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? ??bitset玄學完美優化復雜度？

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題目描述

參加jsoi冬令營的同學最近發現，由于南航校內修路截斷了原來通向計算中心的路，導致去的路程比原先增加了近一公里。而食堂門前施工雖然也截斷了原來通向計算中心的路，卻沒有使路程增加，因為可以找到同樣長度的路作替代。其實，問題的關鍵在于，路截斷的地方是交通要點。

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同樣的情況也出現在城市間的交通中。某些城市如果出了問題，可能會引起其他很多城市的交通不便。另一些城市則影響不到別的城市的交通。jsoi冬令營的同學發現這是一個有趣的問題，于是決定研究這個問題。

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他們認為這樣的城市是重要的：如果一個城市c被破壞后，存在兩個不同的城市a和b（a, b均不等于c），a到b的最短距離增長了（或不通），則城市c是重要的。

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jsoi冬令營的同學面對著一張教練組交給他們的城市間交通圖，他們希望能找出所有重要的城市。現在就請你來解決這個問題。

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輸入輸出格式

輸入格式：

第一行兩個整數N,M,N為城市數，M為道路數。

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接下來M行，每行三個整數，表示兩個城市之間的無向邊，以及之間的路的長度。

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輸出格式：

一行，按遞增次序輸出若干的數，表示重要的城市。

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如果沒有點的話需要輸出一行

“No important cities.”

去掉引號。

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輸入輸出樣例

輸入樣例#1：

4 4 1 2 1 2 3 1 4 1 2 4 3 2

輸出樣例#1：

2

說明

30%的數據：$N\le 20$；

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60%的數據：$N\le 100$；

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100%的數據：$N\le 200,M\le \frac{N\times (N-1)}{2},0<c\le 10000$。$c$即路的長度。

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保證不出現重邊和自環

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感謝@趙昕鵬 和@qq2477259579 提供程序

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題解：

? ??因為Floyd是一種玄學DP思想，所以它的狀態更新來源有很多，在這個題里需要整理出它的階段性與轉移，看上去十分麻煩。而我們如果把Floyd當作最短路算法中的松弛，就是相當于在把兩段最短路拼接在一起，擁有它們合在一起的性質。

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重要城市

? ??重要城市就是如果這個點被刪掉，那么最短路的長度就會改變。因此這個點一定在最短路上。而當兩點間的最短路有多條時，它們上的點不一定都是重要城市，經過分析我們可以這樣理解：設$(u,v)$間最短路條數為$k$，重要城市為$p$，那么這$k$條最短路一定都經過點$p$。用反例來說明，就是如果不是$k$條最短路都經過點$p$，那么去掉點$p$，還有剩下的最短路可以走，則不合法。

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? ??因此我們可以開一個三維數組$im[i][j][k]$表示k在$latex i,j$的幾條最短路上。而我們用floyd做最短路計數也比較方便，一旦$k$所在的最短路數量與$(i,j)$間的最短路數量相同，那么$k$就一定是一個重要城市，判斷條件為$im[i][j][k]==cnt[i][j]\Rightarrow k$是重要城市。

? ??在上圖中，1→8最短路計數為3，其中除了起點和終點，被經過了3次的點的點有2和7，因此它們是這條路徑上的重要城市。

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? ??因為floyd的時間復雜度為$O(N^3)$，而每次更新還要循環一個$N$，因此總時間復雜度為$O(N^4)$。

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bitset優化

? ??我們在上面提到，狀態合并/更新需要額外枚舉一個$O(N)$，我們可不可以把這個$N$省掉，或者說優化一點呢？

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? ??這時可以考慮bitset，bitset可以使常數優化32倍，這個題的$latex N$規模才200，優化一個32就快把一個$N$變成一個$\log N$了，這個題的數據規模還是可以承受的。不過bitset存的是二進制啊，可是上面提到的數組存的是計數啊。

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? ??我們可以換一個方式想想，如果這兩個點之間已經找到了4條最短路，其中有3條經過點$p$，那此時$p$已經不合法了，就直接把它置為0，以后盡管所有路徑都經過$p$，它也不可能是關鍵城市。

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? ??因此bitset中im[i][j][k]里面存的是，現有狀態下，k是不是i到j最短路上的關鍵城市。當更新（松弛）最短路時，關鍵城市是兩段最短路上的關鍵城市之并集；而更新最短路計數，也就是找到了一條新的最短路時，如上圖，就要取交集，因為一個城市只有在兩點間任何一條最短路上都存在，才能作為這兩點間的關鍵城市。而交集并集在位運算中就是and(&)和or(|)，而點集有200，普通的位運算完成不了，就讓bitset來做。

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? ??在一開始初始化時，把兩個連接在一起的點上的關鍵城市設為兩個端點，在floyd“松弛”最短路時，直接把兩段最短路的關鍵城市“拼起來”，就是新的最短路上的關鍵城市。最后判斷用$O(N^3)$遍歷，看一個點是否為某兩個點之間的關鍵城市，不過要注意不能與這兩個點重合，因為為了方便，一開始我們把起點和終點也定為關鍵城市（符合關鍵城市的一般定義）。

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? ??因此這道題的總復雜度為$O(\frac{N^4}{32}+N^3)$

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Code：

#include<cstdio> #include<cstring> #include<bitset> using std::bitset; bitset<210> im[210][210]; int f[210][210]; int is[210]; int main() {memset(f,0x3f,sizeof(f));int u,v,n,m;scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++)f[i][i]=0;for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&u,&v);scanf("%d",&f[u][v]);f[v][u]=f[u][v];}for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++){im[i][j][i]=1;//初始化設兩端為重要城市im[i][j][j]=1;}for(int k=1;k<=n;k++)for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)if(f[i][k]+f[k][j]==f[i][j])im[i][j]&=(im[i][k]|im[k][j]);//當更新計數時取交集else if(f[i][k]+f[k][j]<f[i][j])//當更新最短路時直接賦值為兩段的并集{f[i][j]=f[i][k]+f[k][j];im[i][j]=im[i][k]|im[k][j];}for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)for(int k=1;k<=n;k++)if(k!=i&&k!=j)//注意特判if(im[i][j][k])is[k]=1;int flag=0;for(int i=1;i<=n;i++)if(is[i]){flag=1;printf("%d ",i);}if(!flag)//注意判斷無解puts("No important cities.");return 0; }

　　

轉載于:https://www.cnblogs.com/wjyyy/p/lg1841.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【floyd】【bitset】洛谷 P1841 [JSOI2007]重要的城市 题解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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