線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) FesianXu 2021.06.17 at Baidu search team

前言

我們經(jīng)常在數(shù)學(xué)和系統(tǒng)論都會談到線性和非線性這兩個概念，那么這倆到底在系統(tǒng)中有什么應(yīng)用呢？筆者嘗試在本博文簡單談?wù)勛约旱目捶ā?strong>如有謬誤請聯(lián)系指出，本文遵守 CC 4.0 BY-SA 版權(quán)協(xié)議，轉(zhuǎn)載請聯(lián)系作者并注明出處，謝謝。

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知乎專欄: 計算機視覺/計算機圖形理論與應(yīng)用

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數(shù)學(xué)中線性的定義很簡單，對于$y_n=f(x_n)$，其中$y_n,f(),x_n$ 分別是第$n$個輸出變量，函數(shù)和輸入變量，那么對于輸入變量$x_n$的線性組合$x={\sum }_{i=0}^N{\alpha }_i{x}_i$有式子(1.1)，我們可以發(fā)現(xiàn)輸入變量的線性疊加會體現(xiàn)到輸出變量的線性疊加上，這個性質(zhì)取決于系統(tǒng)函數(shù)$f()$的性質(zhì)。
$$\sum _{i=0}^N{\alpha }_i{y}_i=\sum _{i=0}^N{\alpha }_{i}f(x_i)=f(\sum _{i=0}^N{\alpha }_i{x}_i)\text{\hspace{1em}(1.1)}$$
如Fig 1.1所示，假如某個系統(tǒng)符合線性性質(zhì)，那么從理論上只需要測量兩個輸入變量$x_1$和$x_2$以及對應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)$y_1=f(x_1),y_2=f(x_2)$，那么該系統(tǒng)在所有有效范圍內(nèi)的輸入下的響應(yīng)皆可以通過插值的方法進行預(yù)測。如可以采樣紅色點$x_1$和$x_2$，中間的藍色點${\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2$就是通過采樣點進行插值的輸入變量，而輸出$f({\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2)={\alpha }_{1}f(x_1)+{\alpha }_{2}f(x_2)$。

Fig 1.1 系統(tǒng)線性性示意。

然而，現(xiàn)實生活中真正符合線性性的系統(tǒng)少之又少，而大部分系統(tǒng)都是非線性的，如Fig 1.2所示。為了通過采樣有限的觀察點（observation）對非線性系統(tǒng)$g()$進行估計，可以用若干個局部線性去組合，去模擬建模非線性系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)。如果通過這種方式，那么最理想的情況下，我們的采樣點應(yīng)該是每個線性曲面的邊界點上，如Fig 1.2虛線框內(nèi)的紅色，藍色，橙色點。遺憾的是，對于一個未知的非線性系統(tǒng)，你無法具體知道局部線性擬合的方式，因此也無法知道理想的采樣方式。通過密集均勻采樣，即便在不知道非線性系統(tǒng)相應(yīng)函數(shù)的時候，也可以對系統(tǒng)進行擬合，然而密集均勻采樣成本極大，在系統(tǒng)輸入是高維數(shù)據(jù)情況下，更是會出現(xiàn)維度災(zāi)難的問題。為了解決這種問題，存在許多更為先進的采樣方法。

Fig 1.2 給定一個未知的非線性系統(tǒng)，可以用局部線性化的方式去對整個非線性系統(tǒng)進行模擬建模。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线性系统与非线性系统的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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