我們從2000年前古巴比倫猶太法典《塔木德》(Talmud) 中描述的一個案例為出發(fā)點, 介紹一種資源分配的策略. 從合作博弈論的角度來理解, 這種分配策略是Nucleolus分配. 值得一提的是, 我們已經(jīng)在供應(yīng)鏈相關(guān)的多個業(yè)務(wù)場景中使用該資源分配方案.
注意: 本文絕大部分內(nèi)容參考了Robert J. Aumann和Michael Maschler ¹.

1. 爭大衣問題

《塔木德》²源于公元前2世紀至公元5世紀間，記錄了猶太教的律法, 條例和傳統(tǒng). 其內(nèi)容分三部分, 分別是密西拿(Mishnah) – 口傳律法, 革馬拉(Gemara) – 口傳律法注釋, 米德拉什(Midrash) – 圣經(jīng)注釋.

密西拿中描述了如下的案例:

爭大衣(The Contested Garment)
兩個人共同擁有一件大衣. 第一個人說大衣完全屬于他; 第二個人說大衣的一半屬于自己.
那么應(yīng)該給第一個人3/4, 另一個人1/4.

如果按比例分配, 應(yīng)該給第一個人2/3, 另一個人1/3. 那么爭大衣問題背后的分配邏輯是什么? 為方面描述, 我們引入如下的記號:

• $E$ – 總資產(chǎn)
• $d_i$ – 第$i$個人聲明的資產(chǎn), $i=1,2$
• $x_i$ – 給第$i$個人實際分配的資產(chǎn), $i=1,2$

它的分配思想是: 沒有爭議的給對方, 有爭議的部分平均分.

記${\theta }_{+}=\max (\theta ,0)$. 注意到$(E?d_1{)}_{+}$是第一個人對第二個人無爭議的部分; $(E?d_2{)}_{+}$是第二個人對第一個人無爭議的部分. 因此, 雙方有爭議的部分為
$$E?(E?d_1{)}_{+}?(E?d_2{)}_{+}.$$

我們有

CG原則(Contested Garment Principle)
$$\begin{array}{rl}& x_1=\frac{E?(E?d_1{)}_{+}?(E?d_2{)}_{+}}{2}+(E?d_2{)}_{+}\\ & x_2=\frac{E?(E?d_1{)}_{+}?(E?d_2{)}_{+}}{2}+(E?d_1{)}_{+}\end{array}$$

2. 破產(chǎn)問題

如何把爭大衣的分配策略擴展到任意多個人的情形?

破產(chǎn)問題(The Bankruptcy Problem)
我們用二元組$?E,d?$來描述一個破產(chǎn)問題的實例. $E$代表某個破產(chǎn)銀行的總資產(chǎn), $d=(d_1,d_2,\dots ,d_n)$代表銀行對$n$個機構(gòu)(或個人)的欠款. 設(shè)$d_1\le d_2\le \dots \le d_n$且$0\le E\le {\sum }_{i=1}^n{d}_i$. 應(yīng)該如何把資產(chǎn)$E$"公平地"分配給$n$個機構(gòu)?

我們注意到, 在該問題中:

總資產(chǎn)一定不能滿足所有人的需求. 換句話說, 總資產(chǎn)可能不夠分.

分配時應(yīng)該盡量保證"公平性", 不同應(yīng)用場景下公平性的定義應(yīng)該是不同的.

按比例分配背后的邏輯是權(quán)重越大的人分到的資產(chǎn)越多, 反之則越少. 在某些應(yīng)用場景下, 按比例分配也許是公平的, 但它絕對不是唯一的分配方式.

CG原則從另外的角度給出了一種公平性分配, 它的公平性在損失和收益兩個方面同時得到了體現(xiàn)(參考下文).

例 考慮3個人$d_1=100$, $d_2=200$, $d_3=300$. $E$分別為100, 200, 300時, "密西拿“”規(guī)定的分配如下表所示:

E$x_1$ ($d_1=100$)$x_2$ ($d_2=200$)$x_3$ ($d_3=300$)

100	33 + 1/3	33 + 1/3	33 + 1/3
200	50	75	75
300	50	100	150

通過觀察, 我們發(fā)現(xiàn):

$E=100$時是平均分配.

$E=200$時看起來挺神秘的 …

$E=300$時是按比例分配.

問題 如何把CG原則擴展到$n$人情形(如何解釋上面的分配策略)?

3. 一致性分配(Consistency Allocation)

給定分配$x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$. 對任意兩個機構(gòu)$i$, $j$ ($i=j$), 如果按照CG原則對$i$和$j$分配總資產(chǎn)$(x_i+x_j)$, 它們得到的資產(chǎn)仍然為$x_i$和$x_j$, 那么我們稱$x$是一致的(Consistent).

容易驗證上面例子的分配符合一致性.

下面我們介紹一致性分配的性質(zhì)(證明忽略).

破產(chǎn)問題的一致性分配是唯一的.

破產(chǎn)問題的一致性分配是自洽的(self-consistent). 即, 考慮破產(chǎn)問題的任意子問題, 它的機構(gòu)集合為$S?\{1,2,\dots ,n\}$, 總資產(chǎn)為${\sum }_{i\in S}{x}_i$. 那么重新按照一致性分配, $S$中的機構(gòu)分配到的資產(chǎn)仍然為$x_i$, 其中$i\in S$.

破產(chǎn)問題存在唯一的**自對偶的(self-dual)**一致性分配. 為描述簡單起見, 我們忽略自對偶的定義(詳細定義請參考¹), 僅解釋其意義. 令$D={\sum }_{i=1}^n{d}_i$為破產(chǎn)銀行對所有機構(gòu)的總欠款. 所以我們可以把這個問題從兩個方面理解:
i. 如何把總資產(chǎn)$E$公平地分配給$n$個機構(gòu)?
ii. 如何把總損失$D?E$公平地分配給$n$個機構(gòu)?
如果分配策略是自對偶, 那么按照上述兩種情況分配最終得到的資產(chǎn)是相同的.

對任意的集合$S?N=\{1,2,\dots ,n\}$, 定義效用函數(shù)
$$v(S)={?E?\sum _{i\in N\backslash S}{d}_i?}_{+}.$$
該問題可以被描述成合作博弈(Cooperative Game). 那么自對偶的一致性分配是Nucleolus³ (或參考《博弈論在零售業(yè)務(wù)中的應(yīng)用》).

如何計算自對偶的一致性分配?

4. 計算

我們先介紹一個簡單的分配策略.

CEA(Constraint Equal Award): 考慮破產(chǎn)問題$?E,d?$. 設(shè)$d_1\le d_2\le \dots \le d_n$. 首先給第一個機構(gòu)分配, 原則是在不超過$d_1$的前提下對當前的總資產(chǎn)平均分, 即$x_1=\min (E/n,d_1)$. 之后機構(gòu)1離開, 剩下總資產(chǎn)$E?x_1$, 總機構(gòu)數(shù)為$n?1$. 依此類推, 我們可以完成對所有機構(gòu)的分配, 最終得到$x_1,x_2,\dots ,x_n$作為$n$個機構(gòu)分配到的資產(chǎn). 為方便描述, 我們用$\text{CEA}(E,d)=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$表示分配結(jié)果.

令$D={\sum }_{i=1}^n{d}_i$. 用$x$表示計算結(jié)果.下面我們描述其計算方式:

如果$E\le D/2$, 那么$x=\text{CEA}(E,d/2)$.

如果$E>D/2$, 先計算$y=\text{CEA}(D?E,d/2)$(先分配損失), 然后令$x=d?y$.

容易驗證上一節(jié)例子中的分配結(jié)果就是按照本節(jié)中的計算方式得到的. 算法實現(xiàn)可以參考 Bankrupt on Github.

5. 總結(jié)

破產(chǎn)問題本質(zhì)上是一個資源分配問題, 而CG分配原則考慮了某種意義上的公平性. 可以證明, 按照上一節(jié)描述的方式計算的結(jié)果不僅是唯一的一致性分配, 而且是自對偶的. 即, 它分配資產(chǎn)和分配損失的策略是相同的. 此外, 與按比例分配相比, CG分配更多地照顧到了低權(quán)重的個體. 在實際中, 我們應(yīng)該根據(jù)具體的業(yè)務(wù)場景選擇合適的分配策略.

寫在最后: 古人的智慧不可小覷~

參考文獻

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R.J. Aumann and M. Maschler. Game Theoretic Analysis of a Bankruptcy Problem form the Talmud. Journal of Economic Theory. 36, 195-213, 1985. ?? ??

Wikipedia/塔木德. ??

Wikipedia/Cooperative game theory/The nucleolus ??

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的破产问题 (The Bankruptcy Problem)的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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