? 超幾何分布：

? 超幾何分布基于這樣一個模型，一個壇子中有N個球，其中m個白球，N-m個黑球，從中隨機取n(不放回)，令X表示取出來的白球數，那么：

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? 我們稱隨機變量X滿足參數為(n,m,M)的超幾何分布。

? 考察其期望的求法：

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? 幾何分布：

? 在獨立重復實驗當中，每一次實驗成功的概率是p，我們關注使得實驗成功一次所需要重復的實驗次數n及其對應的概率，很容易看到，我們有如下的分布列：

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? 驗證其作為分布列的性質：

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? 幾何分布的期望：

? 根據期望的定義，并在這里設q = 1-p

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? 二項分布：

? 基于最基礎的一個離散型隨機變量——伯努利隨機變量X，我們進行n次重復的實驗，其概率分布結果就是所謂的二項分布。

? 具體點來說，就是某個實驗成功的概率是p，現在我們進行n此時楊，設隨機變量X表示n次實驗后成功的次數，那么有如下分布列成立。

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? 關于其期望，推導過程和幾何分布、超幾何分布中期望的推導是同質的，先推出X^k的表達式，然后根據二項式恒等關系，尋求自相似性建立遞推關系，然后得到最終的期望值、方差。

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? 關于二項分布概率值的單調性這里有這樣一個命題：對于滿足參數為（n,p）的二項隨機變量，k取得[0,n]時，P{X=k}先遞增，后遞減，當k = (n+1)p時取得最大值。

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? 基于我們最為熟悉的離散型分布——二項分布，我們能夠衍生出很多別的分布列，對于之前介紹過的幾何分布，我們賦予其的含義是：某個事件成功的概率是p，在n次獨立重復實驗中恰好成功一次的概率是多少。順著這層含義，我們把1次編程r次，便得到了所謂的負二項分布。設負二項分布的隨機變量是X，獨立事件成功的概率是p，則在n次重復獨立實驗中恰好成功r次的概率是：

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? 較之二項分布，我們能夠看到，負二項分布更加強調n次重復實驗中“恰好”成功r次，也就是要求第n次實驗恰好是第r次成功的實驗。

? 我們通過一個問題來進行舉例——巴拿赫火柴問題。

? Q：某個抽煙的數學家總是隨身帶著兩盒火柴，一盒放在左邊口袋一盒放在右邊口袋。每次他需要火柴時，他就從任意的口袋中的火柴盒中取出一個火柴，現在兩盒火柴中都各有N個火柴，那么請問他第一次發現其中一個盒子已經空了的時候，另一盒恰好有k根火柴的概率有多大？

? 分析：首先我們需要討論的一個點是，這個火柴位于哪個口袋的火柴盒是空的，顯然是左是右具有對稱性，我們分析一種情況，進行平方即可。

? 假設左口袋為空，那么這個過程的最后一個步驟顯然是在數學家第2N-k次取火柴的時候，必然取走了右口袋中的一根火柴，這是一位他拿走左口袋的最后一根火柴的時候，我們就可以默認理性的數學家不會再去拿左口袋的火柴盒，因此我們就可以將其與負二項分布聯系起來：在2N-k次重復實驗當中，恰好有N次從左口袋取出的概率。

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? 當然，這道問題的最終結果是將這個概率平方。

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? 負二項分布的期望：

? 直接推導是難以給出E[X]有關負二項分布的參數r、p的聯系的，因此這里我們考慮建立遞推關系。

? 結合之前復合隨機變量的計算法則，我們在這里容易得到如下的等式。

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? 從二項分布結合級數推導而來的泊松分布：

? 對于二項分布我們很熟悉，在生活當中我們也很常用，但是其計算公式不免顯得有點繁瑣，我們現進行如下的簡化推導：

? 設某個二項分布的參數是(n,p)，設置參數λ=np.隨機變量為X.

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? 同時結合幾種極限求法，我們能夠看到，當n趨近于無窮的時候，有：

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? 因此我們得到：

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? 這便是泊松分布列。容易看到，n趨近于無窮的二項分布可以與泊松分布等價，如果基于n趨近于無窮，我們可以驗證泊松分布的作為分布列的一個性質：

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? 泊松分布的數字特征：

? 下面討論泊松分布的期望和方差。

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? Ps：推導過程用到了泰勒級數的展開式，具體的內容筆者在《托馬斯大學微積分》的專欄中會給出。

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轉載于:https://www.cnblogs.com/rhythmic/p/5928160.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《A First Course in Probability》-chape4-离散型随机变量-几种典型分布列的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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