1.背包問(wèn)題

（1）01背包

從n個(gè)重量和價(jià)值分別為wi,vi的物品，從中選出不超過(guò)W的物品，每種物品僅有一件，求所有方案中V的最大值。

最樸素最簡(jiǎn)單也最費(fèi)時(shí)的方法：O(2^n) int rec(int i,int j)//從第i個(gè)開始挑選總重小于j的部分

遞歸 ?遞歸終止條件：i==n ?return 0;

??????遞歸分支：① j<wi res=rec(i+1,j); ?//無(wú)法挑選，看下一個(gè)

????????????????② res=max(rec(i+1,j),rec(i+1,j-w[i])+v[i]))//挑選，不挑選，選其中大的

分析：遞歸搜索深度→n，每層兩次分支（選與不選），有重復(fù)計(jì)算

優(yōu)化：記錄每次遞歸的結(jié)果（記憶化搜索）

?

Int dp[MAX_N][MAX_N];

遞歸 int rec(int i,int j)

????初始條件：memset(dp,-1,sizeof(dp));

終止條件：①dp[i][j]>=0 returndp[i][j]//已計(jì)算過(guò)

②i==n return 0;

????遞歸分支：① j<wi res=rec(i+1,j); ?//無(wú)法挑選，看下一個(gè)

????????????????② res=max(rec(i+1,j),rec(i+1,j-w[i])+v[i]))//挑選，不挑選，選其中大的

分析及remark：復(fù)雜度O(nW)

???數(shù)組初始化：①memset(type *arrary,figure,sizeof(arrary))

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 只能填充（0，+-1，0x3f3f3f3f），其他值不可以?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? memset按照1字節(jié)為單位對(duì)內(nèi)存填充，-1的二進(jìn)制每一位均為1

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ②fill(type* arrary,type *arrary+n,figure) 可賦值任意值

????遞歸 ?

?↓↓↓↓↓↓ ? ? ? ? ? ? ? ?? for(int i=n-1;i>=0;i--)?//

遞推(雙重循環(huán)) ??????????for(int j=0;j<=w;j++)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? { if(j<w[i]) dp[i][j]=dp[i+1][j]; //不選

?????????????????????????else dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i]);}

其他3種遞推寫法：（來(lái)源：《挑戰(zhàn)程序設(shè)計(jì)競(jìng)賽》）

?

（2）完全背包

遞推關(guān)系1：（3重循環(huán)，有重復(fù)計(jì)算）復(fù)雜度O(nW^2)

For(int i=0;i<n;i++)

?For(int j=0;j<=w;j++)

??For(int k=0;k*w[i]<=j;k++)

? Dp[i+1][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j-k*w[i]]+k*v[i])

優(yōu)化：(左上→右下 ?變?yōu)?左→右)

Dp數(shù)組初始化為0

For(int i=0;i<n;i++)

?For(int j=0;j<=w;j++)

{

?If(j<w[i]) dp[i+1][j]=dp[i][j];

?Else ?dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i])

}???????????只有這里與01背包不同，前j個(gè)已更新過(guò)，可直接用

?

進(jìn)一步優(yōu)化：用一個(gè)數(shù)組實(shí)現(xiàn)，只需要記錄當(dāng)前最優(yōu)狀態(tài)

比較01背包與完全背包（循環(huán)方向不同）

?

2.LCS(Longest common subsequence)

?

dp[n][m]即為所求

for(int i=0;i<n;i++)

??for(int j=0;j<m;j++)

{

??if(s[i]==t[i])

???dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1;

else

???dp[i+1][j+1]=max(dp[i+1][j],dp[i][j+1])

}

?

3.LIS(Longest Increasing subsequence)

?

dp[i]:以ai為結(jié)尾的最長(zhǎng)上升子序列長(zhǎng)度

dp[i]=max{1,dp[i]+1|j<i且aj<ai}

O(n^2)

int res;

for(int i=0;i<n;i++)

?{

? dp[i]=1;

for(int j=0;j<i;j++)

? if(a[j]<a[i]) ? ? ? ? ? ?? //每存在aj<ai&&j<i,dp[i]更新一次

?? dp[i]=max{dp[i],dp[j]+1};

}

res=max{dp[i]|0<=i<n}

Remark:

其他方法：

可以用lower_bound();

?? dp[i]:長(zhǎng)度為i+1的上升子列中末尾元素的最小值（不存在的話為inf）

dp[max_n]初始化為inf，按順序逐個(gè)考慮數(shù)列的元素，對(duì)于每個(gè)ai，如果i=0||dp[i-1]<ai,就用dp[i]=min(dp[i],ai)更新，最終找出使得dp[i]<inf的最大的i+1即為結(jié)果。DP直接實(shí)現(xiàn)，可以在O（n^2）的時(shí)間內(nèi)給出結(jié)果，但可以進(jìn)一步優(yōu)化，dp數(shù)組中除inf之外是單調(diào)遞增的，對(duì)于每個(gè)ai最多有一次更新，更新的位置可用二分的方法優(yōu)化，時(shí)間復(fù)雜度可以降低到O（nlogn）

int dp[max_n]

void solve（）

{

? fill(dp,dp+n,inf);

? for(int i=0;i<n;i++)

? ? *lower_bound(dp,dp+n,a[i])=a[i];

? res=lower_bound(dp,dp+n,inf)-dp;

}

// lower_bound()可以從已排好序的a中利用二分搜索找出滿足ai>=k的ai的最小的指針，類似的還有upper_bound,找出的為ai>k的最小指針

//求n個(gè)有序數(shù)組a中k的個(gè)數(shù)，可以用：upper_bound(a,a+n,k)-lower_bound(a,a+n,k);

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/Egoist-/p/7391224.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的经典DP的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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