與插值問題不同，在擬合問題中不需要曲線一定經過給定的點。擬合問題的目標是尋求一個函數（曲線)，使得該曲線在某種準則下與所有的數據點最為接近，即曲線擬合的最好(最小化損失函數)。

插值算法中，得到的多項式f(x)要經過所有樣本點。但是如果樣本點太多，那么這個多項式次數過高，會造成龍格現象。盡管我們可以選擇分段的方法避免這種現象，但是更多時候我們更傾向于得到一個確定的曲線，盡管這條曲線不能經過每一個樣本點，但只要保證誤差足夠小即可，這就是擬合的思想。(擬合的結果是得到一個確定的曲線)

先給出一組例子：

clear;clc; x = 0.1:0.1:1; y = [1.978,2.45,3.28,6.16,7.34,7.66,9.58,9.48,9.3,11.2]; plot(x,y,'o') xlabel('x的值'); ylabel('y的值');

設這些樣本點為(xi,yi)，i=1,2，…,n,我們可以設置擬合曲線為y = k*x＋b

利用最小二乘法:

n = size(x,1); k = (n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x)) b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x).*sum(x.*y))/(n*sum(x.*x)-sum(x).*sum(x)) hold on grid on f=@(x) k*x+b; fplot(f,[0,1]); legend('樣本數據','擬合函數','location','SouthEast') hold off

利用一元線性函數，得到擬合出來的圖像 ：

得出結果后，如何知道自己擬合數據圖形的好壞呢？

這里需要用到擬合優度R2，與R2有關的三個系數SSR、SSE、SST:

可以證明：SST = SSE + SSR?

?R2 =SSR/SST(R2越接近1，說明誤差平方和越接近0，誤差越小說明擬合的越好。注意:R2只能用于擬合函數是線性函數時，擬合結果的評價，線性函數和其他函數（例如復雜的指數函數〉比較擬合的好壞，直接看SSE即可，假如R2是個負數，說明擬合效果不好)

（我們這里說的線性函數是指對參數為線性(線性于參數)。）

因此引入一個概念：

1、對變量為線性

對線性的第一種并且也許是更“自然”的一種解釋是，￥的條件期望值是X;的線性函數。從幾何意義上說，這時回歸曲線是一條直線。按照這種解釋，諸如 E(Y|X)=β1+β2*X2的回歸函數，由于變量X以冪或指數⒉出現，就不是線性的。

2、對參數為線性

對線性的第二種解釋是，Y的條件期望E(Y│X)是參數β的一個線性函數;它可以是或不是變量X的線性函數。2對于這種解釋，E(Y |X)=β1＋β2*X2就是一個線性(于參數〉回歸模型。為了看出這-一點，讓我們假設X取值為3。因此，E(Y |X=3)=β1＋9β2，顯然它是β和的線性函數。

計算擬合優度的代碼：

y_hat = k *x+b; % y的擬合值 SSR = sum ( (y _hat-mean (y) ) .^2) %回歸平方和 SSE = sum( (y _hat-y).^2) %誤差平方和 SST = sum ( (y-mean(y) ).^2) %總體平方和 R_2 = SSR / SST

以上是利用最小二乘法的思想對數據進行擬合，matlab中也有自帶的“擬合工具箱”：cftool

進入曲線擬合工具箱界面“Curve Fitting tool”
（1）點擊“Data”按鈕，彈出“Data”窗口；
（2）利用X data和Y data的下拉菜單讀入數據x,y，可修改數據集名“Data set name”，然后點擊“Create data set”按鈕，退出“Data”窗口，返回工具箱界面，這時會自動畫出數據集的曲線圖；
（3）點擊“Fitting”按鈕，彈出“Fitting”窗口；
（4）點擊“New fit”按鈕，可修改擬合項目名稱“Fit name”，通過“Data set”下拉菜單選擇數據集，然后通過下拉菜單“Type of fit”選擇擬合曲線的類型，工具箱提供的擬合類型有：

Custom Equations：用戶自定義的函數類型
Exponential：指數逼近，有2種類型， a*exp(b*x) 、 a*exp(b*x) + c*exp(d*x)
Fourier：傅立葉逼近，有7種類型，基礎型是 a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w)
Gaussian：高斯逼近，有8種類型，基礎型是 a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)
Interpolant：插值逼近，有4種類型，linear、nearest neighbor、cubic spline、shape-preserving
Polynomial：多形式逼近，有9種類型，linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-9th degree ~
Power：冪逼近，有2種類型，a*x^b 、a*x^b + c
Rational：有理數逼近，分子、分母共有的類型是linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-5th degree ~；此外，分子還包括constant型
Smoothing Spline：平滑逼近（翻譯的不大恰當，不好意思）
Sum of Sin Functions：正弦曲線逼近，有8種類型，基礎型是 a1*sin(b1*x + c1)
Weibull：只有一種，a*b*x^(b-1)*exp(-a*x^b)
選擇好所需的擬合曲線類型及其子類型，并進行相關設置：
——如果是非自定義的類型，根據實際需要點擊“Fit options”按鈕，設置擬合算法、修改待估計參數的上下限等參數；
——如果選Custom Equations，點擊“New”按鈕，彈出自定義函數等式窗口，有“Linear Equations線性等式”和“General Equations構造等式”兩種標簽。
在本例中選Custom Equations，點擊“New”按鈕，選擇“General Equations”標簽，輸入函數類型y=a*x*x + b*x，設置參數a、b的上下限，然后點擊OK。

（5）類型設置完成后，點擊“Apply”按鈕，就可以在Results框中得到擬合結果，如下例：

general model: f(x) = a*x*x+b*x Coefficients (with 95% confidence bounds): a = 0.009194 (0.009019, 0.00937) b = 1.78e-011 (fixed at bound) Goodness of fit: SSE: 6.146 R-square: 0.997 Adjusted R-square: 0.997 RMSE: 0.8263

同時，也會在工具箱窗口中顯示擬合曲線。

這樣，就完成一次曲線擬合啦，十分方便快捷。當然，如果你覺得擬合效果不好，還可以在“Fitting”窗口點擊“New fit”按鈕，按照步驟（4）~（5）進行一次新的擬合。
不過，需要注意的是，cftool 工具箱只能進行單個變量的曲線擬合，即待擬合的公式中，變量只能有一個。對于混合型的曲線，例如 y = a*x + b/x ，工具箱的擬合效果并不好。、

如果在正式數模比賽中，利用擬合工具箱擬合出來的曲線，可以通過以下步驟將擬合出曲線的代碼導出：Curve Fitting Tool ->文件 ->Generate Code ->再使用保存快捷鍵Ctrl+S即可

總結

以上是生活随笔為你收集整理的MATLAB拟合算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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