文章目錄

• NC 106056 poj1459 Power Network
• • 題目大意：
  • 題解：
• NC213817 [網絡流24題]最小路徑覆蓋問題
• • 題目：
  • 題解：
• 例2：NC213818 [網絡流24題]魔術球問題
• • 題目：
  • 題解：
  • • 方法2：
• NC 213820 [網絡流24題]最長遞增子序列問題
• • 題目:
  • 題解：
• NC19939 [CQOI2015]網絡吞吐量
• • 題目：
  • 題解：
  • 代碼：

NC 106056 poj1459 Power Network

題目大意：

總共有n個節點，其中有發電站np個、用戶nc個和調度器n-np-nc個三種節點，每個發電站有一個最大發電量，每個用戶有個最大接受電量，現在有m條有向邊，邊有一個最大的流量代表，最多可以流出這么多電，現在從發電站發電到用戶，問最多可以發多少電
? N<=100

題解：

? 我們之前講的網絡流都是單源單匯問題，這題是多源多匯，關鍵在于把多源多匯問題轉化為單源單匯，只要構造一個超級源點和一個超級匯點就ok了，把超級源點和各個源點之間加一條邊，把各個匯點和超級匯點之間加一條邊，這樣就搞定了

NC213817 [網絡流24題]最小路徑覆蓋問題

題目：

? 給定有向圖G=(V,E)。設P 是G 的一個簡單路（頂點不相交）的集合。如果V 中每個頂點恰好在P 的一條路上，則稱P是G 的一個路徑覆蓋。P 中路徑可以從V 的任何一個頂點開始，長度也是任意的，特別地，可以為0。G 的最小路徑覆蓋是G 的所含路徑條數最少的路徑覆蓋。
設計一個有效算法求一個有向無環圖G 的最小路徑覆蓋。
? 1≤n≤150,1≤m≤6000

題解：

? 每個點用一次——
? 每個點拆成出點和入點，入點向出點連容量為1的邊
? 原圖中存在x到y的邊的話，就從x的出點向y的入點連容量為1的邊
? S向每個點的入點連容量為1的邊，每個點的出點向T連容量為1的邊

一張圖中，路徑數（點不重復）=點數-點之間匹配數（連邊且不重復，也就是網絡最大流）。
在網絡流上體現為：最小路徑覆蓋=點的總數-網絡最大流

例2：NC213818 [網絡流24題]魔術球問題

題目：

? 假設有n根柱子，現要按下述規則在這n根柱子中依次放入編號為1，2，3，…的球。
（1）每次只能在某根柱子的最上面放球。
（2）在同一根柱子中，任何2個相鄰球的編號之和為完全平方數。
試設計一個算法，計算出在n根柱子上最多能放多少個球。例如，在4 根柱子上最多可放11 個球。
編程任務：對于給定的n，計算在n根柱子上最多能放多少個球。
? 1≤n≤55

題解：

首先思想很重要，不是明顯的圖論，要往圖論方向靠

建圖方式：
S與左圖所有數相連，右圖所有數與T相連

對于一個進來的編號的球x，有兩個選擇：
第一個選擇是放在某個和他能組成平方數的球（我們起名為y）的后面
第二個選擇是自己單獨出來成為開頭
對于第一種選擇，當然要y和x連一個邊
對于第二種選擇，S要和x連一個邊
當然我們也要讓x與T連一個邊
但是一個點怎么能同時連多個，顯然一個點是不夠用的
我們將一個點給分開，分為x和x’
x與s相連，x’與t相連
為了滿足第一種情況，對于滿足條件的x和y兩個點，連接y和x’
這樣組成的圖直接跑最大流算法即可
球和柱子同時加，跑出的最大流為省掉的柱子數，如果加入一個數當前最大流沒有變化，說明柱子數+1，如果最大流+1，說明可以省下一個柱子、

方法2：

匈牙利算法也可以做
給定了柱子數n（最小路徑覆蓋數）以及放球條件（建邊條件），求最多有多少個球（最多有多少個點可以滿足這個最小路徑覆蓋數）。
枚舉球的數量。
每來一個球（點）m，枚舉1…m-1的每個點i，若i+m滿足建邊條件（和為完全平方數）則按以下方式建邊——
套路拆點，每個點i拆成Xi、Yi，對于一組i、m，連Xi<->Y(m+5000)雙向，跑匈牙利算出最大匹配。
根據二分圖相關定理：最小路徑覆蓋數=點數-最大匹配數。
算出當前圖的最小路徑覆蓋k，與給定柱子數比較。
k<n，繼續加球。

k=n，可能還有更大的答案，繼續加球。

k>n，m-1就是答案，停止加球。

輸出路徑，遍歷1…m-1每個X部點，向其匹配點走，直到無路可走，沿路標記為已遍歷。

已遍歷過的X部點不再遍歷。

NC 213820 [網絡流24題]最長遞增子序列問題

題目:

? 給定正整數序列x1 ,… , xn。 （1）計算其最長遞增子序列的長度s。 （2）計算從給定的序列中最多可取出多少個長度為s的遞增子序列。
（3）如果允許在取出的序列中多次使用x1和xn，則從給定序列中最多可取出多少個長度為s
的遞增子序列。
? 編程任務：設計有效算法完成（1）（2）（3）提出的計算任務。
? 1≤n≤500

題解：

參考自眾多大佬題解
第一問好說，經典dp問題，
F[i]，表示以第i位為開頭的最長上升序列的長度
第二三問是網絡流問題
因為題目要求是不下降序列，所以我們可以將不下降序列中的數字連邊

建圖方式：

我們先將每個數字x拆成兩個x1，x2，兩者連有一個容量為1的有向邊，從x1到x2

建立源點S和匯點T，如果序列第x位有F[x]=K,也就是第x位為最長序列的第一個數字，那么就建立S到x1連接一條容量為1的有向邊

如果F[i] = 1,從i2到T連接一個容量為1的有向邊

如果i<j且A[i] < A[j]且F[i]=F[j]+1，從<i.b>到<j.a>連接一條容量為1的有向邊。也就是對于一個非遞減序列<a,b>,我們連接a2到b1一條有向邊，容量為1
對于第二問，我們直接求網絡最大流即可
對于第三位，我們將邊<1₁,1₂>,<n₁,n₂>,<S,1_`>,<n₂,T>
四個邊的容量改成無限大，再跑網絡最大流即可
對于一組數 1 6 3 2 5
對其建邊情況如下：

NC19939 [CQOI2015]網絡吞吐量

題目：

? 路由是指通過計算機網絡把信息從源地址傳輸到目的地址的活動，也是計算機網絡設計中的重點和難點。網絡中實現路由轉發的硬件設備稱為路由器。為了使數據包最快的到達目的地，路由器需要選擇最優的路徑轉發數據包。例如在常用的路由算法OSPF(開放式最短路徑優先)中，路由器會使用經典的Dijkstra算法計算最短路徑，然后盡量沿最短路徑轉發數據包。
? 現在，若已知一個計算機網絡中各路由器間的連接情況，以及各個路由器的最大吞吐量（即每秒能轉發的數據包數量），假設所有數據包一定沿最短路徑轉發，試計算從路由器1到路由器n的網絡的最大吞吐量。計算中忽略轉發及傳輸的時間開銷，不考慮鏈路的帶寬限制，即認為數據包可以瞬間通過網絡。路由器1到路由器n作為起點和終點，自身的吞吐量不用考慮，網絡上也不存在將1和n直接相連的鏈路。
? n<=500，m<=100000

題解：

第一反應是最小費用最大流，但其實并不是
題目要求的是在最短路的基礎上求最大吞吐量
若我們要走1到n的最短路，那我們只能走dis[v]=dis[u]+edge[u][v]的邊
所以我們第一步就跑遍最短路，保留最短路中的邊，此時邊權我們就可以忽略掉了，因為之后再也用不上
題目中吞吐量的限制與平常不一樣，這里不是對邊而是對點，對點的話沒辦法直接算，我們可以將點一分為二，將n個點拆成n*2個點，然后第i個點向第i+n個點建立一個容量為A[i]的邊
然后對于最短路中的邊e[u][v]，我們從第u+n個點向第v個點建一條容量為inf的邊
從源點s向點1建一條容量為inf的邊
從點2n向匯點t建立一條容量為inf的邊
然后跑最大流即可
本題的特殊之處就在于先用最短路處理一下，剩下的步驟都是最大流常規操作了、

代碼：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的网络流专题（最大流与费用流）例题总结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。