Problem:有一根27厘米長的細木桿，在第3厘米，7厘米，11厘米，17厘米，23厘米,這五個位置上各有一只螞 蟻，木桿很細，不能同時通過兩只螞蟻，開始時，螞蟻的頭朝向左還是右是任意的，他們只會朝前走或掉頭，但不會后退,當兩只螞蟻相遇后，螞蟻會同時掉頭朝反 方向走，假設螞蟻們每秒鐘可以走1厘米的距離。求所有螞蟻都離開木桿的最小時間和最大時間。

?

一刻推理：首 先可以想到的一個方法，就是模擬算法，沒有錯，由于這些螞蟻都有其相似的地方，故可以歸為一個類，而有多少個螞蟻，就有多少個對象。問題是，這樣做，確實 是可以詳細描述出這些螞蟻活動的全過程，但是，問題要去的是，我們只需要求出所有螞蟻離開木桿的最小時間（MinTime）和最大時間(MaxTime) 即可，我們當然可以嘗試左右情況，但是，問題是，假設所有的螞蟻的數(shù)量為n，則需要嘗試的總次數(shù)為O（2^n），這樣是NP難的，有木有更神奇的方法？

二刻推理：通過聯(lián)想，很容易想到那位老外給蘇步青的一個難題，也就是說，一只狗在兩個人之間來回以相同的速度跑，我們是否需要詳細地模擬全過程？當極限的概念未知的情況下，此問題甚至是無解的！想到這里，我們應該可以得到，必須要跳開這種純粹模擬的思維，尋找更玄妙的途徑。

三刻推理：如 果題目條件沒有那么“強”，比如，桿子沒有細到不能同時通過兩只螞蟻，如果可以通過兩只螞蟻，甚至是更多的螞蟻，無非就是一個純粹的O（n）可以解決的問 題了，但是，有些問題，適當?shù)胤艑挆l件，問題還是成立的！本題在比較弱的條件下可以成立，那么，能不能在加強版的條件下仍然成立呢？

四刻推理：由于螞蟻都是完全相同的，我們可以悟到一點，也就是說，兩個螞蟻如果碰撞的話，其中一只螞蟻可以“穿過”另外一只螞蟻的身體，想到了這一點，問題迎刃而解了。NP難問題化為了一個時間復雜度為O（n）的問題！這就是推理帶來的效果。

?1?/*
?2?#include?"stdafx.h"
?3?#include?<iostream>
?4?using?namespace?std;
?5?
?6?*/
?7?根據(jù)題意：兩只螞蟻相遇后，各自掉頭朝相反方向走。但是，我們可以“看著”
?8?兩只螞蟻相遇后，擦肩而過，即，認為螞蟻是相互獨立的，是否碰頭沒什么關(guān)
?9?系。
10?所有螞蟻都離開木桿的最小時間為
11?　max(min(3,27-3),min(7,27-7),?min(11,27-11),?min(17,27-17),min(23,27-23))=11
12?所有螞蟻都離開木桿的最大時間為
13?　max(max(3,27-3),max(7,27-7),?max(11,27-11),?max(17,27-17),max(23,27-23))=24
14?*/
15?
16?void?antCrawlTime(double?length,???????//length?of?stick
17?????????????????????????????????double?*xPos,???????//position?of?an?ant,<=length
18?????????????????????????????????int?antNum,??????????????//number?of?ant
19?????????????????????????????????double?speed,??????//speed?of?crawl
20?????????????????????????????????double?&min,????????//min?of?leave?time
21?????????????????????????????????double?&max)???????//max?of?leave?time
22?{
23?????double?totalTime=length/speed;
24?????min=0;
25?????max=0;
26?????for(int?i=0;i<antNum;i++)
27?????{
28?????????double?tmpMin=0;
29?????????double?tmpMax=0;
30?????????if(xPos[i]<length/2)
31?????????{
32?????????????tmpMax=(length?-?xPos[i])/speed;
33?????????}
34?????????else
35?????????{
36?????????????tmpMax=xPos[i]/speed;
37?????????}
38?????????tmpMin=totalTime-tmpMax;
39?
40?????????if(max<tmpMax)
41?????????{
42?????????????max=tmpMax;
43?????????}
44?????????if(min<tmpMin)
45?????????{
46?????????????min=tmpMin;
47?????????}
48?????}
49?}
50?
51?int?_tmain(int?argc,?_TCHAR*?argv[])
52?{
53?????double?xPos[]={3,7,11,17,23};
54?????double?min,max;
55?????antCrawlTime(27,xPos,5,1,min,max);
56?????cout<<"min:"<<min<<"***max:"<<max<<endl;
57?????return?0;
58?}

拓展推理：博客上有網(wǎng)友更進一步地提出了如下五個問題，這里給出博客上的詳細信息以及解答，其中，[Math Processing Error]為一個數(shù)字，可能是相關(guān)的編碼錯誤吧！

第[Math Processing Error]只螞蟻什么時候走出木桿？

所有螞蟻從一開始到全部離開木桿共碰撞了多少次？

第[Math Processing Error]次碰撞發(fā)生在哪個時刻？哪個位置？哪兩個螞蟻之間？

哪只螞蟻的碰撞次數(shù)最多？

如果不是一根木桿而是一個鐵圈，經(jīng)過一段時間后所有螞蟻都會回到的狀態(tài)嗎？這個時間的上界是多少？

擴展1的解答

現(xiàn) 在來解決擴展1。這個解答甚是精妙，通俗點來說，我們假設每只螞蟻都背著一袋糧食，任意兩只螞蟻碰頭時交換各自的糧食然后調(diào)頭。這種情況下，每次 有一只螞蟻離開木桿都意味著一袋糧食離開木桿（雖然可能已經(jīng)不是它剛開始時背的那一袋了）。于是，我們可以求出每袋糧食離開木桿的時間（因為糧食是不會調(diào) 頭的）。又由于每袋糧食離開木桿的時間都對應某只螞蟻離開木桿的時間，這是一種一一映射關(guān)系。現(xiàn)在我們要找到對應于第[Math Processing Error]只螞蟻的那個映射。在此之前需要證明一個命題：

若一開始時有[Math Processing Error]只螞蟻向左走，[Math Processing Error]只螞蟻向右走，則最終會有[Math Processing Error]只螞蟻從木桿左邊落下，[Math Processing Error]只螞蟻從木桿右邊落下。

這個命題很容易證明：每次碰撞 均不改變向左和向右的螞蟻數(shù)量。于是，由于每次碰撞螞蟻都會調(diào)頭而不是穿過，最后必定是前[Math Processing Error]只螞蟻從左邊落下，后[Math Processing Error]只螞蟻從木桿右邊落下。由于我們知道每袋糧食是從哪邊落下的，故左邊落下的[Math Processing Error]袋糧食的離開木桿的時間就對應于前[Math Processing Error]只螞蟻離開木桿的時間，右邊的類似。因此，我們只需判斷[Math Processing Error]和[Math Processing Error]的關(guān)系，便知道第[Math Processing Error]只螞蟻是從左邊還是右邊落下。不妨假設是從左邊落下，因此該螞蟻落下的時間就等于從左邊落下的第[Math Processing Error]袋糧食的落下時間。時間復雜度[Math Processing Error]，一遍掃描搞定。

擴展2的解答

對 于擴展2，我們只需求得每個螞蟻的碰撞次數(shù)，然后累加即可。在這里我們換一種思路，把碰撞調(diào)頭看成不調(diào)頭而繼續(xù)向前（穿過），則容易看出原問題 （碰撞次數(shù)）就變?yōu)榍蟠┻^的次數(shù)（因為速度大小不變，原來的每次碰撞都對應于現(xiàn)在的一次穿過）。則對于每只向左的螞蟻，它只會“穿過”那些在它左邊的向右 走的螞蟻。因此，每只螞蟻“穿過”的螞蟻次數(shù)等于剛開始時在它前進方向上與它前進方向相反的螞蟻個數(shù)。時間復雜度也是[Math Processing Error]。改為用糧食的觀點來理解也是可以的。

擴展3的解答

第3個擴展問 題有點復雜。首先我們假設[Math Processing Error]為0.5個單位長度每秒，每個螞蟻剛開始時都處于整點處，這樣每次碰撞都發(fā)生在整秒處。這個假設有個好處，就是我們可以二分第[Math Processing Error]次 碰撞的時刻。如果碰撞時刻是浮點數(shù)，這個二分有可能永遠不會終止。我們還是看成每個螞蟻馱著一袋糧食，那么每袋糧食易主（即從一個螞蟻身上交換到另一個螞 蟻身上）時，就發(fā)生了一次碰撞。由于糧食的方向是固定不變的，我們可以很容易求出每一袋糧食在它的“前進”方向上的所有易主時刻（它易主的次數(shù)等于擴展2 中的“穿過”次數(shù)）。這樣，我們的問題就等價于：

找到最小的時間[Math Processing Error]，使得易主時刻小于或等于[Math Processing Error]的易主次數(shù)大于或等于[Math Processing Error]。

由 于現(xiàn)在所有碰撞（易主）的時刻都是整點，故我們可以二分[Math Processing Error]，然后用線性復雜度找出易主時刻小于或等于[Math Processing Error]的易主次數(shù)。整個復雜度為[Math Processing Error]，其中maxt和mint分別表示第一次和最后一次碰撞的時刻，均可在[Math Processing Error]時間內(nèi)求出。

在上一段中，要想使用線性時間復雜度求出易主時刻小于或等于[Math Processing Error]的易主次數(shù)還需要一點技巧。可以這樣：用一個數(shù)組[Math Processing Error]表示第[Math Processing Error]個向右走的螞蟻的初始位置，當掃描到第[Math Processing Error]個向左走的螞蟻時，假設得到的中值點為[Math Processing Error]（即[Math Processing Error]到第[Math Processing Error]個位置上對應的糧食和該袋糧食的易主時刻均大于[Math Processing Error]）。由于該袋糧食向左易主的時刻是遞增的，而下一個向左走的螞蟻的初始位置又大于當前（第[Math Processing Error]個向左走的）螞蟻，故對于下一個螞蟻ant來說，[Math Processing Error]到第[Math Processing Error]個位置上對應的糧食和ant所馱糧食的易主時刻也一定大于[Math Processing Error]。即中值點的位置是單調(diào)的。因此可以在均攤[Math Processing Error]的時間內(nèi)算出所求個數(shù)。

求出時刻的 同時我們也求出了位置，故第二小問也解決。接下來要求哪兩個螞蟻發(fā)生了這次碰撞（如果同時存在多個碰撞求出任意一個即可）。其實，我們只需要求出每袋糧食 在[Math Processing Error]時刻的位置即可。因為每袋糧食必然對應于一個馱著它的螞蟻，故我們只需對這些糧食的位置排序，找出位置相同的糧食以及其下標（即從左到右第幾 個），也就找出了那對螞蟻了。

擴展4的解答

對于第4個擴展，只要求出每只螞蟻的 碰撞次數(shù)即可。這也解決了擴展2的解答中原始思路。首先由擴展1的解答我們可以知道每只螞蟻最終是往左還是右掉下去，然后假設第[Math Processing Error]只螞蟻最終往左掉下，而開始時刻其左邊有[Math Processing Error]只向右走的螞蟻，則它至少要朝左邊碰撞[Math Processing Error]次才能把左邊的螞蟻全撞成向左的狀態(tài)。倘若它一開始就是向左的，則共要碰撞[Math Processing Error]次，否則為[Math Processing Error]次。這樣利用一個數(shù)組和幾個計數(shù)器仍能在[Math Processing Error]時間內(nèi)求出每個螞蟻的碰撞次數(shù)，取最大那個即可。

擴展5的解答

這個 問題看起來挺復雜，其實很簡單。假設環(huán)長為[Math Processing Error]，則一個螞蟻走完一圈需要[Math Processing Error]的時間。首先，還是像上面的討論那樣假設每個螞蟻都馱著一袋糧食。那么，經(jīng)過[Math Processing Error]時間后所有糧食都回到了原來的位置。由于每袋糧食都對應一個螞蟻，而螞蟻每次碰撞都會調(diào)頭，因此螞蟻的相對位置是不變的，這就說明經(jīng)過 [Math Processing Error]時間后螞蟻循環(huán)移動了。假設移動了[Math Processing Error]個位置，即每個螞蟻都到達它往右第[Math Processing Error]個螞蟻的初始位置，那么，類似地，再經(jīng)過[Math Processing Error]時間，當前狀態(tài)仍會循環(huán)移動[Math Processing Error]個位置。容易看出這是一個最小公倍數(shù)問題：循環(huán)移動多少個[Math Processing Error]次之后每個螞蟻回到自己位置？答案為[Math Processing Error]，于是最多經(jīng)過[Math Processing Error]時間，每個螞蟻都至少回到原地一次。

除了以上幾個擴展，還有一些個人認為比較變態(tài)的擴展，有的沒空仔細想，有的暫時沒想到解法，也列出如下，歡迎拍磚：

如果每只螞蟻的速度不一樣（這就有可能由于追趕而產(chǎn)生碰撞，此時根據(jù)動量守恒定律:(，速度互換），上述擴展問題的答案是什么呢？

如果螞蟻在一個平面上運動，同樣也是碰頭后原路返回（注意這不等同于兩只螞蟻交換繼續(xù)前進），問是否所有螞蟻都能最終離開平面？

在上述情況下，如果最終能離開平面，離開平面需要多長時間？

在上述情況下，回答關(guān)于一維的前文討論的每個問題。

另外，趙牛同學又提出了一些更bt的擴展，如下：

假設每個螞蟻都有重量，兩只螞蟻碰撞時輕的那個有一定幾率從旁邊被撞下去:(，那又該怎樣？

假設不是被撞下去而是有一定幾率被撞暈而停滯幾秒，那又該怎樣？

各種無語………

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的和吴昊一起玩推理 Round 2 —— 蚂蚁爬杆问题的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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