什么是同態(tài)濾波
同態(tài)濾波（Homomorphic filter）是信號(hào)與圖像處理中的一種常用技術(shù)，它采用了一種線性濾波在不同域中的非線性映射。

首先介紹兩個(gè)概念
同態(tài)系統(tǒng)：是將非線性問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題處理。即對(duì)非線性（乘性）混雜信號(hào)，通過(guò)某種數(shù)學(xué)運(yùn)算（如對(duì)數(shù)變換），變成加性模型，而后采用線性濾波方法進(jìn)行處理。
同態(tài)濾波：是把頻率濾波和空域灰度變換結(jié)合起來(lái)的一種圖像處理方法，它根據(jù)圖像的照度/反射率模型作為頻域處理的基礎(chǔ)，利用壓縮亮度范圍和增強(qiáng)對(duì)比度來(lái)改善圖像的質(zhì)量。

同態(tài)濾波的原理
一幅圖像可看成由兩部分組成，即
fi代表隨空間位置不同的光強(qiáng)（Illumination）分量，其特點(diǎn)是緩慢變化，集中在圖像的低頻部分。
fr代表景物反射到人眼的反射（Reflectance）分量，其特點(diǎn)包含了景物各種信息，高頻成分豐富。
同態(tài)濾波過(guò)程，分為以下5個(gè)基本步驟：
① 原圖做對(duì)數(shù)變換，得到如下兩個(gè)加性分量，即
② 對(duì)數(shù)圖像做傅里葉變換，得到其對(duì)應(yīng)的頻域表示為：
③ 設(shè)計(jì)一個(gè)頻域?yàn)V波器H(u,v)，進(jìn)行對(duì)數(shù)圖像的頻域?yàn)V波。
④ 傅里葉反變換，返回空域?qū)?shù)圖像。
⑤ 取指數(shù)，得空域?yàn)V波結(jié)果。
綜上，同態(tài)濾波的基本步驟如下圖所示。

首先上面的分析一共有三點(diǎn)需要注意：
① 取對(duì)數(shù)，目的是基于我們假定的圖像模型將低頻和高頻信號(hào)進(jìn)行分離
② 然后頻域處理，即減弱低頻增強(qiáng)高頻達(dá)到增強(qiáng)細(xì)節(jié)的作用
③ 反操作得到處理后圖像
可以看出，同態(tài)濾波的關(guān)鍵在于濾波器H的設(shè)計(jì)。對(duì)于一幅光照不均勻的圖像，同態(tài)濾波可同時(shí)實(shí)現(xiàn)亮度調(diào)整和對(duì)比度提升，從而改善圖像質(zhì)量。為了壓制低頻的亮度分量，增強(qiáng)高頻的反射分量，濾波器H應(yīng)是一個(gè)高通濾波器，但又不能完全cut off 低頻分量，僅作適當(dāng)壓制。
因此，同態(tài)濾波器一般采用如下形式，即

其中，rL< 1, rH >1，控制濾波器幅度的范圍。Hhp通常為高通濾波器，如高斯（Gaussian）高通濾波器、巴特沃茲(Butterworth)高通濾波器、Laplacian濾波器等。
如果Hhp采用Gaussian高通濾波器，則有：
其中，D0為gaussian濾波器的截止頻域，c為一個(gè)常數(shù)，控制濾波器的形態(tài)，即從低頻到高頻過(guò)渡段的陡度（斜率），其值越大，斜坡帶越陡峭，見(jiàn)圖2。
其中我們需要關(guān)注的參數(shù)一共有4個(gè)，分別為：
① rh 高頻權(quán)重
②rl 低頻權(quán)重
③ c 高斯函數(shù)的陡峭程度(并不是很重要)
④d0 手動(dòng)區(qū)分低頻和高頻的比例
圖2 同態(tài)濾波器幅頻曲線

同態(tài)濾波作用
同態(tài)濾波利用去除乘性噪聲(multiplicative noise)，可以同時(shí)增加對(duì)比度以及標(biāo)準(zhǔn)化亮度，借此達(dá)到圖像增強(qiáng)的目的。
一副圖像可以表示為其照度(illumination)分量和反射(reflectance)分量的乘積，雖然在時(shí)域上這兩者是不可分離的，但是經(jīng)由傅立葉轉(zhuǎn)換兩者在頻域中可以線性分離。由于照度可視為環(huán)境中的照明，相對(duì)變化很小，可以看作是圖像的低頻成分；而反射率相對(duì)變化較大，則可視為高頻成分。通過(guò)分別處理照度和反射率對(duì)像元灰度值的影響，通常是借由高通濾波器(high-pass filter)，讓圖像的照明更加均勻，達(dá)到增強(qiáng)陰影區(qū)細(xì)節(jié)特征的目的。

代碼實(shí)現(xiàn)