《A First Course in Probability》-chape4-离散型随机变量-几种典型分布列
? 超幾何分布：
? 超幾何分布基于這樣一個模型，一個壇子中有N個球，其中m個白球，N-m個黑球，從中隨機(jī)取n(不放回)，令X表示取出來的白球數(shù)，那么：
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? 我們稱隨機(jī)變量X滿足參數(shù)為(n,m,M)的超幾何分布。
? 考察其期望的求法：
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? 幾何分布：
? 在獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)當(dāng)中，每一次實(shí)驗(yàn)成功的概率是p，我們關(guān)注使得實(shí)驗(yàn)成功一次所需要重復(fù)的實(shí)驗(yàn)次數(shù)n及其對應(yīng)的概率，很容易看到，我們有如下的分布列：
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? 驗(yàn)證其作為分布列的性質(zhì)：
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? 幾何分布的期望：
? 根據(jù)期望的定義，并在這里設(shè)q = 1-p
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? 二項(xiàng)分布：
? 基于最基礎(chǔ)的一個離散型隨機(jī)變量——伯努利隨機(jī)變量X，我們進(jìn)行n次重復(fù)的實(shí)驗(yàn)，其概率分布結(jié)果就是所謂的二項(xiàng)分布。
? 具體點(diǎn)來說，就是某個實(shí)驗(yàn)成功的概率是p，現(xiàn)在我們進(jìn)行n此時楊，設(shè)隨機(jī)變量X表示n次實(shí)驗(yàn)后成功的次數(shù)，那么有如下分布列成立。
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? 關(guān)于其期望，推導(dǎo)過程和幾何分布、超幾何分布中期望的推導(dǎo)是同質(zhì)的，先推出X^k的表達(dá)式，然后根據(jù)二項(xiàng)式恒等關(guān)系，尋求自相似性建立遞推關(guān)系，然后得到最終的期望值、方差。
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? 關(guān)于二項(xiàng)分布概率值的單調(diào)性這里有這樣一個命題：對于滿足參數(shù)為（n,p）的二項(xiàng)隨機(jī)變量，k取得[0,n]時，P{X=k}先遞增，后遞減，當(dāng)k = (n+1)p時取得最大值。
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? 基于我們最為熟悉的離散型分布——二項(xiàng)分布，我們能夠衍生出很多別的分布列，對于之前介紹過的幾何分布，我們賦予其的含義是：某個事件成功的概率是p，在n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好成功一次的概率是多少。順著這層含義，我們把1次編程r次，便得到了所謂的負(fù)二項(xiàng)分布。設(shè)負(fù)二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量是X，獨(dú)立事件成功的概率是p，則在n次重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中恰好成功r次的概率是：
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? 較之二項(xiàng)分布，我們能夠看到，負(fù)二項(xiàng)分布更加強(qiáng)調(diào)n次重復(fù)實(shí)驗(yàn)中“恰好”成功r次，也就是要求第n次實(shí)驗(yàn)恰好是第r次成功的實(shí)驗(yàn)。
? 我們通過一個問題來進(jìn)行舉例——巴拿赫火柴問題。
? Q：某個抽煙的數(shù)學(xué)家總是隨身帶著兩盒火柴，一盒放在左邊口袋一盒放在右邊口袋。每次他需要火柴時，他就從任意的口袋中的火柴盒中取出一個火柴，現(xiàn)在兩盒火柴中都各有N個火柴，那么請問他第一次發(fā)現(xiàn)其中一個盒子已經(jīng)空了的時候，另一盒恰好有k根火柴的概率有多大？
? 分析：首先我們需要討論的一個點(diǎn)是，這個火柴位于哪個口袋的火柴盒是空的，顯然是左是右具有對稱性，我們分析一種情況，進(jìn)行平方即可。
? 假設(shè)左口袋為空，那么這個過程的最后一個步驟顯然是在數(shù)學(xué)家第2N-k次取火柴的時候，必然取走了右口袋中的一根火柴，這是一位他拿走左口袋的最后一根火柴的時候，我們就可以默認(rèn)理性的數(shù)學(xué)家不會再去拿左口袋的火柴盒，因此我們就可以將其與負(fù)二項(xiàng)分布聯(lián)系起來：在2N-k次重復(fù)實(shí)驗(yàn)當(dāng)中，恰好有N次從左口袋取出的概率。
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? 當(dāng)然，這道問題的最終結(jié)果是將這個概率平方。
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? 負(fù)二項(xiàng)分布的期望：
? 直接推導(dǎo)是難以給出E[X]有關(guān)負(fù)二項(xiàng)分布的參數(shù)r、p的聯(lián)系的，因此這里我們考慮建立遞推關(guān)系。
? 結(jié)合之前復(fù)合隨機(jī)變量的計算法則，我們在這里容易得到如下的等式。
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? 從二項(xiàng)分布結(jié)合級數(shù)推導(dǎo)而來的泊松分布：
? 對于二項(xiàng)分布我們很熟悉，在生活當(dāng)中我們也很常用，但是其計算公式不免顯得有點(diǎn)繁瑣，我們現(xiàn)進(jìn)行如下的簡化推導(dǎo)：
? 設(shè)某個二項(xiàng)分布的參數(shù)是(n,p)，設(shè)置參數(shù)λ=np.隨機(jī)變量為X.
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? 同時結(jié)合幾種極限求法，我們能夠看到，當(dāng)n趨近于無窮的時候，有：
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? 因此我們得到：
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? 這便是泊松分布列。容易看到，n趨近于無窮的二項(xiàng)分布可以與泊松分布等價，如果基于n趨近于無窮，我們可以驗(yàn)證泊松分布的作為分布列的一個性質(zhì)：
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? 泊松分布的數(shù)字特征：
? 下面討論泊松分布的期望和方差。
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? Ps：推導(dǎo)過程用到了泰勒級數(shù)的展開式，具體的內(nèi)容筆者在《托馬斯大學(xué)微積分》的專欄中會給出。
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轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/rhythmic/p/5928160.html
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的《A First Course in Probability》-chape4-离散型随机变量-几种典型分布列的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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