一、網絡與網絡流

給一個有向圖（V,E），在V中指定一點，稱為源點（記為vs），和另一點，稱為匯點（記為vt），其余的點叫做中間點。對于E中每條弧（vi,vj)都對應一個正整數c（vi,vj)>=0(或簡寫為cij),稱為f的容量，則賦權有向圖N=（V,E,c,vs,vt）稱為一個網絡。所謂網絡上的流，是指定義在弧集E上的一個函數f=f{f{vi,vj}},并稱f(vi,vj)為弧(vi,vj)上的流量(下面簡記為fij）。因此弧上有兩個數，第一個表示容量cij,第二個表示流量fij。

二、可行流與最大流

在運輸網絡的實際問題中，我們可以看出，對于流有兩個顯然的要求：一是每個弧上的流量不能超過該弧的容量；二是中間點的流量為0，源點的凈流出量和匯點的凈流入量必相等且為這個方案的總輸送量。因此有：

(1)容量約束：0≤fij≤cij，(vi,vj)∈E，
(2)守恒條件
對于中間點：流入量=流出量；對于源點與匯點：源點的凈流出量vs(f)=匯點的凈流入量（-vt(f)）的流f，稱為網絡N上的可行流，并將源點s的凈流量稱為流f的流值v(f)。
網絡N中流值最大的流f*稱為N的最大流。?

三、可增廣路徑

所為可增廣路徑，是指這條路徑上的流可以修改，通過修改，使得整個網絡的流值增大。

設f是一個可行流，P是從源點s到匯點t的一條路徑，若P滿足下列條件：

(1)在p上的所有前向弧(vi→vj)都是非飽和弧，即0≤fij<cij
(2)在p上的所有后向弧(vi←vj)都是非零弧，即0<fij≤cij
則稱p為(關于可行流f的)一條可增廣路徑。

四、最大流定理

當且僅當不存在關于f*的增廣路徑，可行流f*為最大流。

?

五、最大流算法

算法思想:最大流問題實際上是求一可行流{fij}，使得v(f達到最大。若給了一個可行流f，只要判斷N中有無關于f的增廣路徑，如果有增廣路徑，改進f， 得到一個流量增大的新的可行流；如果沒有增廣路徑，則得到最大流。

1.尋求最大流的標號法(Ford,Fulkerson)
?從一個可行流(一般取零流)開始，不斷進行以下的標號過程與調整過程，直到找不到關于f的可增廣路徑為止。
??? (1)標號過程
??? 在這個過程中，網絡中的點分為已標號點和未標號點，已標號點又分為已檢查和未檢查兩種。每個標號點的標號信息表示兩個部分：第一標號表明它的標號從哪一點得到的，以便從vt開始反向追蹤找出也增廣路徑；第二標號是為了表示該頂點是否已檢查過。
??? 標號開始時，給vs標上(s，0)，這時vs是標號但末檢查的點，其余都是未標號的點，記為(0，0)。
??? 取一個標號而未檢查的點vi，對于一切未標號的點vj：
??? A．對于弧(vi，vj)，若fij<cij，則給vj標號(vi，0)，這時，vj點成為標號而未檢查的點。
??? B．對于弧(vi，vj)，若fji>0，則給vj標號(-vi，0)，這時，vj點成為標號而未檢查的點。
??? 于是vi成為標號且已檢查的點，將它的第二個標號記為1。重復上述步驟，一旦vt被標上號，表明得到一條從vi到vt的增廣路徑p，轉入調整過程。
??? 若所有標號都已檢查過去，而標號過程進行不下去時，則算法結束，這時的可行流就是最大流。

? (2)調整過程
??? 從vt點開始，通過每個點的第一個標號，反向追蹤，可找出增廣路徑P。例如設vt的第一標號為vk(或-vk)，則弧(vk，vt)(或 相應地(vt，vk))是p上弧。接下來檢查vk的第一標號，若為vi(或-vi)，則找到(vi，vk)(或相應地(vk，vi))。再檢查vi的第一 標號，依此類推，直到vs為止。這時整個增廣路徑就找到了。在上述找增廣路徑的同時計算Q：
????????? Q=min{min(cij-fij)，minf*ij}
??? 對流f進行如下的修改：
??? f'ij =? fij+Q?? (vi，vj)∈ P的前向弧的集合
??? f'ij =? fij-Q?? (vi，vj)∈ P的后向弧的集合
??? f'ij =? f*ij???? (vi，vj)不屬于P的集合
接著，清除所有標號，對新的可行流f’，重新進入標號過程。

?

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下面說一下EK算法

1、首先，什么是最大流？

最大流就是從源點到經過的所有路徑的最終到達匯點的所有流量和

2、EK算法的核心是反復尋找源點S到匯點t之間的增廣路徑，若有，找出增廣路徑上每一段[容量-流量]的最小值delta,若無，則結束。在尋找增廣路徑時，可以用BFS來找，并且更新殘留網絡的值（涉及到反向邊）。

而找到delta后，則使最大流加上delta,更新為當前的最大流值。

這么一個圖，求源點1，到匯點4的最大流

*** capacity存邊的流量 ，進行ek求解

對于BFS找增廣路：

1、flow[1]=INF,pre[1]=0;

源點1進隊列，開始找增廣路：

capacity[1][2]=40>0,則flow[2]=min(flow[1],40)=40;

capacity[1][4]=20>0,則flow[4]=min(flow[1],20)=20;

capacity[2][3]=30,則flow[3]=min(flow[2]=40,30)=30;

capacity[2][4]=20,但是pre[4]=1(已經在capacity[1][4]這遍歷過4號點了)

capacity[3][4]......

當index=4（匯點),結束增廣路的尋找

傳遞回increasement(該路徑的流)，利用pre前驅尋找路徑

圖也被改成

接下來同理

這就是最終完成的圖，最終sumflow=20+20+10=50（這個就是最大流的值）

PS，為什么要有反向邊呢？?

我們第一次找到了1-2-3-4這條增廣路，這條路上的delta值顯然是1。于是我們修改后得到了下面這個流。（圖中的數字是容量）

這時候(1,2)和(3,4)邊上的流量都等于容量了，我們再也找不到其他的增廣路了，當前的流量是1。

但這個答案明顯不是最大流，因為我們可以同時走1-2-4和1-3-4，這樣可以得到流量為2的流。

那么我們剛剛的算法問題在哪里呢？問題就在于我們沒有給程序一個”后悔”的機會，應該有一個不走(2-3-4)而改走(2-4)的機制。那么如何解決這個問題呢？回溯搜索嗎？那么我們的效率就上升到指數級了。

而這個算法神奇的利用了一個叫做反向邊的概念來解決這個問題。即每條邊(I,j)都有一條反向邊(j,i)，反向邊也同樣有它的容量。

我們直接來看它是如何解決的：

在第一次找到增廣路之后，在把路上每一段的容量減少delta的同時，也把每一段上的反方向的容量增加delta。即在Dec(c[x,y],delta)的同時，inc(c[y,x],delta)

我們來看剛才的例子，在找到1-2-3-4這條增廣路之后，把容量修改成如下

?

這時再找增廣路的時候，就會找到1-3-2-4這條可增廣量，即delta值為1的可增廣路。將這條路增廣之后，得到了最大流2。

?

那么，這么做為什么會是對的呢？我來通俗的解釋一下吧。

事實上，當我們第二次的增廣路走3-2這條反向邊的時候，就相當于把2-3這條正向邊已經是用了的流量給”退”了回去，不走2-3這條路，而改走從2點出發的其他的路也就是2-4。（有人問如果這里沒有2-4怎么辦，這時假如沒有2-4這條路的話，最終這條增廣路也不會存在，因為他根本不能走到匯點）同時本來在3-4上的流量由1-3-4這條路來”接管”。而最終2-3這條路正向流量1，反向流量1，等于沒有流量。

這就是這個算法的精華部分，利用反向邊，使程序有了一個后悔和改正的機會。而這個算法和我剛才給出的代碼相比只多了一句話而已。

至此，最大流Edmond-Karp算法介紹完畢。

?

?六、EK算法模板

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define arraysize 201 int maxData=0x7fffffff; int capacity[arraysize][arraysize];//記錄殘留網絡的容量 int flow[arraysize];//標記從源點到當前節點實際還剩多少流量可用 int pre[arraysize];//標記在這條路徑上當前節點的前驅，同時標記該節點是否在隊列中 int n,m; queue<int>myqueue; int BFS(int src,int des) {int i,j;while(!myqueue.empty())//隊列清空myqueue.pop();for(i=1;i<m+1;++i){pre[i]=-1;}pre[src]=0;flow[src]=maxData;myqueue.push(src);while(!myqueue.empty()){int index=myqueue.front();myqueue.pop();if(index==des)//找到了增廣路徑break;for(i=1;i<m+1;++i){if(i!=src&&capacity[index][i]>0&&pre[i]==-1){pre[i]=index;//記錄前驅flow[i]=min(capacity[index][i],flow[index]);//關鍵：迭代的找增量myqueue.push(i);}}}if(pre[des]==-1)//殘留途中不再存在增廣路徑return -1;elsereturn flow[des]; } int maxFlow(int src,int des) {int increasement= 0;int sumflow = 0;while((increasement=BFS(src,des))!=-1){int k = des; //利用前驅尋找路徑while(k!=src){int last = pre[k];capacity[last][k] -= increasement; //改變正向邊的容量capacity[k][last] += increasement; //改變反向邊的容量k = last;}sumflow += increasement;}return sumflow; } int main() {int i,j;int start,end,ci;while(cin>>n>>m)//邊的個數和終點{memset(capacity,0,sizeof(capacity));memset(flow,0,sizeof(flow));for(i=0;i<n;++i){cin>>start>>end>>ci;if(start == end) //考慮起點終點相同的情況continue;capacity[start][end] +=ci; //此處注意可能出現多條同一起點終點的情況}cout<<maxFlow(1,m)<<endl;}return 0; }

最大流 EK算法

總結

以上是生活随笔為你收集整理的EK算法（网络流，最大流）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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