目錄： 一、預(yù)備知識(shí) 1、極限的定義 1）數(shù)列的極限? ?2）函數(shù)的極限 2、鄰域 1）為什么函數(shù)極限的定義要求鄰域去心? ?2）為什么函數(shù)連續(xù)的定義不要求鄰域去心 3、等價(jià)無(wú)窮小替換 4、間斷點(diǎn) 二、微分 1、導(dǎo)數(shù)的定義 2、導(dǎo)函數(shù) 1）基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式? ?2）函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則? 3）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 4）反函數(shù)的求導(dǎo)法則? ?5）隱函數(shù)求導(dǎo)? ?6）極座標(biāo)方程表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 7）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 3、可導(dǎo)與連續(xù) 4、微分的概念 1）微分定義? ?2）可微與可導(dǎo)的關(guān)系? ?3）幾何意義? ?4）近似計(jì)算? ?5）復(fù)合函數(shù)的微分 5、高階導(dǎo)數(shù) 1）高階導(dǎo)數(shù)的概念? ?2）隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)? ?3）參數(shù)方程確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 4）高階導(dǎo)數(shù)求法? ?5）高階導(dǎo)數(shù)公式 6、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 1）費(fèi)馬、羅爾、拉格朗日定理? ?2）柯西定理 7、洛必達(dá)法則 8、泰勒Taylor公式及其應(yīng)用 1）一點(diǎn)附近的泰勒公式? ??2）區(qū)間(a,b)上的泰勒公式? ?3）常用泰勒公式 9、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài) 1）函數(shù)的單調(diào)性與極值? ?2）極值判別法? ?3）最值的求法???4）函數(shù)凹凸性與拐點(diǎn) 5）二階導(dǎo)數(shù)的意義總結(jié)? ?6）函數(shù)的作圖(借助圖解數(shù)學(xué)) 10、平面曲線(xiàn)的曲率 1）弧長(zhǎng)與弧微分? ?2）曲率 11、方程的近似解 ----------------------------------------------------------- ‘無(wú)限細(xì)分’就是微分，‘無(wú)限求和’就是積分。無(wú)限就是極限，極限的思想是微積分的基礎(chǔ)，它是用一種運(yùn)動(dòng)的思想看待問(wèn)題。比如，子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念，子彈每個(gè)瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念。你也能懂的微積分 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 一、預(yù)備知識(shí) 1、極限的定義 1）數(shù)列的極限

任給ε>0，就是一個(gè)任意小的正數(shù)，總是存在N，這個(gè)N是指第N項(xiàng)，不管這個(gè)N有多大，只要n一超過(guò)N就有后面的不等式成立。 兩個(gè)數(shù)作差的絕對(duì)值也就是兩個(gè)數(shù)之間的距離，這個(gè)距離要小于任意小的一個(gè)數(shù)ε，意思就是這兩個(gè)無(wú)限接近，這就說(shuō)清了當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，這個(gè)數(shù)列的值是無(wú)限接近于A(yíng)。 n>N指這個(gè)數(shù)列不一定每一項(xiàng)都是趨向于這個(gè)數(shù)A，但是必須在數(shù)列的某一項(xiàng)后面的所有項(xiàng)都趨向于這個(gè)數(shù)。

圖1.1.1 -------------------------------- 2）函數(shù)的極限 （1）極限定義

圖1.1.2 ? 舉例：

?對(duì)于連續(xù)函數(shù)f(x)，f(x)在A(yíng)以及A的鄰域有定義，有。

關(guān)于連續(xù)：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,若 lim(x→x0)f(x)=f(x0), 則稱(chēng)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。?若函數(shù)f(x)在區(qū)間I的每一點(diǎn)都連續(xù),則稱(chēng)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)。

主要運(yùn)用，以及前面這些性質(zhì)。那么這個(gè)過(guò)程必須要這么做：

（1）極限表達(dá)式本身是個(gè)連續(xù)函數(shù)（對(duì)于大部分初等表達(dá)式都滿(mǎn)足條件）

（2）不拆分成四則運(yùn)算的時(shí)候，對(duì)整個(gè)極限表達(dá)式中求極限的變量，要么全都“代入”，要么不代入，不能只代入一部分。這是因?yàn)楸举|(zhì)上是求連續(xù)函數(shù)在極限點(diǎn)的值。比如說(shuō)對(duì)于nexp(f(n))這樣的，不能只在指數(shù)中代入n，外面保留，會(huì)出問(wèn)題。

（3）函數(shù)必須滿(mǎn)足在該點(diǎn)有定義，比如說(shuō)如果分母求值是0，那么這一點(diǎn)就沒(méi)有定義了；再比如對(duì)數(shù)里面是0，tan里面是π/2之類(lèi)。

（4）拆成四則運(yùn)算的時(shí)候，一般來(lái)說(shuō)是將極限拆成了兩個(gè)獨(dú)立的部分，必須保證這兩部分各自的極限都是存在的，尤其是乘除法的時(shí)候。對(duì)于除法，還要保證分母部分的極限不為0。

比如說(shuō)你這個(gè)過(guò)程當(dāng)中，

（1）是首先把極限拆成了極限的和，而且兩部分極限都仍然存在，這樣第二部分就直接可以用連續(xù)函數(shù)代入；

（2）是把極限拆成了極限的乘積，兩部分極限都仍然存在，所以是正確的；

（3）直接代入不行是因?yàn)榉肿臃帜付际?，沒(méi)有定義，所以變形到分母不為0的形式，就可以代入了。

----------------- （2）兩個(gè)重要極限

圖1.1.3 ----------------------------------------------------------- 2、鄰域

圖1.2.1

圖1.2.2 以a為中心的鄰域是用來(lái)刻畫(huà)與a接近的程度，那么以a為中心的去心鄰域刻畫(huà)的是什么呢？是與a接近的【趨勢(shì)】。 如何理解這個(gè)概念？又如何區(qū)分這兩者對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)定義呢？ 1）為什么函數(shù)極限的定義要求鄰域去心 在描述x→x0這個(gè)趨近的過(guò)程時(shí)，描述的就是 x→x0表示的就是由x向x0無(wú)限接近的過(guò)程，但這個(gè)過(guò)程中我們有x≠x0。 為了體現(xiàn)x→x0但不相等的這個(gè)過(guò)程，將函數(shù)極限的定義取作去心鄰域，讓x無(wú)法取得x0的值。 如此一來(lái)，函數(shù)極限的定義就變得更為廣泛，即使f(x)在x0處沒(méi)有意義也可以求極限。也就是說(shuō)，函數(shù)在x0處的極限只和函數(shù)在該點(diǎn)附近有關(guān)，與函數(shù)在該點(diǎn)是否有定義可以沒(méi)有關(guān)系。 由此，我們建立了函數(shù)極限的定義，于此衍生出來(lái)的局部有界性、局部保序性、夾逼定理也自然都是在去心鄰域內(nèi)建立的了。 -------------------------------- 2）為什么函數(shù)連續(xù)的定義不要求鄰域去心 在上面的分析中我們知道，函數(shù)在x0處的極限只和函數(shù)在該點(diǎn)附近有關(guān)，與函數(shù)在該點(diǎn)是否有定義可以沒(méi)有關(guān)系。 因此，在一段函數(shù)圖像上，點(diǎn)x處的鄰域就可以被拆分成點(diǎn)x與點(diǎn)x的去心鄰域兩個(gè)部分。于是我們很自然地就得到了，要使得一段函數(shù)圖像連續(xù)，那么點(diǎn)x處就必須與它對(duì)應(yīng)的去心鄰域結(jié)合成一個(gè)整體。 上面的分析中，我們知道去心鄰域?qū)?yīng)的就是點(diǎn)x處的極限值，而點(diǎn)x處對(duì)應(yīng)的就是函數(shù)值，如此一來(lái)，要將他們聯(lián)系成一個(gè)整體， 只需要讓函數(shù)值等于極限值即可。 由此，我們建立了函數(shù)連續(xù)的定義，自然就可以使用連成一個(gè)整體的【鄰域】，以此類(lèi)推，可導(dǎo)概念的建立也自然就是使用【鄰域】。 ----------------------------------------------------------- 3、等價(jià)無(wú)窮小替換 圖1.3.1 ----------------- （1）被替換的量無(wú)窮小（取極限時(shí)值為0）

----------------- （2）被替換的量，必須是作為被乘或被除的元素，不能是被加減的元素。 ? ? ? ? 必須處于因子位置。

無(wú)窮小量的等價(jià)，不過(guò)取了泰勒展開(kāi)式的第一項(xiàng)去等價(jià)罷了。等價(jià)無(wú)窮小量就是精度較低的泰勒展開(kāi)。 所以加減可能會(huì)導(dǎo)致項(xiàng)的抵消，抵消后，根據(jù)分母的階數(shù)可能會(huì)需要泰勒展開(kāi)第一項(xiàng)后的高階近似，但因?yàn)榈葍r(jià)無(wú)窮小量只取了泰勒展開(kāi)的第一項(xiàng)，對(duì)后續(xù)的近似無(wú)能為力。 以例3說(shuō)明，當(dāng)sinx的一階代表元（也就是它的等價(jià)無(wú)窮小量）與tanx的一階代表元消掉以后，按理說(shuō)該二階代表元站出來(lái)了，但因?yàn)?span style="color:#ed1c24;">等價(jià)無(wú)窮小量只取了泰勒展開(kāi)的第一項(xiàng)，消掉等于0。但我們知道在取完第一項(xiàng)之后后面的項(xiàng)還是有用（根據(jù)分母是x的幾階無(wú)窮小量）。 ----------------- （3）替換時(shí)必須整體替換，而不能替換局部 整體替換是什么意思呢？其實(shí)等價(jià)無(wú)窮小量的替換，我們可以看做是原極限乘以一個(gè)極限為1的分式。

整體替換，就是要對(duì)整個(gè)求極限的式子乘1。

----------------------------------------------------------- 4、間斷點(diǎn)

圖1.4.1

圖1.4.2 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 二、微分 1、導(dǎo)數(shù)的定義

?

利用x - x0 = Δx變形得到

一般地，導(dǎo)數(shù)的定義式，還可以寫(xiě)成以下形式(導(dǎo)數(shù)的廣義定義式)：使用Ψ(h)代替Δx

?

單側(cè)導(dǎo)數(shù)：

右導(dǎo)數(shù)

左導(dǎo)數(shù)

左、右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為單側(cè)導(dǎo)數(shù)。

----------------------------------------------------------- 2、導(dǎo)函數(shù) 若函數(shù)y=f（x）在開(kāi)區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就稱(chēng)函數(shù)f（x）在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)函數(shù)y=f（x）對(duì)于區(qū)間內(nèi)的每一個(gè)確定的x值，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，這就構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為原來(lái)函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)，記作y'、f'（x）、dy/dx或df（x）/dx，簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)。 -------------------------------- 1）基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式

圖2.2.1 解(2)式： 圖2.2.2 記憶：這里令n=2，nx^(n-1)=2x^(2-1)=2x。 解(3)式：

圖2.2.3 解(9)式：

圖2.2.4 -------------------------------- 2）函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則

圖2.2.5 -------------------------------- 3）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

圖2.2.6

圖2.2.7

圖2.2.8

圖2.2.9 -------------------------------- 4）反函數(shù)的求導(dǎo)法則

圖2.2.10 -------------------------------- 5）隱函數(shù)求導(dǎo)

圖2.2.11

圖2.2.12 （1）dx是Δx的近似值，其中Δx比dx多了一個(gè)高階無(wú)窮小，即：Δx=dx+o(dx) (如圖2.4.3所示), 其中o(dx)是比dx高階的無(wú)窮小，這一項(xiàng)非常小故可以忽略，dx ≈ Δx； （2）如果此處的x是自變量，那么dx = x，通常把自變量x的增量x稱(chēng)為自變量的微分，記作dx；如果這里的x是因變量，那么把自變量寫(xiě)作y的話(huà)，x是變化量，dx = 導(dǎo)數(shù)*y； （3）dx是x的微分，Δx是x的改變量。一般兩者不等，前者是后者的線(xiàn)性主部(如圖2.4.1所述)。但對(duì)自變量而言，因?yàn)閤對(duì)x的導(dǎo)數(shù)恒等于1，兩者相等。反之，兩者相等的也只有自變量。或者說(shuō)，x^n的導(dǎo)數(shù)為n*x^(n-1)，那么x的導(dǎo)數(shù)就是1。 ----------------- 例2?

?

圖2.2.13 ?

圖2.2.14 d是微分符號(hào)，dx是x的微分； d/dy是某函數(shù)對(duì)y的微分，dy/dx是函數(shù)y對(duì)x的微分。 -------------------------------- 6）極座標(biāo)方程表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

圖2.2.15 -------------------------------- ７）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 （１）變化率
?
----------------------------------------------------------- 3、可導(dǎo)與連續(xù)

?

圖2.3.1 ----------------------------------------------------------- 4、微分的概念
1）微分定義

圖2.4.1 -------------------------------- 2）可微與可導(dǎo)的關(guān)系

?

圖2.4.2 函數(shù)在 x 處的導(dǎo)數(shù)為 f'(x)，在 x 處的微分為 f'(x)dx。比如d(cosx) = (cosx)'dx = -sinx dx。 -------------------------------- 3）幾何意義 斜率是過(guò)某一點(diǎn)的直線(xiàn)傾斜程度，而導(dǎo)數(shù)是函數(shù)，也可以說(shuō)，導(dǎo)數(shù)是原函數(shù)曲線(xiàn)上每一個(gè)點(diǎn)處切線(xiàn)斜率的集合，可能是常數(shù)，也可能是函數(shù)式。 導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線(xiàn)上某點(diǎn)的斜率,一點(diǎn)橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中所得的值是該點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率值。某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于該點(diǎn)切線(xiàn)的斜率。

圖2.4.3 Δy = dy + o(dy) 半徑為r的圓的面積公式是S=πr2。如果我們讓半徑增加Δr，那么新的圓面積就應(yīng)該寫(xiě)成π(r+Δr)2，那么，增加的面積ΔS就應(yīng)該等于兩個(gè)圓的面積之差：

這個(gè)式子就跟上面的Δy=A·Δx+o(Δx)一模一樣。只不過(guò)把x和y換成了r和S，A在這里就是2πr，這里的π(Δr)是關(guān)于Δr的平方項(xiàng)，這不就是所謂的高階(平方是2階，Δr是1階，2比1更高階)無(wú)窮小o(Δx)么？所以，它的微分ds就是2πr·Δr這一項(xiàng)：

它的幾何意義也很清楚：這就是一個(gè)長(zhǎng)為2πr(這剛好是圓的周長(zhǎng))，寬為Δr的矩形的面積，好像是把這個(gè)圓“拉直”了所得的矩形的面積。 -------------------------------- 4）近似計(jì)算

?

圖2.4.4 -------------------------------- 5）復(fù)合函數(shù)的微分

?

圖2.4.5

?

圖2.4.6 ----------------------------------------------------------- 5、高階導(dǎo)數(shù) 1）高階導(dǎo)數(shù)的概念

?

圖2.5.1

?

圖2.5.2 位移對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)就是加速度。

?

圖2.5.3?

-------------------------------- 2）隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)

?

圖2.5.4 -------------------------------- 3）參數(shù)方程確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)

??

--------------------------------

4）高階導(dǎo)數(shù)求法

（1）遞歸法

?

--------------------------------

5）高階導(dǎo)數(shù)公式

-----------------------------------------------------------

6、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1）費(fèi)馬、羅爾、拉格朗日定理

舉例：

--------------------------------

2）柯西定理

?

?

-----------------------------------------------------------

7、洛必達(dá)法則

?

舉例：

?

----------------------------------------------------------- 8、泰勒Taylor公式及其應(yīng)用 前面的內(nèi)容主要講解用線(xiàn)性函數(shù)近似一個(gè)復(fù)雜函數(shù)，用一條直線(xiàn)近似曲線(xiàn)、一次函數(shù)近似復(fù)雜函數(shù)，這些比較粗糙。 泰勒展開(kāi)式就是把一個(gè)三角函數(shù)或者指數(shù)函數(shù)或者其他比較難纏的函數(shù)用多項(xiàng)式替換掉。也就是說(shuō)，有一個(gè)原函數(shù) [公式]，再造一個(gè)圖像與原函數(shù)圖像相似的多項(xiàng)式函數(shù) [公式] ,為了保證相似，只需要保證這倆函數(shù)在某一點(diǎn)的初始值相等，1階導(dǎo)數(shù)相等，2階導(dǎo)數(shù)相等，……n階導(dǎo)數(shù)相等。怎樣更好地理解并記憶泰勒展開(kāi)式？

? 1）一點(diǎn)附近的泰勒公式

?

?

-------------------------------- 2）區(qū)間(a,b)上的泰勒公式

舉例：

-------------------------------- 3）常用泰勒公式

常用泰勒公式近似：

舉例：

一個(gè)函數(shù)只要有任意階導(dǎo)數(shù)，就可以寫(xiě)出它的泰勒級(jí)數(shù)。泰勒級(jí)數(shù)若與這個(gè)函數(shù)相等，那么其余項(xiàng)趨向于0。 ----------------------------------------------------------- 9、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài) 通過(guò)簡(jiǎn)單函數(shù)記憶函數(shù)圖形特性，如下圖所示。

1）函數(shù)的單調(diào)性與極值

舉例：

將不等式轉(zhuǎn)換為討論函數(shù)單調(diào)性。 -------------------------------- 2）極值判別法 （1）極值第一判別法

舉例：

----------------- （2）極值的第二判別法

記憶方法：y=x^2二階導(dǎo)數(shù)2>0取得最小值。

-------------------------------- 3）最值的求法 前面了解了函數(shù)的性態(tài)與極值，極值是小范圍的最值。

-------------------------------- 4）函數(shù)凹凸性與拐點(diǎn) （1）函數(shù)的凹凸性

記憶方法：y=x^2的兩階導(dǎo)數(shù)2>0下凸！
----------------- （2）拐點(diǎn)

-------------------------------- 5）二階導(dǎo)數(shù)的意義總結(jié) 二階導(dǎo)數(shù)是對(duì)一階導(dǎo)數(shù)再求導(dǎo)一次，意義如下： （1）斜線(xiàn)斜率變化的速度，表示一階導(dǎo)數(shù)的變化率（如物理上的加速度等） （2）函數(shù)的凹凸性 （3）判斷極大值極小值 -------------------------------- 6）函數(shù)的作圖(借助圖解數(shù)學(xué))

----------------------------------------------------------- 10、平面曲線(xiàn)的曲率 1）弧長(zhǎng)與弧微分

--------------------------------
2）曲率

----------------------------------------------------------- 11、方程的近似解 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的微积分基础1-微分篇的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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