1,5):
flow=0+5=5，還可流流量5-5=0，正向邊減5，反向邊加5，
返回5到上一層
DFS(S，∞):
flow=5+3=8，還可流流量∞，正向邊減5，反向邊加5，
因?yàn)槭窃袋c(diǎn)，且此時(shí)已經(jīng)找不到下一個(gè)節(jié)點(diǎn)，所以不用回溯，累加器ans加上8。
因?yàn)檎也坏较乱粭l增廣路，所以重新BFS分層，分層后如圖所示：
（剩余容量為0的邊忽略，因?yàn)槠洳荒芡ㄟ^任何流量）
到這里請(qǐng)某位模擬大神上來(lái)模擬一下。
模擬后，你們對(duì)算法的過程應(yīng)該會(huì)有更深刻的了解。
反向邊的存儲(chǔ)和查詢
那么，在實(shí)際編程中，有什么要注意的？
首先，網(wǎng)絡(luò)流的邊可以用鏈?zhǔn)角跋蛐谴鎯?chǔ)，你們應(yīng)該知道，就是：
struct Edge{
int v,w,nxt;
}g[MAXM];
int head[MAXN],cnt;
void addEdge(int u,int v,int w){
g[cnt]=(Edge){v,w,head[u]};
head[u]=cnt;
++cnt;
}
然而反向弧應(yīng)該怎么存儲(chǔ)呢，在dfs過程中addEdge新建邊顯然是不現(xiàn)實(shí)的，
所以可以在建圖過程中加了普通邊后，把反向邊addEdge，容量為0，這樣會(huì)方便加。
例如：
addEdge(u,v,w);addEdge(v,u,0);
那么如何求一條邊的反向邊呢，假設(shè)那條邊的編號(hào)為i，那么反向邊應(yīng)為i^1，
例如說u-v編號(hào)為3，其反向邊v-u編號(hào)為3^1=2，
v-u編號(hào)為2，其反向邊u-v編號(hào)為2^1=3。
但要注意的是邊的編號(hào)要從0開始，否則這種方法無(wú)效
模版題
只要理解之后，最大流其實(shí)很簡(jiǎn)單，其實(shí)還有很多的優(yōu)化，
在這里就由于時(shí)間關(guān)系不講了，可以課后找我問。
同時(shí)也給你們推薦一道模版題 「網(wǎng)絡(luò)流模板」圖圖的最大流
可以拿來(lái)測(cè)你們模版的時(shí)間（打滿優(yōu)化才能A）
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的网络流（最大流）基础入门的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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