題意

給出一個長度為n的正整數序列,要求把它劃分成若干個連續的區間,使得每個區間的數字之和都不超過給定的lim.最后的代價等于每個區間的最大值之和.求最小代價.n<=300000

分析

定義f[i]表示前i個數劃分成若干個區間的最小代價,一眼是個1D1D動態規劃,猜測有決策單調性,打表發現并沒有.然后也看不出什么很妙的性質.
感覺分治也許能做,推一推發現確實可以.定義solve(l,r)處理f[l...mid]到f[mid+1...r]的轉移,按照最大值在左邊/右邊分兩種情況處理,都可以線性解決.遞歸時要先solve(l,mid),然后處理[l,mid]到[mid+1,r]的轉移,再solve(mid+1,r).細節見代碼,不是很難寫.

#include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; const int maxn=300006; typedef long long ll; int n;ll lim; ll f[maxn]; ll pre[maxn],a[maxn]; ll Min[maxn],Max[maxn],mark[maxn]; void gmin(ll &a,ll b){if(a>b)a=b; } void solve(int l,int r){if(l==r)return;int mid=(l+r)>>1;solve(l,mid);Min[mid]=f[mid];Max[mid]=a[mid];for(int i=mid-1;i>=l;--i)Min[i]=min(Min[i+1],f[i]),Max[i]=max(Max[i+1],a[i]);Max[mid+1]=a[mid+1];for(int i=mid+2;i<=r;++i)Max[i]=max(Max[i-1],a[i]);int L=l,pt=mid+1;for(int i=mid+1;i<=r;++i){while(pre[i]-pre[L]>lim)L++;while((pt-1)>l&&Max[pt-1]<=Max[i])--pt;if(L>mid)break;gmin(f[i],Max[i]+Min[max(pt-1,L)]);}for(int i=mid+1;i<=r;++i)mark[i]=(1ll<<60);int R=r;pt=mid;for(int i=mid;i>l;--i){while(pre[R]-pre[i-1]>lim)R--;if(R<=mid)break;while(pt+1<=r&&Max[pt+1]<=Max[i])++pt;if(pt>mid){gmin(mark[min(pt,R)],f[i-1]+Max[i]);}}for(int i=r;i>=mid+1;--i){gmin(f[i],mark[i]);gmin(mark[i-1],mark[i]);}solve(mid+1,r); } int main(){scanf("%d%lld",&n,&lim);for(int i=1;i<=n;++i){scanf("%lld",&a[i]);pre[i]=pre[i-1]+a[i];}for(int i=1;i<=n;++i){if(pre[i]<=lim)f[i]=max(a[i],f[i-1]);else f[i]=1ll<<60;}solve(1,n);printf("%lld\n",f[n]);return 0; }

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總結

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