?? 7月27日，J. Keisler《基礎微積分》第2.2節上傳互聯網之后，讓國內傳統微積分學者非常尷尬，坐立不安。為什么？

?????? 搜索百度百科，查閱“十一五”國家級規劃教材，都有如下說法：

????? 設函數y= f(x)在x0的鄰域內有定義，x0及x0+ Δx在此區間內。如果函數的增量Δy= f(x0 + Δx) - f(x0)可表示為Δy= AΔx +o(Δx)（其中A是不依賴于Δx的常數），而o(Δx)是比Δx高階的無窮小，注：o讀作奧密克戎，希臘字母,那么稱函數f(x)在點x0是可微的，且AΔx稱作函數在點x0相應于自變量增量Δx的微分，記作dy，即dy= AΔx。函數的微分是函數增量的主要部分，且是Δx的線性函數，故說函數的微分是函數增量的線性主部（△x→0）。

????????? 設函數y= f(x)在某區間內有定義，x0及x0+△x在這區間內，若函數的增量Δy= f(x0 + Δx) ? f(x0)可表示為Δy= AΔx + o(Δx)，其中A是不依賴于△x的常數，o(Δx)是△x的高階無窮小，則稱函數y= f(x)在點x0是可微的。AΔx叫做函數在點x0相應于自變量增量△x的微分，記作dy，即：dy=AΔx。微分dy是自變量改變量△x的線性函數，dy與△y的差是關于△x的高階無窮小量，我們把dy稱作△y的線性主部。得出：當△x→0時，△y≈dy。導數的記號為：(dy)/(dx)=f′(X)，現在我們可以發現，它不僅表示導數的記號，而且還可以表示兩個微分的比值(把△x看成dx，即：定義自變量的增量等于自變量的微分)，還可表示為dy=f′(X)dX。

??????????? 我們要問：”當△x→0時，△y≈ dy“這句話是什么意思？什么叫“△y≈ dy”（△y無限接近于dy）？這么一問，麻煩就來了。

??????????? J.Keisler在第2.2節微分與切線中給出了一個增量定理如下：

INCREMENT THEOREM

?? Let y = f(x).Suppose f′‘(x) exists at a certain point x,and Δx is infinitesimal.

Then Δy is infinitesimal, and

????????????????????????????????? Δy =f’′(x)Δx + εΔx

for some infinitesimal ε, which depends on x and Δx.

同時，給出函數微分的定義如下：

DEFINITION

????????Suppose y depends on x, y = f(x).

????????(i) The differential of x is the independent variable dx = Δx.

????????(ii) The differential of y is the dependent variable dy given by

??????????????????????????????????????? dy = f′'(x)dx.

?????????When dx≠0, the equation above may be rewritten as

??????????????????????

Compare this equation with

???????????????????????

? Figure 2.2.3is not really accurate. The curvature had to be exaggerated（夸大）in order to distinguish the curve and tangent line under the microscope.To give an accurate picture, we need a more complicated figure like Figure 2.2.4, which has a second infinitesimal microscope trained on the point (a+Δx,b+Δy) in the field of view of the original microscope. This second microscope magnifies εdx to a unit length and magnifies Δx to an infinite length.

Figure2.2.4

??????? 兩者相比，真相不言自明。傳統微積分盜用了無窮小微積分的“無限接近于”的概念，現在，顯得尷尬無比，無地自容。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的传统微积分学的尴尬的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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