2022年江西省研究生數(shù)學建模競賽

冰壺運動

原題再現(xiàn)：

??2022年2月4日至20日我國成功舉辦了北京冬季奧運會，北京成為全球首個舉辦過夏季奧運會和冬季奧運會的“雙奧之城”。北京冬奧會共設(shè)置了7個大項，15個分項，109個小項，其中冰壺運動由于其趣味性，觀賞性，技術(shù)性和協(xié)作性成為廣受歡迎和關(guān)注的一個項目。冰壺是一種冰上投擲性運動項目，它起源于14世紀的蘇格蘭，1924年作為表演項目被納入第一屆冬奧會，1998年被列為冬奧會的正式比賽項目。
??冰壺由三個部分組成：壺體、手柄和螺栓。冰壺圓周約為91.44厘米，高度約為11.43厘米，質(zhì)量約為19.96千克。比賽的標準場地長44.5米，寬4.32米，其中一端為本壘，畫有一個直徑為1.83米的圓作為球員的發(fā)球區(qū)；另一端為營壘，由4個直徑分別為0.15米、0.61米、1.22米和1.83米的同心圓組成。場地前后兩端各有一條藍色的實線，分別稱為前衛(wèi)線和后衛(wèi)線。冰壺擲出后，如果未通過前衛(wèi)線或者超過后衛(wèi)線都視作無效，將被清出場外。
??每場比賽兩隊參加，各派4個隊員上場，分為一壘、二壘、三壘、四壘，按順序依次交叉投壺，每局16壺，共進行10局。一名隊員投壺時，本隊兩名同伴可以在冰壺滑行前方用冰刷快速擦刷冰面，以控制冰壺的前進方向和速度。投壺方在力求將冰壺滑向圓心的同時，也可用冰壺將對方的冰壺撞出營壘或?qū)錾媳痉降谋鶋刈蚕驙I壘圓心。冰壺越過圓心線后，雙方僅有一名隊員可為己方的冰壺刷冰，且僅有主將可為對方的冰壺刷冰，以破壞對方戰(zhàn)術(shù)。
??請建立數(shù)學模型，完成以下任務(wù)：
??問題1 ：在不刷冰的情況下，分別采取何種策略，實現(xiàn)以下目標：
??(1)當營壘中沒有冰壺時，使得冰壺停在營壘中。
??(2)當營壘中有一個對方的冰壺時，將對方的冰壺撞出營壘，自己的冰壺停在營壘中。
??(3)當營壘中有一個對方的冰壺時，將對方的冰壺撞出營壘，同時自己的冰壺一起出營壘。
??(4)當營壘中有兩個對方的冰壺時，將對方的兩個冰壺都撞出營壘，自己停在營壘中。
??(5)當營壘中有對方的冰壺，也有己方的冰壺時，將對方的冰壺撞出營壘，而己方的冰壺仍留在營壘中。
??問題2：考慮刷冰的情況，回答問題1中的幾個問題。
??問題3：如果營壘前方已有冰壺，重新研究問題1和問題2。

問題背景：

??冰壺（Curling）被譽為“冰上的國際象棋”, 起源于 16 世紀的蘇格蘭冰上投擲性運動, 迄今為止有約 500 年的歷史, 由于其趣味性, 觀賞性, 技術(shù)性和協(xié)作性成為本次北京冬季奧運會廣受歡迎和關(guān)注的一個項目。

模型的建立與求解：

??問題1要求在不考慮刷冰的情況下，確定能夠?qū)崿F(xiàn)問題中多個目標的扔壺策略。為了描述卷曲的運動軌跡，建立了卷曲的進動模型、碰撞模型和均勻減速模型。然后，將問題中描述的情況分為多種投手投擲技術(shù)，并假設(shè)情況與問題描述相符。求解了假設(shè)條件下投手投擲的卷曲運動軌跡和初始位置、速度和角速度，并在四至五個問題中對投手投球位置進行了優(yōu)化，使策略更加合理。

非旋轉(zhuǎn)勻減速直線模型

??當賽道中沒有其他冰壺運動時，考慮到冰壺運動沒有旋轉(zhuǎn)的理想情況，冰壺運動可以簡化為均勻減速模型。卷曲不旋轉(zhuǎn)時卷曲底部的平均摩擦系數(shù)為μa，因此卷曲運動阻力為：

全部論文縮略圖：

程序代碼：

clc; clear; close all; %% load obs obs = load('obsdata.txt'); numofobs = length(obs(:,1)); %% set up color map for display cmap = [1 1 1; ...% 1 - white - 空地0 0 0; ...% 2 - black - 障礙 1 0 0; ...% 3 - red - 已搜索過的地方0 0 1; ...% 4 - blue - 下次搜索備選中心 0 1 0; ...% 5 - green - 起始點1 1 0];...% 6 - yellow - 到目標點的路徑 colormap(cmap); map = zeros(25); % 設(shè)置障礙 for j=1:numofobsxobs(j) = obs(j,1);yobs(j) = obs(j,2);map(xobs(j),yobs(j)) = 2; end map(1,25) = 5; % 起始點 map(25,1) = 6; % 目標點 image(1.5,1.5,map); grid on; axis image; %% nrows = 25; ncols = 25; start_node = sub2ind(size(map), 1, 25); dest_node = sub2ind(size(map), 25, 1); % Initialize distance array distanceFromStart = Inf(nrows,ncols); distanceFromStart(start_node) = 0; % For each grid cell this array holds the index of its parent parent = zeros(nrows,ncols); t0=clock; % Main Loop while true % Draw current map map(start_node) = 5; map(dest_node) = 6; image(1.5, 1.5, map); grid on; axis image; drawnow; % Find the node with the minimum distance [min_dist, current] = min(distanceFromStart(:)); if ((current == dest_node) || isinf(min_dist)) break; end; map(current) = 3; distanceFromStart(current) = Inf; [i, j] = ind2sub(size(distanceFromStart), current);neighbor = [i-1,j;... i+1,j;... i,j+1;... i,j-1] outRangetest = (neighbor(:,1)<1) + (neighbor(:,1)>nrows) +...(neighbor(:,2)<1) + (neighbor(:,2)>ncols ) locate = find(outRangetest>0); neighbor(locate,:)=[] neighborIndex = sub2ind(size(map),neighbor(:,1),neighbor(:,2)) for i=1:length(neighborIndex) if (map(neighborIndex(i))~=2) && (map(neighborIndex(i))~=3 && map(neighborIndex(i))~= 5) map(neighborIndex(i)) = 4; if distanceFromStart(neighborIndex(i))> min_dist + 1 distanceFromStart(neighborIndex(i)) = min_dist+1; parent(neighborIndex(i)) = current; end end end end TimeCost=etime(clock,t0) %% if (isinf(distanceFromStart(dest_node))) route = []; else %提取路線坐標route = [dest_node]; while (parent(route(1)) ~= 0) route = [parent(route(1)), route]; end % 動態(tài)顯示出路線 for k = 2:length(route) - 1 map(route(k)) = 7; pause(0.1); image(1.5, 1.5, map); grid on; axis image; end end axis off;

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總結(jié)

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