目錄： 一、預備知識 1、極限的定義 1）數列的極限? ?2）函數的極限 2、鄰域 1）為什么函數極限的定義要求鄰域去心? ?2）為什么函數連續的定義不要求鄰域去心 3、等價無窮小替換 4、間斷點 二、微分 1、導數的定義 2、導函數 1）基本初等函數求導公式? ?2）函數的和、差、積、商的求導法則? 3）復合函數求導 4）反函數的求導法則? ?5）隱函數求導? ?6）極座標方程表示的函數的導數 7）導數的應用 3、可導與連續 4、微分的概念 1）微分定義? ?2）可微與可導的關系? ?3）幾何意義? ?4）近似計算? ?5）復合函數的微分 5、高階導數 1）高階導數的概念? ?2）隱函數的二階導數? ?3）參數方程確定的函數的二階導數 4）高階導數求法? ?5）高階導數公式 6、微分中值定理與導數的應用 1）費馬、羅爾、拉格朗日定理? ?2）柯西定理 7、洛必達法則 8、泰勒Taylor公式及其應用 1）一點附近的泰勒公式? ??2）區間(a,b)上的泰勒公式? ?3）常用泰勒公式 9、利用導數研究函數性態 1）函數的單調性與極值? ?2）極值判別法? ?3）最值的求法???4）函數凹凸性與拐點 5）二階導數的意義總結? ?6）函數的作圖(借助圖解數學) 10、平面曲線的曲率 1）弧長與弧微分? ?2）曲率 11、方程的近似解 ----------------------------------------------------------- ‘無限細分’就是微分，‘無限求和’就是積分。無限就是極限，極限的思想是微積分的基礎，它是用一種運動的思想看待問題。比如，子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念，子彈每個瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念。你也能懂的微積分 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 一、預備知識 1、極限的定義 1）數列的極限

任給ε>0，就是一個任意小的正數，總是存在N，這個N是指第N項，不管這個N有多大，只要n一超過N就有后面的不等式成立。 兩個數作差的絕對值也就是兩個數之間的距離，這個距離要小于任意小的一個數ε，意思就是這兩個無限接近，這就說清了當n趨向于無窮大時，這個數列的值是無限接近于A。 n>N指這個數列不一定每一項都是趨向于這個數A，但是必須在數列的某一項后面的所有項都趨向于這個數。

圖1.1.1 -------------------------------- 2）函數的極限 （1）極限定義

圖1.1.2 ? 舉例：

?對于連續函數f(x)，f(x)在A以及A的鄰域有定義，有。

關于連續：設函數f(x)在點x0的某個鄰域內有定義,若 lim(x→x0)f(x)=f(x0), 則稱f(x)在點x0處連續。?若函數f(x)在區間I的每一點都連續,則稱f(x)在區間I上連續。

主要運用，以及前面這些性質。那么這個過程必須要這么做：

（1）極限表達式本身是個連續函數（對于大部分初等表達式都滿足條件）

（2）不拆分成四則運算的時候，對整個極限表達式中求極限的變量，要么全都“代入”，要么不代入，不能只代入一部分。這是因為本質上是求連續函數在極限點的值。比如說對于nexp(f(n))這樣的，不能只在指數中代入n，外面保留，會出問題。

（3）函數必須滿足在該點有定義，比如說如果分母求值是0，那么這一點就沒有定義了；再比如對數里面是0，tan里面是π/2之類。

（4）拆成四則運算的時候，一般來說是將極限拆成了兩個獨立的部分，必須保證這兩部分各自的極限都是存在的，尤其是乘除法的時候。對于除法，還要保證分母部分的極限不為0。

比如說你這個過程當中，

（1）是首先把極限拆成了極限的和，而且兩部分極限都仍然存在，這樣第二部分就直接可以用連續函數代入；

（2）是把極限拆成了極限的乘積，兩部分極限都仍然存在，所以是正確的；

（3）直接代入不行是因為分子分母都是0，沒有定義，所以變形到分母不為0的形式，就可以代入了。

----------------- （2）兩個重要極限

圖1.1.3 ----------------------------------------------------------- 2、鄰域

圖1.2.1

圖1.2.2 以a為中心的鄰域是用來刻畫與a接近的程度，那么以a為中心的去心鄰域刻畫的是什么呢？是與a接近的【趨勢】。 如何理解這個概念？又如何區分這兩者對應的數學定義呢？ 1）為什么函數極限的定義要求鄰域去心 在描述x→x0這個趨近的過程時，描述的就是 x→x0表示的就是由x向x0無限接近的過程，但這個過程中我們有x≠x0。 為了體現x→x0但不相等的這個過程，將函數極限的定義取作去心鄰域，讓x無法取得x0的值。 如此一來，函數極限的定義就變得更為廣泛，即使f(x)在x0處沒有意義也可以求極限。也就是說，函數在x0處的極限只和函數在該點附近有關，與函數在該點是否有定義可以沒有關系。 由此，我們建立了函數極限的定義，于此衍生出來的局部有界性、局部保序性、夾逼定理也自然都是在去心鄰域內建立的了。 -------------------------------- 2）為什么函數連續的定義不要求鄰域去心 在上面的分析中我們知道，函數在x0處的極限只和函數在該點附近有關，與函數在該點是否有定義可以沒有關系。 因此，在一段函數圖像上，點x處的鄰域就可以被拆分成點x與點x的去心鄰域兩個部分。于是我們很自然地就得到了，要使得一段函數圖像連續，那么點x處就必須與它對應的去心鄰域結合成一個整體。 上面的分析中，我們知道去心鄰域對應的就是點x處的極限值，而點x處對應的就是函數值，如此一來，要將他們聯系成一個整體， 只需要讓函數值等于極限值即可。 由此，我們建立了函數連續的定義，自然就可以使用連成一個整體的【鄰域】，以此類推，可導概念的建立也自然就是使用【鄰域】。 ----------------------------------------------------------- 3、等價無窮小替換 圖1.3.1 ----------------- （1）被替換的量無窮小（取極限時值為0）

----------------- （2）被替換的量，必須是作為被乘或被除的元素，不能是被加減的元素。 ? ? ? ? 必須處于因子位置。

無窮小量的等價，不過取了泰勒展開式的第一項去等價罷了。等價無窮小量就是精度較低的泰勒展開。 所以加減可能會導致項的抵消，抵消后，根據分母的階數可能會需要泰勒展開第一項后的高階近似，但因為等價無窮小量只取了泰勒展開的第一項，對后續的近似無能為力。 以例3說明，當sinx的一階代表元（也就是它的等價無窮小量）與tanx的一階代表元消掉以后，按理說該二階代表元站出來了，但因為等價無窮小量只取了泰勒展開的第一項，消掉等于0。但我們知道在取完第一項之后后面的項還是有用（根據分母是x的幾階無窮小量）。 ----------------- （3）替換時必須整體替換，而不能替換局部 整體替換是什么意思呢？其實等價無窮小量的替換，我們可以看做是原極限乘以一個極限為1的分式。

整體替換，就是要對整個求極限的式子乘1。

----------------------------------------------------------- 4、間斷點

圖1.4.1

圖1.4.2 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 二、微分 1、導數的定義

?

利用x - x0 = Δx變形得到

一般地，導數的定義式，還可以寫成以下形式(導數的廣義定義式)：使用Ψ(h)代替Δx

?

單側導數：

右導數

左導數

左、右導數統稱為單側導數。

----------------------------------------------------------- 2、導函數 若函數y=f（x）在開區間內每一點都可導，就稱函數f（x）在區間內可導。這時函數y=f（x）對于區間內的每一個確定的x值，都對應著一個確定的導數值，這就構成一個新的函數，稱這個函數為原來函數y=f（x）的導函數，記作y'、f'（x）、dy/dx或df（x）/dx，簡稱導數。 -------------------------------- 1）基本初等函數求導公式

圖2.2.1 解(2)式： 圖2.2.2 記憶：這里令n=2，nx^(n-1)=2x^(2-1)=2x。 解(3)式：

圖2.2.3 解(9)式：

圖2.2.4 -------------------------------- 2）函數的和、差、積、商的求導法則

圖2.2.5 -------------------------------- 3）復合函數求導

圖2.2.6

圖2.2.7

圖2.2.8

圖2.2.9 -------------------------------- 4）反函數的求導法則

圖2.2.10 -------------------------------- 5）隱函數求導

圖2.2.11

圖2.2.12 （1）dx是Δx的近似值，其中Δx比dx多了一個高階無窮小，即：Δx=dx+o(dx) (如圖2.4.3所示), 其中o(dx)是比dx高階的無窮小，這一項非常小故可以忽略，dx ≈ Δx； （2）如果此處的x是自變量，那么dx = x，通常把自變量x的增量x稱為自變量的微分，記作dx；如果這里的x是因變量，那么把自變量寫作y的話，x是變化量，dx = 導數*y； （3）dx是x的微分，Δx是x的改變量。一般兩者不等，前者是后者的線性主部(如圖2.4.1所述)。但對自變量而言，因為x對x的導數恒等于1，兩者相等。反之，兩者相等的也只有自變量。或者說，x^n的導數為n*x^(n-1)，那么x的導數就是1。 ----------------- 例2?

?

圖2.2.13 ?

圖2.2.14 d是微分符號，dx是x的微分； d/dy是某函數對y的微分，dy/dx是函數y對x的微分。 -------------------------------- 6）極座標方程表示的函數的導數

圖2.2.15 -------------------------------- ７）導數的應用 （１）變化率
?
----------------------------------------------------------- 3、可導與連續

?

圖2.3.1 ----------------------------------------------------------- 4、微分的概念
1）微分定義

圖2.4.1 -------------------------------- 2）可微與可導的關系

?

圖2.4.2 函數在 x 處的導數為 f'(x)，在 x 處的微分為 f'(x)dx。比如d(cosx) = (cosx)'dx = -sinx dx。 -------------------------------- 3）幾何意義 斜率是過某一點的直線傾斜程度，而導數是函數，也可以說，導數是原函數曲線上每一個點處切線斜率的集合，可能是常數，也可能是函數式。 導數的幾何意義就是曲線上某點的斜率,一點橫坐標代入導函數中所得的值是該點的切線的斜率值。某點的導數等于該點切線的斜率。

圖2.4.3 Δy = dy + o(dy) 半徑為r的圓的面積公式是S=πr2。如果我們讓半徑增加Δr，那么新的圓面積就應該寫成π(r+Δr)2，那么，增加的面積ΔS就應該等于兩個圓的面積之差：

這個式子就跟上面的Δy=A·Δx+o(Δx)一模一樣。只不過把x和y換成了r和S，A在這里就是2πr，這里的π(Δr)是關于Δr的平方項，這不就是所謂的高階(平方是2階，Δr是1階，2比1更高階)無窮小o(Δx)么？所以，它的微分ds就是2πr·Δr這一項：

它的幾何意義也很清楚：這就是一個長為2πr(這剛好是圓的周長)，寬為Δr的矩形的面積，好像是把這個圓“拉直”了所得的矩形的面積。 -------------------------------- 4）近似計算

?

圖2.4.4 -------------------------------- 5）復合函數的微分

?

圖2.4.5

?

圖2.4.6 ----------------------------------------------------------- 5、高階導數 1）高階導數的概念

?

圖2.5.1

?

圖2.5.2 位移對時間的二階導數就是加速度。

?

圖2.5.3?

-------------------------------- 2）隱函數的二階導數

?

圖2.5.4 -------------------------------- 3）參數方程確定的函數的二階導數

??

--------------------------------

4）高階導數求法

（1）遞歸法

?

--------------------------------

5）高階導數公式

-----------------------------------------------------------

6、微分中值定理與導數的應用

1）費馬、羅爾、拉格朗日定理

舉例：

--------------------------------

2）柯西定理

?

?

-----------------------------------------------------------

7、洛必達法則

?

舉例：

?

----------------------------------------------------------- 8、泰勒Taylor公式及其應用 前面的內容主要講解用線性函數近似一個復雜函數，用一條直線近似曲線、一次函數近似復雜函數，這些比較粗糙。 泰勒展開式就是把一個三角函數或者指數函數或者其他比較難纏的函數用多項式替換掉。也就是說，有一個原函數 [公式]，再造一個圖像與原函數圖像相似的多項式函數 [公式] ,為了保證相似，只需要保證這倆函數在某一點的初始值相等，1階導數相等，2階導數相等，……n階導數相等。怎樣更好地理解并記憶泰勒展開式？

? 1）一點附近的泰勒公式

?

?

-------------------------------- 2）區間(a,b)上的泰勒公式

舉例：

-------------------------------- 3）常用泰勒公式

常用泰勒公式近似：

舉例：

一個函數只要有任意階導數，就可以寫出它的泰勒級數。泰勒級數若與這個函數相等，那么其余項趨向于0。 ----------------------------------------------------------- 9、利用導數研究函數性態 通過簡單函數記憶函數圖形特性，如下圖所示。

1）函數的單調性與極值

舉例：

將不等式轉換為討論函數單調性。 -------------------------------- 2）極值判別法 （1）極值第一判別法

舉例：

----------------- （2）極值的第二判別法

記憶方法：y=x^2二階導數2>0取得最小值。

-------------------------------- 3）最值的求法 前面了解了函數的性態與極值，極值是小范圍的最值。

-------------------------------- 4）函數凹凸性與拐點 （1）函數的凹凸性

記憶方法：y=x^2的兩階導數2>0下凸！
----------------- （2）拐點

-------------------------------- 5）二階導數的意義總結 二階導數是對一階導數再求導一次，意義如下： （1）斜線斜率變化的速度，表示一階導數的變化率（如物理上的加速度等） （2）函數的凹凸性 （3）判斷極大值極小值 -------------------------------- 6）函數的作圖(借助圖解數學)

----------------------------------------------------------- 10、平面曲線的曲率 1）弧長與弧微分

--------------------------------
2）曲率

----------------------------------------------------------- 11、方程的近似解 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

總結

以上是生活随笔為你收集整理的微积分基础1-微分篇的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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