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编程问答

【数据结构】图的存储结构—邻接矩阵

發(fā)布時間：2023/12/20 编程问答 41 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了【数据结构】图的存储结构—邻接矩阵小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.

?前言

由于圖的結(jié)構(gòu)比較復雜，任意兩個頂點之間都可能存在關(guān)系（邊），無法通過存儲位置表示這種任意的邏輯關(guān)系，所以，圖無法采用順序存儲結(jié)構(gòu)。這一點同其他數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（如線性表、樹）不同。

因為圖中的頂點具有相對概念，沒有固定的位置，且頂點和頂點之間通過添加和刪除邊，維持著不同的關(guān)系。考慮圖的定義，圖是由頂點和邊組成的。所以，分別考慮如何存儲頂點和邊。圖常用的存儲結(jié)構(gòu)有鄰接矩陣、鄰接表、十字鏈表和鄰接多重表。那么對于一般情況下該怎么存儲圖的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)呢？這里我們主要分兩個章節(jié)詳細介紹兩種常用的圖存儲結(jié)構(gòu) — 鄰接矩陣、鄰接表

圖的類型&存儲結(jié)構(gòu)的介紹

圖的類型主要有4種：無向圖、有向圖、無向網(wǎng)和有向網(wǎng)。
可以用枚舉表示為：

public enum GraphKind{UDG, //無向圖(UnDirected Graph)DG, //有向圖(Directed Graph)UDN, //無向網(wǎng)(UnDirected Network)DN, //有向網(wǎng)(Directed Network) }

圖有多種存儲結(jié)構(gòu)，每種存儲結(jié)構(gòu)都能表示上面的4種的類型。圖的存儲結(jié)構(gòu)除了存儲圖中各個頂點的信息外，還需要存儲與頂點相關(guān)的邊的信息。

常見圖的存儲結(jié)構(gòu)：

鄰接矩陣
鄰接表
鄰接多重表
十字鏈表

鄰接矩陣

— 無向圖、有向圖的鄰接矩陣定義

邏輯結(jié)構(gòu)分為兩部分：V和E集合，其中，V是頂點，E是邊。因此，用一個一維數(shù)組存放圖中所有頂點數(shù)據(jù)；用一個二維數(shù)組存放頂點間關(guān)系（邊或弧）的數(shù)據(jù)，這個二維數(shù)組稱為鄰接矩陣。鄰接矩陣又分為有向圖鄰接矩陣和無向圖鄰接矩陣。

圖的鄰接矩陣：用來表示頂點之間相鄰關(guān)系的矩陣。

圖G=(V, E)具有n(n >= 1)個頂點,頂點的順序依次為{v0,v1,...,vn-1}
設圖A=（V，E）有n個頂點，則關(guān)于頂點數(shù)據(jù)的一維數(shù)組為：

則圖G的鄰接矩陣A是一個n階方陣，定義如下：

特點1：無向圖 的鄰接矩陣一定是對稱 的，而 有向圖 的鄰接矩陣不一定對稱。

因此，用?對無向圖而言，鄰接矩陣一定是對稱的，而且主對角線一定為零，副對角線不一定為0，有向圖則不一定如此。

鄰接矩陣來表示一個具有n個頂點的有向圖時需要n^2個單元來存儲鄰接矩陣；對有n個頂點的無向圖則只需存入上（下）三角陣中剔除了左上右下對角線上的0元素后剩余的元素壓縮存儲，故只需1+2+...+(n-1)=n(n-1)/2個單元。

特點2：無向圖鄰接矩陣的 第i行（或第i列）非零元素的個數(shù) 正好是第i個頂點的度。

度（Degree）：一個頂點的度是指與該頂點相關(guān)聯(lián)的邊的條數(shù)，頂點v的度記作d(v)”

無向圖，沒有方向，所有兩個頂點連線必定是相互的。因此行或列的非零元素個數(shù)必定一樣。則找頂點的度時，看行或列都可以。

特點3：

有向圖頂點的度【行表示出度，列表示入度】
頂點v的入邊數(shù)目是該頂點的入度，記為ID(v);
頂點v的出邊數(shù)目是該頂點的出度，記為OD(v);
頂點v的度等于它的入度和出度之和，即D(v)=ID(v)+OD(v)

有向圖鄰接矩陣中第i行非零元素的個數(shù)為第i個頂點的出度，第i列非零元素的個數(shù)為第i個頂點的入度，第i個頂點的度為第i行與第i列非零元素個數(shù)之和。

特點4：用鄰接矩陣表示圖，很容易看出確定圖中任意兩個頂點是否有邊相連。

無向圖的鄰接矩陣是對稱的，一般可以采用壓縮存儲。

— 網(wǎng)的鄰接矩陣的定義

網(wǎng)(network)：帶權(quán)的圖

?圖與網(wǎng)的區(qū)別：

????????????????1. 權(quán)值：網(wǎng)里面對應的邊是有權(quán)值的，用以表示邊的某種屬性比如距離等。而圖的邊是沒有權(quán)值的

??????????????? 2. 表示零元素的形式不同：不管是無向圖還是有向圖表示零元素時，都用0代替表示；而在網(wǎng)中，表示零元素則是用無窮大∞ 表示。

無向網(wǎng)的鄰接矩陣：

?有向網(wǎng)的鄰接矩陣：

鄰接矩陣：類的描述

public class MGraph implements IGraph {public final static int INFINITY = Integer.MAX_VALUE;private GraphKind kind; //圖的種類標志private int vexNum, arcNum; //圖的當前頂點數(shù)和邊數(shù)private Object[] vexs; //頂點集private int[][] arcs; //鄰接矩陣（邊集）public void createGraph(){} //創(chuàng)建圖private void createUDG() {} //創(chuàng)建無向圖private void createDG() {} //創(chuàng)建有向圖private void createUDN() {} //創(chuàng)建無向網(wǎng)private void createDN() {} //創(chuàng)建有向網(wǎng)public int getVexNum() { //返回定點數(shù)return vexNum;}public int getArcNum() { //返回邊數(shù)return arcNum;}// 給定頂點的值vex，返回其在圖中的位置，如果圖中不包含此頂點，則返回-1public int locateVex(Object vex) {}// 返回v表示結(jié)點的值，0 <= v <= vexNumpublic Object getVex(int v) throws Exception {}// 返回v的第一個鄰接點，若v沒有鄰接點則返回-1。其中 0 <= v <= vexNumpublic int firstAdjVex(int v) throws Exception {}// 返回v相對于w的下一個鄰接點，若w是v的最后一個鄰接點，則返回-1。其中 0 <= v,w <= vexNumpublic int nextAdjVex(int v, int w) throws Exception {} }

鄰接矩陣：基本操作

1）創(chuàng)建圖

// 創(chuàng)建圖public void createGraph() {// 獲得用戶輸入的圖的類型Scanner sc = new Scanner(System.in);System.out.println("請輸入圖的類型：");GraphKind kind = GraphKind.valueOf(sc.next()); //通過字符串獲得對應枚舉類型switch (kind) { //根據(jù)不同的枚舉值，選擇不同的圖或網(wǎng)的創(chuàng)建case UDG:createUDG(); // 構(gòu)建無向圖return;case DG:createDG(); // 構(gòu)建有向圖return;case UDN:createUDN(); // 構(gòu)建無向網(wǎng)return;case DN:createDN(); // 構(gòu)建有向網(wǎng)return;}}

2）創(chuàng)建無向網(wǎng)

輸入圖的頂點、邊及權(quán)值構(gòu)造無向圖，步驟：
輸入頂點數(shù)或邊數(shù)
根據(jù)圖的頂點數(shù)構(gòu)建鄰接矩陣
根據(jù)圖的邊數(shù)，確定輸入邊的數(shù)目
根據(jù)輸入每條邊的頂點再鄰接矩陣相應位置保存每條邊的權(quán)值。
代碼

private void createUDN() {//初始化變量Scanner sc = new Scanner(System.in);System.out.println("請分別輸入圖的頂點數(shù)、圖的邊數(shù):");vexNum = sc.nextInt();//頂點數(shù)narcNum = sc.nextInt();//邊數(shù)e//輸入圖中各頂點vexs = new Object[vexNum]; //頂點集對應的數(shù)組System.out.println("請分別輸入圖的各個頂點:");for (int v = 0; v < vexNum; v++) //通過循環(huán)依次輸入各個頂點vexs[v] = sc.next();//定義鄰接矩陣arcs = new int[vexNum][vexNum];// 初始化鄰接矩陣for (int v = 0; v < vexNum; v++)for (int u = 0; u < vexNum; u++)arcs[v][u] = INFINITY; //初始為無窮大//輸入邊信息System.out.println("請輸入各個邊的兩個頂點及其權(quán)值:");for (int k = 0; k < arcNum; k++) {int v = locateVex(sc.next()); //頂點int u = locateVex(sc.next()); //頂點arcs[v][u] = arcs[u][v] = sc.nextInt(); //權(quán)值, 對稱} }

?3）創(chuàng)建有向網(wǎng)

// 構(gòu)建有向網(wǎng)private void createDN() {Scanner sc = new Scanner(System.in);System.out.println("請分別輸入圖的頂點數(shù)、圖的邊數(shù)：");vexNum = sc.nextInt();arcNum = sc.nextInt();vexs = new Object[vexNum];System.out.println("請分別輸入圖的各個頂點：");for (int v = 0; v < vexNum; v++)//構(gòu)造頂點向量vexs[v] = sc.next();arcs = new int[vexNum][vexNum];for (int v = 0; v < vexNum; v++)// 初始化鄰接矩陣for (int u = 0; u < vexNum; u++)arcs[v][u] = INFINITY;System.out.println("請輸入各個邊的兩個頂點及其權(quán)值：");for (int k = 0; k < arcNum; k++) {int v = locateVex(sc.next());int u = locateVex(sc.next());arcs[v][u] = sc.nextInt(); //僅設置頂點v-->頂點u，不是對稱的，只需要設置一個}}

4）頂點定位

根據(jù)頂點信息vex，取得其在頂點數(shù)組中的位置，若圖中無此頂點，則返回-1。
代碼：

// 根據(jù)頂點信息vex，取得其在頂點數(shù)組中的位置，若圖中無此頂點，則返回-1。public int locateVex(Object vex) {// 遍歷頂點數(shù)組for (int v = 0; v < vexNum; v++)if (vexs[v].equals(vex))return v;return -1;}

時間復雜度：O(n)

5）查詢第一個鄰接點

步驟：

判斷v的合法性
頂點v的索引號，對應鄰接矩陣的第v行，遍歷第v行，查找是否有非0、非無窮大值的元素
代碼：

// 已知圖中的一個頂點v，返回v的第一個鄰接點，如果v沒有連接點，則返回-1，其中0 <= v < vexNum public int firstAdjVex(int v) throws Exception {if (v < 0 || v >= vexNum)throw new Exception("第" + v + "個頂點不存在!");for (int j = 0; j < vexNum; j++)if (arcs[v][j] != 0 && arcs[v][j] < INFINITY)return j;return -1; }

時間復雜度：O(n)

6）查找下一個鄰接點

步驟：

判斷v的合法性
從鄰接矩陣第v行第w+1列開始遍歷查找是否有非0、非無窮大值的元素
代碼：

public int nextAdjVex(int v, int w) throws Exception {if (v < 0 || v >= vexNum)throw new Exception("第" + v + "個頂點不存在!");for (int j = w + 1; j < vexNum; j++)if (arcs[v][j] != 0 && arcs[v][j] < INFINITY)return j;return -1; }

時間復雜度：O(n)

寫到最后

四季輪換，已經(jīng)數(shù)不清凋零了多少，愿我們往后能向心而行，一路招搖勝！

🐋 你的支持認可是我創(chuàng)作的動力

💟 創(chuàng)作不易，不妨點贊💚評論??收藏💙一下

😘 感謝大佬們的支持，歡迎各位前來不吝賜教

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路遙葉子的博客_CSDN博客-數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),安利Java零基礎(chǔ),spring領(lǐng)域博主路遙葉子擅長數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),安利Java零基礎(chǔ),spring,等方面的知識,路遙葉子關(guān)注spring,java,maven,elementui,vue.js,mysql,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)領(lǐng)域.https://blog.csdn.net/zsy3757486?spm=1010.2135.3001.5343

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【数据结构】图的存储结构—邻接矩阵的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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