人类究竟需要什么样的微积分原理
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2019-04-27 08:14:22
標(biāo)簽：數(shù)學(xué)、微積分原理、微積分原理錯誤、廢除現(xiàn)行微積分原理、新微積分原理
我主張廢棄現(xiàn)行微積分原理和重建滿足數(shù)學(xué)發(fā)展要求的新微積分原理，這不僅因為:第一 ，現(xiàn)行微積分原理結(jié)構(gòu)扭曲；第二，細(xì)微之處問題甚多；第三，這個微積分原理邏輯錯誤也多。而且，還因為這個微積分原理幾乎沒有起到原理的作用，又何況數(shù)學(xué)也需要建立新的數(shù)-形模型了。
我的這個主張還不能得到主流數(shù)學(xué)工作者的贊同，其根本原因在于主流數(shù)學(xué)家都是專家(或淵家)。數(shù)學(xué)進(jìn)入二十世紀(jì)下半葉以來，主流數(shù)學(xué)界沒有博家了， 雖然這有它的緣由，但是，這畢竟說明數(shù)學(xué)工作者隊伍的結(jié)構(gòu)已經(jīng)失衡了，得糾正才行。我們這個時代豈止是沒有笛卡爾 (R.Descartes， 1592—1650) 、牛頓 (I.Newton，1642—1727)和萊布尼茲 (G.Leibniz， 1646—1716)這樣的大師，還沒有像克萊因( F.Klein，1849—1925)、龐加萊( H.Poicare，1854—1912)這樣的淵博家，就連外爾(H.Weyl，1885—1955)這樣的小淵博家都沒有了，當(dāng)然，也沒有像高斯 (Gauss，1777—1855)這樣的大淵家。
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維納( N. Wiener， 1894—1964)在他1948年出版的《控制論》書中 指出: “在上一世紀(jì)，也許沒有萊布尼茲這樣的人，但還有一個高斯、 一個法拉地、一個達(dá)爾文。今天沒有幾個學(xué)者不加任何限制而自稱為數(shù)學(xué)家，或者物理學(xué)家，或者生物學(xué)家。一個人可以是一個拓?fù)鋵W(xué)家，或者一個聲學(xué)家，或者一個甲蟲學(xué)家。他滿嘴是他那個領(lǐng)域的行話，知道那個領(lǐng)域的全部文獻(xiàn)、那個領(lǐng)域的全部分支，但是，他往往會把鄰近的科學(xué)問題看作與己無關(guān)的事情，而且認(rèn)為如果自己對這種問題發(fā)生任何興趣，那是不能允許的侵犯人家地盤的行為。”試想，如果一個人把自己大腦的珍貴貯存空間用于存放“那個領(lǐng)域的全部文獻(xiàn)” ，如果一個人動輒就是“侵犯人家地盤的行為”，那么，他怎么能成為一個學(xué)識淵博的人？他自己所處時代的萊布尼茲又怎么能誕生？科學(xué)發(fā)展的歷史一再向人類昭示：沒有學(xué)問淵博的大師，一門科學(xué)的發(fā)展就必然會因失去總體戰(zhàn)略而雜亂無章，從而進(jìn)入半停滯狀態(tài)。我們必須糾正自然科學(xué)發(fā)展的這種狀態(tài)，至少要糾正數(shù)學(xué)發(fā)展的這種狀態(tài)。
恩格斯指出：“在一切理論進(jìn)步中，同17世紀(jì)下半葉發(fā)明微積分比較起來，未必再有別的東西會被看作人類精神如此崇高的勝利。”馮●諾依曼也指出：“微積分是現(xiàn)代數(shù)學(xué)取得的最高成就，對它的重要性怎樣估計也是不會過分的。”可以說，如果沒有這放之四海而皆準(zhǔn)的龐大的微積分方法體系，那么，就沒有現(xiàn)代數(shù)學(xué)，從而也就沒有現(xiàn)代科學(xué)。可是，時至今日人類也沒能真正搞清楚，為什么這個龐大的微積分方法體系放之四海而皆準(zhǔn)。又何況，微積分方法 是“通過肯定不正確的數(shù)學(xué)途 徑得出的正確的結(jié)果。”人類應(yīng)該弄清這里的機(jī)理，從而優(yōu)化已有微積分方法，并揭示更多微積分方法，這個機(jī)理就是所謂的微積分原理。遺憾的是，這個問題已經(jīng)有從十八世紀(jì)推到今天，又何況，不揭示這個機(jī)理，人類往下也無從制定科學(xué)的數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展戰(zhàn)略。
可是，時至今日大多數(shù)數(shù)學(xué)工作者還沒意識到要區(qū)分微積分方法與微積分原理，因為兩者不是一碼事。 更讓人啼笑皆非的是，還有人認(rèn)為微積分原理就是用來證明微積分方法是有用的，好像實踐并沒有證明過微積分方法是行之有效的。還有的數(shù)學(xué)家認(rèn)為，即使現(xiàn)行微積分原理中的微分部分是錯誤的也沒關(guān)系，只要舍棄這部分就可以了，因為沒有微分這個原理照樣正確。我們權(quán)且不對這個退化了的微積分原理做微觀的批評，事實上，即使僅從宏觀把握，這個微積分原理也是不滿足要求的。
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下面，讓我們從構(gòu)造一個不用極限的新微積分原理說起：
第一步:對于在[a,b]內(nèi)的連續(xù)函數(shù)y=F(x),我們通過Dirichlet 不等式推出恒等式
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f(x)是關(guān)于x的一元函數(shù)。然后，通過恒等式定義f(x)就是F(x)在(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)，其中f(x)的瞬時變化率的意義由
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的趨勢加以解釋，導(dǎo)函數(shù)求解也通過恒等式兩邊的對比得到。當(dāng)然，高階導(dǎo)數(shù)的講解是自然而然的，微分中值定理和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等內(nèi)容也可以隨之跟進(jìn)。
第二步:把原函數(shù)的求解解釋作第一步的逆過程，不定積分公式通過上述過程反推獲得。明確了不定積分的本質(zhì)，微分方程的講解自然不是問題。
第三步:通過F(b)-F(a)= f(x)(b-a)+o(x)(b-a) ，定義 [f(x)(b-a)+o(x)(b-a)]為f(x)在[a,b]上的定積分， 并用
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表示: 接著，講解定積分的性質(zhì)，并推導(dǎo)積分中值定理；然后，講解牛頓-萊布尼茲公式，即，對于[a,b ]的任意分割
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根據(jù)微分中值定理，可得：
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其中ηi為中值點。當(dāng)然，有了定積分，定積分的應(yīng)用內(nèi)容也可以隨之跟進(jìn)。
第四步:多元情形參照一元情形辦理。
如上就是一個新的微積分原理的雛形。
試想，現(xiàn)行微積分原理一旦刪掉微分會與上述新微積分原理不是同 一檔次的嗎？它們連同現(xiàn)行實變函數(shù)理論能夠科學(xué)地解釋微積分方法之所以行之有效的機(jī)理嗎?它們優(yōu)化過哪個微積分方法？它們又何曾揭示過新的微積分方法？這個光開花不結(jié)果的微積分原理的意義何在?當(dāng)然，我們不否認(rèn)它在建立微積分原理的研究領(lǐng)域的示范意義。
筆者可以把虛位移原理改作虛功率原理，也可以不用變分而改用導(dǎo)數(shù)構(gòu)造第二類拉格朗日方程，甚至還可以勉強(qiáng)不經(jīng)分離變量(即直接用導(dǎo)數(shù))去解微分方程，可是，這不能成為這種退化了的微積分原理可以滿足光怪陸離的微積分方法體系的要求的理由。事實上，盡管1821年和 1823年柯西的《分析教程》和《無限小計算教程概論》的出版標(biāo)志著現(xiàn)行微積分原理的建立，可是，二百多年來人類科學(xué)的發(fā)展靠的還是以萊布尼茲為代表的微積分，而不是以牛頓為代表的微積分，當(dāng)年英國人抱著牛頓的門戶之見搞數(shù)學(xué)，并導(dǎo)致英格蘭島在數(shù)學(xué)上遠(yuǎn)落后于歐洲大陸的歷史事實就是證明。相反，這二百多年中歐拉(Euler，1707—1783)、 拉格朗日(Lagrange，1736—1813) 、拉普拉斯(Laplace，1749—1827) 、 勒讓德(Legendre，1752— 1833) 、傅里葉(Fourier，1768—1830) 、高斯 (Gauss，1777—1855)、 泊松( Poisson，1781— 1840)、哈密頓( Hamilton，1805—1865) 和劉維爾(Lioville，1809—1882) 等眾多雙料大科學(xué)家都不接受柯西(Cauchy，1789—1857) 的微積分原理，反倒沿用萊布尼茲微積分原理。可以這么說，沒有哪項科學(xué)成就是現(xiàn)行微積分原理的產(chǎn)物，因為現(xiàn)行微積分原理從來就沒有自圓其說過。相反，倒是那個說不清微分是什么的萊布尼茲微積分原理的產(chǎn)物。注意，萊布尼茲的微分是“說不清”，而柯西的微分是“不正確”，這是性質(zhì)不同的兩碼事。一句話，說不清的東西仍然可能是正確的，而不正確的東西是不會正確的。
十八世紀(jì)初到十九世紀(jì)末是數(shù)學(xué)與自然科學(xué)交織在一起的突飛猛進(jìn)的發(fā)展時期，以歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、勒讓德、傅里葉、高斯、泊松、哈密頓等為代表的科學(xué)家，幾乎都是精通數(shù)學(xué)、一般力學(xué)、固體力學(xué)、流體力學(xué)、天體力學(xué)、熱力學(xué)、物理學(xué)等的通才，而他們又幾乎都是拒斥柯西微積分原理的。正是這個原因，這些門自然科學(xué)中所使用的微積分方法普遍沿用萊布尼茲的“無窮小量”、“微分”、“導(dǎo)數(shù)(微商)”和約翰.貝努力(J.Bernoulli，1667—1748)的“變分”等工具，不 僅如此，即使時至今日，這些東西還都在繼續(xù)沿用著。這個鐵的事實要求微積分原理對這些微積分方法行之有效的機(jī)理做以說明，而不是通過削足適履的手段閹割這鐵一般的事實，更不是通過涂抹掉無窮小、微分 及變分廣泛使用的科學(xué)歷史來為一個不稱職的微積分原理的存在創(chuàng)造條件。我們的歷史使命是重建滿足客觀需求的微積分原理，這是因為沿用至今的至少在微分部分存在根本性錯誤的柯西微積分原理，是不能解釋 如此豐富的微積分方法何以行之有效的。
牛頓的微積分原理的缺點在于自相矛盾；萊布尼茲的微積分原理的缺點在于微分的本質(zhì)一時說不清楚。這一事實既是柯西重建微積分原理 的理由，也是柯西重建微積分原理的素材， 可惜的是，由于沒有能力理解萊布尼茲的微積分原理，他只能利用沃利斯以來的極限思想對牛頓的“流數(shù)”和“反流數(shù)”加以說明，從而，形成了一個牛頓模式并在無奈時拼湊了萊布尼茲的微分的微積分原理。在這個原理中，首先，極限的意義主要在于含沙射影地給出導(dǎo)數(shù)和定積分的定義，同時也用來求導(dǎo)數(shù)，而不是直接給出反映其機(jī)理的表達(dá)式:其次，拼湊了微分并解釋導(dǎo)數(shù)就是微商，但是微分定義錯了；再次，定義導(dǎo)數(shù)抑或微分與不定積分是互逆關(guān)系，而不是論證為什么它們之間是互逆關(guān)系；又次，把本來是同一數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的不定積分與定積分誤定為兩個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，定積分是一個和式的極限，它與不定積分的關(guān)系僅在于借助于不定積分進(jìn)行計算。由此可見，這樣的微積分原理，即使不要求它在細(xì)枝末節(jié)上而僅僅要求它在最基本的問題上闡釋微積分方法的機(jī)理也沒做到。從根本上說，人類需要的是知微積分方法行之有效所以然的微積分原理，而不是知微積分方法行之有效然的微積分原理。現(xiàn)行微積分原理就是知其然而不是知其所以然的微積分原理。
基本夠格的微積分原理，首先要說清楚微分的本質(zhì)，當(dāng)然，變分的本質(zhì)也就道說清楚了；其次要給出作為瞬時變化率的導(dǎo)數(shù)的瞬時比形式，這才說清了導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)；再次要闡釋清楚為什么微分與積分是互逆過程，而不是只肯定微分與積分是互逆過程，當(dāng)然，還要順便說明不定積分與定積分是一回事，只不過一個積分限任意，一個積分限確定罷了。 其實，萊布尼茲的微積分原理的思想脈絡(luò)就是這樣的，只不過是由于微分說不太清楚， 致使其它部分也講得不細(xì)致。但是，萊布尼茲的大思路是正確的，羅賓遜( A. Robinson，1918—1974)用它的《非標(biāo)準(zhǔn)分析》證明：“Leibniz的思想能夠全面維護(hù)”；同時還提請人們?nèi)?#xff1a;“有一個鮮明的對照：對Lcibniz 及其追隨者，給以嚴(yán)格的待遇，而對極限學(xué)說的發(fā)起者的錯誤卻予以諒解。”哥德爾 (Godel，1906—1978)也同樣支持羅賓遜的結(jié)論，他說：“ 以這種或那種形式表示的非標(biāo)準(zhǔn)分析，將成為未來的分析學(xué)。”當(dāng)然，筆者在重建數(shù)-形模型的基礎(chǔ)上所建立的新微積分原理也在無意中更詳盡地證明了萊布尼茲思想的正確。
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順便需提醒的是，我們這個時代的主流數(shù)學(xué)工作者，總是自覺或者不自覺地忽視哲學(xué)、數(shù)學(xué)史等等知識，致使自己的歷史還原能力偏弱， 因此，在不自覺中夸大了萊布尼茲的微分的不足。當(dāng)知，萊布尼茲時代還沒有實數(shù)理論，也沒有函數(shù)概念及其理論。另一方面，歷史就是一面鏡子，漠視這面鏡子是不明智的。具備豐厚的哲學(xué)功底，尤其是科學(xué)哲學(xué)(在中國表現(xiàn)為自然辯證法，當(dāng)然是清華風(fēng)格的，而不是人大風(fēng)格的) 功底， 再認(rèn)真研究數(shù)學(xué)史，尤其是微積分史(不可忽視極限史，當(dāng)然，現(xiàn)有的數(shù)學(xué)史書籍大多缺少這部分)，就不難發(fā)現(xiàn)牛頓、萊布尼茲為什么不能徹底建立微積分原理，也不難發(fā)現(xiàn)為什么柯西在重建微積分原理 中會這樣錯，還能知道建立正確的微積分原理要走怎樣的路徑，甚至還可以想象為什么黎曼明知柯西微積分模式有問題而不說.....
說到這里，人類需要什么樣的微積分原理應(yīng)該清楚了，那就是這個微積分原理，不僅要講明如此這般豐富的微積分方法行之有效的基本機(jī)理，而且，還要闡釋393年以來與自然科學(xué)交織在一起的微積分方法的細(xì)枝末節(jié)的正確以及不足的原因。那種說不清甚至還要求剔除微分及變分的微積分原理肯定不夠格。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的人类究竟需要什么样的微积分原理的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
