文章目錄

• • 非線性系統理論
  • • 非線性系統的一般概念
    • 相平面基礎
    • 非線性系統的相平面分析
    • 描述函數法基礎
    • 非線性系統的描述函數法分析

非線性系統理論

非線性系統的一般概念

• 典型非線性

  • 死區

  • 飽和

  • 間隙

  • 摩擦

  • 繼電特性

• 繼電特性使得系統產生振蕩，死區使得系統存在穩態誤差，飽和使得系統的開環增益在飽和區下降，間隙降低系統的跟蹤精度，摩擦造成系統低速運動的不平滑性。

• 非線性系統的運動特點：穩定性；運動形式；自激振蕩；頻率響應

  • 穩定性

    非線性系統穩定性不僅與系統結構參數有關，而且與輸入信號和初始條件有關(這是線性系統穩定性不要考慮的)。

  • 運動形式

    線性系統在任何初始偏移下的時間響應曲線都具有相同的形式，非線性系統則不然。當初始偏移變化以后，其時間響應曲線可以發生很大變化，可能由原來的振蕩收斂形式變為非周期形式，甚至出現發散的情況。

  • 自激振蕩

    對于非線性系統，由于振蕩的振幅將受到非線性特性的限制，即使沒有受到外界作用，也可能產生一定頻率和振幅的穩態振蕩。有時要避免，有時要利用。

  • 頻率響應

    又稱正弦穩態響應。對于非線性系統，輸入信號是正弦信號時，其穩態輸出通常是含有高次諧波分量的非正弦周期函數。

• 非線性系統所研究的問題及方法

  主要研究自激振蕩問題和利用非線性特性改善系統性能。

  分析方法有：

  相平面法——推廣時域分析方法的一種圖解分析法；

  描述函數法——本質一次諧波近似法；

  逆系統法——運用內環非線性反饋控制，構成偽線性系統，設計外環控制網絡。

相平面基礎

• 相平面、相點、相軌跡
• 相軌跡的繪制方法
• 相軌跡的特點
• 線性系統的相軌跡
• 由相軌跡求某個過程所用時間

非線性系統的相平面分析

• 非線性系統的相軌跡

• 極限環

  若非線性系統的相軌跡在相平面圖上表現為一個孤立的封閉曲線，所有附近的相軌跡都漸進地趨向或離開整個封閉的曲線，這個封閉曲線被稱為極限環。

• 相軌跡的跳躍

• 開關線變化對運動性能的影響

• 有外作用時相軌跡的研究

描述函數法基礎

• 諧波線性化

• 描述函數的定義

  描述函數$N$定義為==非線性輸出的基波分量與輸入正弦量的復數比==

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• 典型非線性特性的描述函數

• 計算在$x=Xsin(\omega t)$作用下的輸出波形$y(t)$
• 計算$y(t)$的Fourier級數，找到$A_1$和$B_1$ 基波分量$y_1(t)=A_{1}cos(\omega t)+B_{1}sin(\omega t)$ 寫成復數形式$Y_{1}cos(\omega t+{?}_1)$
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• 描述函數法的物理意義

  線性環節的頻率特性函數與輸入信號振幅無關，

  非線性環節的描述函數是輸入信號幅值的函數$N(A)$。

非線性系統的描述函數法分析

• 可以證明，描述函數法是非線性特性在均方差意義下的最優逼近。

• 描述函數法的應用前提 (注意!!!)——或者說描述函數法合理性的簡單論證

  設非線性系統經過變換和歸化，可表示為非線性部分$N$和線性部分G相串聯的典型反饋結構。

  描述函數法基于這樣的假設，即當系統處于自激振蕩時，非線性部分和線性部分的輸入、輸出均為同頻率的正弦信號。在這種條件下，非線性部分的特性可用描述函數表示，線性部分的特性可用頻率特性表示，從而建立起非線性系統自振時的理論模型。

  自振是由非線性系統內部自發的持續振蕩，和外作用無關。假設自振時非線性部分的輸入端為正弦信號$x(t)=Xsin(\omega t)$ ，其輸出除基波分量外，還有高次諧波分量。一般，高次諧波的振幅較基波振幅小，而在通過線性部分之后，由于線性部分的低通濾波效應，將使高次諧波分量進一步衰減，致使線性部分的輸出可以認為只是基波分量的響應。

  綜上所述，應用描述函數法分析非線性系統的前提是：

• 非線性特性具有奇對稱性；(保證輸出不含直流分量)
• 非線性系統可以歸化為圖9-5的典型結構；
• 非線性部分輸出$y(t)$中的基波分量最強； (這樣的話近似就顯得合理)
• 線性部分$G(j\omega )$的低通濾波效應較好。

• 周期運動解與自激振蕩

• 穩定性分析

  定義一個非線性系統是穩定的：本來在平衡位置，在受到擾動后，能夠恢復原來的平衡位置

非線性系統是不穩定的：本來在平衡位置，受到擾動后，其輸出將偏離，不能復原原來的平衡位置

介于穩定與不穩定之間的狀態就是臨界狀態，周期運動解就是一種臨界狀態。

• 結構規化問題——即化簡為典型結構的方法

總結

以上是生活随笔為你收集整理的控制理论个人学习笔记-非线性系统理论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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