墨卡托投影和高斯-克吕格 (Gauss-Krüger) 投影
高斯-克呂格 (Gauss-Krüger) 投影
高斯-克呂格也稱作橢圓體版本的橫軸墨卡托投影，因為它與墨卡托投影類似，不同之處在于高斯-克呂格的圓柱體沿經線而不是赤道接觸球體或橢圓體。通過這種方法生成的等角投影不會保持真實的方向。中央經線位于感興趣區域的中心。這種中心對準方法可以最大程度減少該區域內所有屬性的變形。此投影最適合于南北分布的地區。
球體版本的投影由 Johann H. Lambert 于 1772 年提出。使用橢圓體校正的第一個公式由 Carl F. Gauss 于 1822 年開發。高斯-克呂格名稱指由 Louis Krüger 于 1912 年重新評估的橢圓體形式。高斯-克呂格坐標系和通用橫軸墨卡托 (UTM) 坐標系均基于此投影，而國家平面坐標系將其用于所有南北分布的區域。各個國家/地區都將此投影用于其地形圖和大比例坐標系。
投影屬性
以下幾個小節介紹了高斯-克呂格投影的屬性。
經緯網
高斯-克呂格是一個橫軸圓柱投影。赤道和中央經線投影為直線。其他經線投影為向中央經線凸出的復雜曲線。其他緯線也是復雜曲線，向最近的極點凸出。兩個極點均投影為點。經緯網沿赤道和中央經線對稱。由于數學不穩定性，經緯網與中央經線的夾角限制為 45°。
畸變
高斯-克呂格是一種等角地圖投影。它通常不會保持真實的方向，但是角度和形狀將保持最小比例。如果比例因子為 1.0，則沿中央經線的距離是精確的。如果比例因子小于 1.0，則將有兩條具有精確比例的近似（使用橢圓體時）直線，且在中央經線兩側保持等距。隨著距中央經線或上述兩條標準線的距離加大，面積、距離和比例畸變迅速增加。畸變值沿赤道和中央經線對稱。
使用方法
此投影適用于繪制范圍主要南北分布的大比例或較小的區域。該投影非常常用。許多國家/地區將其用于地形圖和大比例坐標系。高斯-克呂格坐標系、通用橫軸墨卡托 (UTM) 和國家平面均使用此地圖投影。
局限性
由于數學不穩定性，高斯-克呂格投影僅限于與中央經線成 45 度以內的投影數據。實際上，橢圓體或橢圓體上的范圍應限制為中央經線兩側 10 到 12° 范圍內。如果超過該范圍，投影數據可能不會被投影回相同位置。球體上的數據沒有這些限制。
墨卡托投影
墨卡托投影是一種等角圓柱地圖投影，最初創建該投影用于精確顯示羅盤方位，為海上航行提供保障。此投影的另一功能是能夠以最小比例精確而清晰地定義所有局部形狀。
它由 Gerardus Mercator 于 1569 年提出。投影的 Web 墨卡托變體是 web 地圖和在線服務的事實標準。
投影屬性
以下小節描述了墨卡托投影的屬性。
經緯網
墨卡托投影是一種圓柱投影。經線是彼此平行且等距分布的垂直線，并且其在接近極點時無限延伸。緯線是垂直于經線的水平直線，其長度與赤道相同，但其間距越靠近極點越大。極點投影到無窮大，無法在地圖上顯示。經緯網沿赤道和中央經線對稱。
畸變
墨卡托投影是一種等角地圖投影。方向、角度和形狀都將保持最小的比例。
此投影上繪制的任何直線都代表實際的羅盤方位。這些真實的方向線為恒向線，通常并不能反映兩點間的最短距離。
沿赤道或沿割緯線的距離是正確的。
面的變形隨著靠近兩極地區而不斷增大。例如，雖然格陵蘭島的大小只有南美洲的八分之一，但其在墨卡托投影中看上去卻比南美洲更大。畸變值沿特定的平行方向相同，并且在整個赤道和中央經線上對稱。
使用方法
該投影適用于繪制赤道附近地區（例如印度尼西亞和太平洋部分海域）的大比例地圖。由于其具有直恒向線屬性，因此建議用于標準海上航線圖。其變體 Web 墨卡托投影是 web 地圖和在線服務的標準。該投影經常被誤用于世界地圖、掛圖以及 web 地圖上的專題制圖。
參考鏈接:https://pro.arcgis.com/zh-cn/pro-app/2.7/help/mapping/properties/list-of-supported-map-projections.htm
墨卡托投影、高斯-克呂格投影、UTM投影
1． 墨卡托(Mercator)投影
墨卡托(Mercator)投影，是一種"等角正切圓柱投影”，荷蘭地圖學家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年擬定，假設地球被圍在一中空的圓柱里，其標準緯線與圓柱相切接觸，然后再假想地球中心有一盞燈，把球面上的圖形投影到圓柱體上，再把圓柱體展開，這就是一幅選定標準緯線上的“墨卡托投影”繪制出的地圖。墨卡托投影沒有角度變形，由每一點向各方向的長度比相等，它的經緯線都是平行直線，且相交成直角，經線間隔相等，緯線間隔從標準緯線向兩極逐漸增大。墨卡托投影的地圖上長度和面積變形明顯，但標準緯線無變形，從標準緯線向兩極變形逐漸增大，但因為它具有各個方向均等擴大的特性，保持了方向和相互位置關系的正確。在地圖上保持方向和角度的正確是墨卡托投影的優點，墨卡托投影地圖常用作航海圖和航空圖，如果循著墨卡托投影圖上兩點間的直線航行，方向不變可以一直到達目的地，因此它對船艦在航行中定位、確定航向都具有有利條件，給航海者帶來很大方便。“海底地形圖編繪規范”（GB/T 17834-1999，海軍航保部起草）中規定1：25萬及更小比例尺的海圖采用墨卡托投影，其中基本比例尺海底地形圖（1：5萬，1：25萬，1：100萬）采用統一基準緯線30°，非基本比例尺圖以制圖區域中緯為基準緯線。基準緯線取至整度或整分。
墨卡托投影坐標系取零子午線或自定義原點經線(L0)與赤道交點的投影為原點，零子午線或自定義原點經線的投影為縱坐標X軸，赤道的投影為橫坐標Y軸，構成墨卡托平面直角坐標系。
2． 高斯-克呂格(Gauss-Kruger)投影和UTM（Universal Transverse Mercator）投影
1）高斯-克呂格投影性質
高斯-克呂格(Gauss-Kruger)投影簡稱“高斯投影”，又名"等角橫切橢圓柱投影”，地球橢球面和平面間正形投影的一種。德國數學家、物理學家、天文學家高斯（Carl FriedrichＧauss，1777一 1855）于十九世紀二十年代擬定，后經德國大地測量學家克呂格（Johannes Kruger，1857～1928）于 1912年對投影公式加以補充，故名。
該投影按照投影帶中央子午線投影為直線且長度不變和赤道投影為直線的條件，確定函數的形式，從而得到高斯一克呂格投影公式。投影后，除中央子午線和赤道為直線外， 其他子午線均為對稱于中央子午線的曲線。設想用一個橢圓柱橫切于橢球面上投影帶的中央子午線，按上述投影條件，將中央子午線兩側一定經差范圍內的橢球面正形投影于橢圓柱面。將橢圓柱面沿過南北極的母線剪開展平，即為高斯投影平面。取中央子午線與赤道交點的投影為原點，中央子午線的投影為縱坐標x軸，赤道的投影為橫坐標y軸，構成高斯克呂格平面直角坐標系。
高斯-克呂格投影在長度和面積上變形很小，中央經線無變形，自中央經線向投影帶邊緣，變形逐漸增加，變形最大之處在投影帶內赤道的兩端。由于其投影精度高，變形小，而且計算簡便（各投影帶坐標一致，只要算出一個帶的數據，其他各帶都能應用），因此在大比例尺地形圖中應用，可以滿足軍事上各種需要，能在圖上進行精確的量測計算。
2）高斯-克呂格投影分帶
按一定經差將地球橢球面劃分成若干投影帶,這是高斯投影中限制長度變形的最有效方法。分帶時既要控制長度變形使其不大于測圖誤差，又要使帶數不致過多以減少換帶計算工作，據此原則將地球橢球面沿子午線劃分成經差相等的瓜瓣形地帶,以便分帶投影。通常按經差6度或3度分為六度帶或三度帶。六度帶自0度子午線起每隔經差6度自西向東分帶，帶號依次編為第 1、2…60帶。三度帶是在六度帶的基礎上分成的，它的中央子午線與六度帶的中央子午線和分帶子午線重合，即自 1.5度子午線起每隔經差3度自西向東分帶，帶號依次編為三度帶第 1、2…120帶。我國的經度范圍西起 73°東至135°，可分成六度帶十一個，各帶中央經線依次為75°、81°、87°、……、117°、123°、129°、135°，或三度帶二十二個。六度帶可用于中小比例尺（如 1：250000）測圖，三度帶可用于大比例尺（如 1：10000）測圖，城建坐標多采用三度帶的高斯投影。
（3）高斯-克呂格投影坐標
高斯- 克呂格投影是按分帶方法各自進行投影，故各帶坐標成獨立系統。以中央經線投影為縱軸(x), 赤道投影為橫軸(y),兩軸交點即為各帶的坐標原點。縱坐標以赤道為零起算，赤道以北為正，以南為負。我國位于北半球，縱坐標均為正值。橫坐標如以中央經線為零起算，中央經線以東為正，以西為負，橫坐標出現負值，使用不便，故規定將坐標縱軸西移500公里當作起始軸，凡是帶內的橫坐標值均加 500公里。由于高斯-克呂格投影每一個投影帶的坐標都是對本帶坐標原點的相對值，所以各帶的坐標完全相同，為了區別某一坐標系統屬于哪一帶，在橫軸坐標前加上帶號，如(4231898m,21655933m)，其中21即為帶號。
（4）高斯-克呂格投影與UTM投影
某些國外的軟件如ARC/INFO或國外儀器的配套軟件如多波束的數據處理軟件等，往往不支持高斯-克呂格投影，但支持UTM投影，因此常有把UTM投影坐標當作高斯-克呂格投影坐標提交的現象。
UTM投影全稱為“通用橫軸墨卡托投影”，是等角橫軸割圓柱投影（高斯-克呂格為等角橫軸切圓柱投影），圓柱割地球于南緯80度、北緯84度兩條等高圈，該投影將地球劃分為60個投影帶，每帶經差為6度，已被許多國家作為地形圖的數學基礎。UTM投影與高斯投影的主要區別在南北格網線的比例系數上，高斯-克呂格投影的中央經線投影后保持長度不變，即比例系數為1，而UTM投影的比例系數為0.9996。UTM投影沿每一條南北格網線比例系數為常數，在東西方向則為變數，中心格網線的比例系數為0.9996，在南北縱行最寬部分的邊緣上距離中心點大約 363公里，比例系數為 1.00158。
高斯-克呂格投影與UTM投影可近似采用 Xutm=0.9996 * X高斯，Yutm=0.9996 * Y高斯進行坐標轉換。以下舉例說明(基準面為WGS84)：
| 緯度值（X）32 | 3543600.9 | 3542183.5 | 3543600.9*0.9996 ≈ 3542183.5 |
| 經度值（Y）121 | 21310996.8 | 311072.4 | (310996.8-500000)*0.9996+500000 ≈ 311072.4 |
注：坐標點（32,121）位于高斯投影的21帶，高斯投影Y值21310996.8中前兩位“21”為帶號；坐標點（32,121）位于UTM投影的51帶，上表中UTM投影的Y值沒加帶號。因坐標縱軸西移了500000米，轉換時必須將Y值減去500000乘上比例因子后再加500000。
單點轉換步驟如下： （1）選擇是高斯正轉換還是反轉換，缺省為經緯度轉換到高斯投影坐標，投影坐標單位為米。 （2）選擇大地基準面，缺省北京54，如果是GPS定位數據別忘了切換為WGS84。 （3）選擇分帶，3度或6度， 缺省為6度。 （4）輸入中央經度，20帶（114°E～120°E）中央經度為117度，21帶（120°E～126°E）中央經度為123度。 （5）如正向投影，選擇經緯度輸入數據格式，有三個選項，缺省為十進制度格式。具體輸入方式如下例：
| 十進制度 | 35.445901° | 122.997344° | 35.445901 | 122.997344 |
| 度分 | 35°26.7541′ | 122°59.8406′ | 3526.7541 | 12259.8406 |
| 度分秒 | 35°26′45.245″ | 122°59′50.438″ | 352645.245 | 1225950.438 |
（6）正投影按選定格式在“輸入”欄輸入經緯度值，反投影輸入以米為單位的X、Y坐標值。
（7）單擊“單點轉換”按鈕。
（8）在“輸出”欄查看計算結果。
批量轉換步驟如下：
（1）準備好需要轉換的輸入數據文件，要求是文本文件，分兩列，第一列緯度值或縱向坐標值，第二列經度值或橫向坐標值，兩列之間用空格分開。正向投影時，緯度值及經度值格式可以有三種選擇，缺省當作十進制度處理；反向投影時，縱向及橫向坐標值必須以米為單位。
下例為度分秒格式(WGS84)的6°帶正投影輸入數據文件 testdata.txt352645.245 1225950.438353800.402 1230000.378351600.519 1225959.506345800.101 1225959.8343600.336 1230000.26341400.018 1225959.897335159.17 1225959.46333000.08 1230000.28（2）選擇是高斯正轉換還是反轉換，缺省為經緯度轉換到高斯投影坐標，投影坐標單位為米。（3）選擇大地基準面，缺省北京54，如果是GPS定位數據別忘了切換為WGS84。（4）選擇分帶，3度或6度， 缺省為6度。（5）輸入中央經度，20帶（114°E～120°E）中央經度為117度,21帶（120°E～126°E）中央經度為123度。（6）如正向投影，選擇輸入數據文件中的經緯度輸入數據格式，有三個選項，缺省為十進制度格式。（7）單擊“批量轉換”按鈕。彈出打開文件對話框，輸入你的數據文件名。（8）輸入轉換結果文件名，單擊“保存”后，程序開始進行計算。（9）打開輸出文件查看計算結果，結果分五列，第一序號,第二列輸入緯度值或縱向坐標值，第三列輸入經度值或橫向坐標值,第四列轉換后緯度值或縱向坐標值，第五列轉換后經度值或橫向坐標值。 下例為度分秒格式(WGS84)的6°帶正投影轉換結果數據文件 result.txt 1 352645.245 1225950.438 3924063.3 21499758.92 353800.402 1230000.378 3944871.4 21500009.53 351600.519 1225959.506 3904193.8 21499987.54 345800.101 1225959.8 3870898.1 21499994.95 343600.336 1230000.26 3830228.5 21500006.66 341400.018 1225959.897 3789544.4 21499997.47 335159.17 1225959.46 3748846.4 21499986.18 333000.08 1230000.28 3708205 21500007.2二、分帶方法
我國采用6度分帶和3度分帶：
1∶2.5萬及1∶5萬的地形圖采用6度分帶投影，即經差為6度，從零度子午線開始，自西向東每個經差6度為一投影帶，全球共分60個帶，用1，2，3，4，5，……表示．即東經0～6度為第一帶，其中央經線的經度為東經3度，東經6～12度為第二帶，其中央經線的經度為9度。
1∶1萬的地形圖采用3度分帶，從東經1.5度的經線開始，每隔3度為一帶，用1，2，3，……表示，全球共劃分120個投影帶，即東經1.5～ 4.5度為第1帶，其中央經線的經度為東經3度，東經4.5～7.5度為第2帶，其中央經線的經度為東經6度．我省位于東經113度－東經120度之間，跨第38、39、40共計3個帶，其中東經115.5度以西為第38帶，其中央經線為東經114度；東經115.5～118.5度為39帶，其中央經線為東經117度；東經118.5度以東到山海關為40帶，其中央經線為東經120度。地形圖上公里網橫坐標前2位就是帶號，例如：1∶5萬地形圖上的橫坐標為20345486，其中20即為帶號，345486為橫坐標值。2．當地中央經線經度的計算六度帶中央經線經度的計算：當地中央經線經度＝６°×當地帶號－３°，例如：地形圖上的橫坐標為２０３４５，其所處的六度帶的中央經線經度為：６°×２０－３°＝１１７°（適用于１∶２．５萬和１∶５萬地形圖）。三度帶中央經線經度的計算：中央經線經度＝３°×當地帶號（適用于１∶１萬地形圖）。
參考鏈接:https://www.cnblogs.com/arxive/p/6694225.html
一、參心坐標系與地心坐標系
1.1 參心坐標系reference-ellipsoid-centric coordinate system
是以參考橢球的幾何中心為原點的大地坐標系。“參心”意指參考橢球的中心。
通常分為：參心空間直角坐標系（以x，y，z為其坐標元素）和參心大地坐標系（以B，L，H為其坐標元素）。參心坐標系是在參考橢球內建立的O-XYZ坐標系。原點O為參考橢球的幾何中心，X軸與赤道面和首子午面的交線重合，向東為正。Z軸與旋轉橢球的短軸重合，向北為正。Y軸與XZ平面垂直構成右手系。在測量中，為了處理觀測成果和傳算地面控制網的坐標，通常須選取一參考橢球面作為基本參考面，選一參考點作為大地測量的起算點（大地原點），利用大地原點的天文觀測量來確定參考橢球在地球內部的位置和方向。
參心大地坐標的應用十分廣泛，它是經典大地測量的一種通用坐標系。根據地圖投影理論，參心大地坐標系可以通過高斯投影計算轉化為平面直角坐標系，為地形測量和工程測量提供控制基礎。由于不同時期采用的地球橢球不同或其定。
北京54、西安80及常見的地方坐標系均為參心坐標系。
1.2 地心坐標系geocentric coordinate system
以地球質心為原點建立的空間直角坐標系，或以球心與地球質心重合的地球橢球面為基準面所建立的大地坐標系。
以地球質心(總橢球的幾何中心)為原點的大地坐標系。通常分為地心空間直角坐標系(以x，y，z為其坐標元素)和地心大地坐標系(以B，L，H為其坐標元素)。地心坐標系是在大地體內建立的O-XYZ坐標系。原點O設在大地體的質量中心，用相互垂直的X，Y，Z三個軸來表示，X軸與首子午面與赤道面的交線重合，向東為正。Z軸與地球旋轉軸重合，向北為正。Y軸與XZ平面垂直構成右手系。
20世紀50年代之前，一個國家或一個地區都是在使所選擇的參考橢球與其所在地區的大地水準面最佳擬合的條件下，按弧度測量方法來建立各自的局部大地坐標系的。由于當時除海洋上只有稀疏的重力測量外，大地測量工作只能在各個大陸上進行，而各大陸的局部大地坐標系間幾乎沒有聯系。不過在當時的科學發展水平上，局部大地坐標系已能基本滿足各國大地測量和制圖工作的要求。但是，為了研究地球形狀的整體及其外部重力場以及地球動力現象，特別是50年代末，人造地球衛星和遠程彈道武器出現后，為了描述它們在空間的位置和運動，以及表示其地面發射站和跟蹤站的位置，都必須采用地心坐標系。因此，建立全球地心坐標系（也稱為世界坐標系）已成為大地測量所面臨的迫切任務。
WGS-84、CGCS2000，都是屬于地心坐標系。
二、我國常用的坐標系
2.1 北京54坐標系
北京54坐標系(BJZ54)是指北京54坐標系為參心大地坐標系，大地上的一點可用經度L54、緯度B54和大地高H54定位，它是以克拉索夫斯基橢球為基礎，經局部平差后產生的坐標系。
新中國成立以后，我國采用了前蘇聯的克拉索夫斯基橢球參數，并與前蘇聯1942年坐標系進行聯測，通過計算建立了我國大地坐標系，定名為1954年北京坐標系。因此，1954年北京坐標系可以認為是前蘇聯1942年坐標系的延伸。它的原點不在北京而是在前蘇聯的普爾科沃。它是將我國一等鎖與原蘇聯遠東一等鎖相連接，然后以連接處呼瑪、吉拉寧、東寧基線網擴大邊端點的原蘇聯1942年普爾科沃坐標系的坐標為起算數據，平差我國東北及東部區一等鎖，這樣傳算過來的坐標系就定名為1954年北京坐標系。
北京54采用Krassovsky 橢球參數為：
長半軸a=6378245m；
短半軸=6356863.0188m；
扁率α=1/298.3；
第一偏心率平方=0.006693421622966
第二偏心率平方=0.006738525414683
2.2 1980西安坐標系
1978年4月在西安召開全國天文大地網平差會議，確定重新定位，建立我國新的坐標系。為此有了1980年國家大地坐標系。1980年國家大地坐標系采用地球橢球基本參數為1975年國際大地測量與地球物理聯合會第十六屆大會推薦的數據。
該坐標系的大地原點設在我國中部的陜西省涇陽縣永樂鎮，位于西安市西北方向約60公里，故稱1980年西安坐標系，又簡稱西安大地原點。
基準面采用青島大港驗潮站1952－1979年確定的黃海平均海水面（即1985國家高程基準）。
西安80采用的地球橢球基本參數為1975年國際大地測量與地球物理聯合會第十六屆大會推薦的數據，即IAG 75地球橢球體。IAG 75橢球的參數為：長軸6378140m，短軸6356755m，扁率1/298.25722101。
在建立C80坐標系時有以下先決條件：
橢球參數采用IUG 1975年大會推薦的參數因而可得C80橢球兩個最常用的幾何參數為：
長半軸a=6378140±5（m）
短半軸b=6356755.2882m
扁 率α=1/298.2570
第一偏心率平方=0.00669438499959
第二偏心率平方=0.00673950181947
西安80與北京54的區別：
西安80坐標系與北京54坐標系其實是一種橢球參數的轉換作為這種轉換在同一個橢球里的轉換都是嚴密的，而在不同的橢球之間的轉換是不嚴密，因此不存在一套轉換參數可以全國通用的，在每個地方會不一樣，因為它們是兩個不同的橢球基準。
北京54和西安80是兩種不同的大地基準面，不同的參考橢球體，因而兩種地圖下，同一個點的坐標是不同的，無論是三度帶六度帶坐標還是經緯度坐標都是不同的。
2.3 CGCS2000
CGCS2000是2000國家大地坐標系，屬于地心大地坐標系統，該系統以ITRF 97 參考框架為基準， 參考框架歷元為2000.0。
該坐標系是通過中國GPS 連續運行基準站、 空間大地控制網以及天文大地網與空間地網聯合平差建立的地心大地坐標系統。2000（中國）國家大地坐標系以ITRF 97 參考框架為基準, 參考框架歷元為2000.0。
2000國家大地坐標系的大地測量基本常數分別為:
長半軸 a = 6 378 137 m;
地球引力常數 GM =3.986004418×1014m3s-2;
扁率f = 1/ 298. 257 222 101;
地球自轉角速度X =7.292115×10-5rad s-1
20世紀50年代，為滿足測繪工作的迫切需要 ，中國采用 了1954年北京坐標系。1954年之后，隨著天文大地網布設任務的完成，通過天文大地網整體平差，于20世紀80年代初中國又建立了1980西安坐標系。隨著情況的變化和時間的推移，上述兩個以經典測量技術為基礎的局部大地坐標系，已經不能適應科學技術特別是空間技術發展，不能適應中國經濟建設和國防建設需要。中國大地坐標系的更新換代，是經濟建設、國防建設、社會發展和科技發展的客觀需要。
以地球質量中心為原點的地心大地坐標系，是21世紀空間時代全球通用的基本大地坐標系。以空間技術為基礎的地心大地坐標系，是中國新一代大地坐標系的適宜選擇。地心大地坐標系可以滿足大地測量、地球物理、天文、導航和航天應用以及經濟、社會發展的廣泛需求。歷經多年，中國測繪、地震部門和科學院有關單位為建立中國新一代大地坐標系作了大量基礎性工作，20世紀末先后建成全國 GPS一、二級網，國家GPS A、B級網，中國地殼運動觀測網絡和許多地殼形變網，為地心大地坐標系的實現奠定了較好的基礎。
國家2000與WGS-84的區別
CGCS2000的定義與WGS84實質一樣。采用的參考橢球非常接近。扁率差異引起橢球面上的緯度和高度變化最大達0.1mm。當前測量精度范圍內，可以忽略這點差異。可以說兩者相容至cm級水平，但若一點的坐標精度達不到cm水平，則不認為CGCS2000和WGS84的坐標是相容的。
國家與北京54和西安80的區別
CGCS2000和1954或1980坐標系，在定義和實現上有根本區別。局部坐標和地心坐標之間的變換是不可避免的。坐標變換通過聯合平差來實現，而一邊通過一定變換模型來實現。當采用模型變換時，變換模型的選擇應依據精度要求而定。對于高精度（好于0.5m）要求，可采用最小曲率法或其他方法的格網模型，對于中等精度（0.55m）要求，可采用七參數模型，對于低精度（510m）要求，可采用四參數或者三參數模型。
三、地圖投影
3.1 地圖投影的概念
地圖投影是利用一定數學法則把地球表面的經、緯線轉換到平面上的理論和方法。
由于地球是一個赤道略寬兩極略扁的不規則的梨形球體，故其表面是一個不可展平的曲面，所以運用任何數學方法進行這種轉換都會產生誤差和變形，為按照不同的需求縮小誤差，就產生了各種投影方式。
3.2 幾種不同投影方式下的世界地圖
3.3 常見的投影方式
3.3.1 墨卡托(Mercator)投影
墨卡托(Mercator)投影，是一種”等角正切圓柱投影”，荷蘭地圖學家墨卡托在1569年擬定, 假設地球被圍在一中空的圓柱里，其標準緯線與圓柱相切接觸，然后再假想地球中心有一盞燈，把球面上的圖形投影到圓柱體上，再把圓柱體展開，這就是一幅選定標準緯線上的“墨卡托投影”繪制出的地圖。 墨卡托投影沒有角度變形，由每一點向各方向的長度比相等，它的經緯線都是平行直線，且相交成直角，經線間隔相等，緯線間隔從標準緯線向兩極逐漸增大。墨卡托投影的地圖上長度和面積變形明顯，但標準緯線無變形，從標準緯線向兩極變形逐漸增大，但因為它具有各個方向均等擴大的特性，保持了方向和相互位置關系的正確。
在地圖上保持方向和角度的正確是墨卡托投影的優點，墨卡托投影地圖常用作航海圖和航空圖，如果循著墨卡托投影圖上兩點間的直線航行，方向不變可以一直到達目的地，因此它對船艦在航行中定位、確定航向都具有有利條件，給航海者帶來很大方便。 “海底地形圖編繪規范”中規定1：25萬及更小比例尺的海圖采用墨卡托投影，其中基本比例尺海底地形圖（1：5萬，1：25萬，1： 100萬）采用統一基準緯線30°，非基本比例尺圖以制圖區域中緯為基準緯線。基準緯線取至整度或整分。
墨卡托投影對透視圓筒投影改造點：要使圓筒投影稱為等角的性質，必須使由赤道向兩極經線逐漸伸長的倍數與經線上各點相應的緯度擴大的倍數相同。
從上圖中可以看出，X軸的刻度是等距的，Y軸方向越靠近兩極變形越大。假設墨卡托投影的坐標系原點為(0，lambda_0) ，表示X軸為赤道，Y軸則在經度為lambda_0處垂直于赤道。 墨卡托投影公式即為：
其中，lambda 為經度， phi 為緯度。左側為正算，右側為反算。
即有經緯度（ phi，lambda）對應的墨卡托平面坐標即為（xR，yR）。很明顯，y方向的距離只有在赤道附近才是接近實際距離的。
3.3.2 高斯-克呂格(Gauss-Kruger)投影
高斯-克呂格(Gauss-Kruger)投影簡稱“高斯投影”，又名”等角橫切橢圓柱投影”，地球橢球面和平面間正形投影的一種。德國數學家、物理學家、天文學家高斯（Carl FriedrichＧauss，1777一 1855）于十九世紀二十年代擬定，后經德國大地測量學家克呂格（Johannes Kruger，1857～1928）于 1912年對投影公式加以補充，故名。
該投影按照投影帶中央子午線投影為直線且長度不變和赤道投影為直線的條件，確定函數的形式，從而得到高斯一克呂格投影公式。投影后，除中央子午線和赤道為直線外， 其他子午線均為對稱于中央子午線的曲線。設想用一個橢圓柱橫切于橢球面上投影帶的中央子午線，按上述投影條件，將中央子午線兩側一定經差范圍內的橢球面正形投影于橢圓柱面。將橢圓柱面沿過南北極的母線剪開展平，即為高斯投影平面。取中央子午線與赤道交點的投影為原點，中央子午線的投影為縱坐標x軸，赤道的投影為橫坐標y軸，構成高斯克呂格平面直角坐標系。
高斯-克呂格投影在長度和面積上變形很小，中央經線無變形，自中央經線向投影帶邊緣，變形逐漸增加，變形最大之處在投影帶內赤道的兩端。由于其投影精度高，變形小，而且計算簡便（各投影帶坐標一致，只要算出一個帶的數據，其他各帶都能應用），因此在大比例尺地形圖中應用，可以滿足軍事上各種需要，能在圖上進行精確的量測計算。
按一定經差將地球橢球面劃分成若干投影帶,這是高斯投影中限制長度變形的最有效方法。分帶時既要控制長度變形使其不大于測圖誤差，又要使帶數不致過多以減少換帶計算工作，據此原則將地球橢球面沿子午線劃分成經差相等的瓜瓣形地帶,以便分帶投影。通常按經差6度或3度分為六度帶或三度帶。六度帶自0度子午線起每隔經差6度自西向東分帶，帶號依次編為第 1、2…60帶。三度帶是在六度帶的基礎上分成的，它的中央子午線與六度帶的中央子午線和分帶子午線重合，即自 1.5度子午線起每隔經差3度自西向東分帶，帶號依次編為三度帶第 1、2…120帶。我國的經度范圍西起 73°東至135°，可分成六度帶十一個，各帶中央經線依次為75°、81°、87°、……、117°、123°、129°、135°，或三度帶二十二個。六度帶可用于中小比例尺（如 1：250000）測圖，三度帶可用于大比例尺（如 1：10000）測圖，城建坐標多采用三度帶的高斯投影。
高斯投影正算公式：
高斯投影反算公式：
高斯投影坐標正反算公式的幾何解釋：
3.3.3 通用橫軸墨卡托（UTM，Universal Transverse Merecator）投影
與高斯克呂格投影相似，將世界分為60個投影帶，每帶經差為6°，經度自180°W和174°W之間為起始帶，且連續向東計算，帶的編號系統與1:100萬比例尺地圖有關規定是一致的。我國的衛星影像資料通常采用UTM投影。
UTM投影為橢圓柱橫正軸割地球橢球體，橢圓柱的中心線位于橢球體赤道面上，且通過橢球體質點。從而將橢球體上的點投影到橢圓柱上。兩條割線圓在UTM投影圖上長度無變，即2條標準經線圓。兩條割線圓之正中間為中央經線圓，中央經線投影后的長度為其投影前的0.9996倍，比例因子k=投影后的長度/投影前的實際長度。則標準割線和中央經線的經度差為1.6206°，即1°37′14.244″。
UTM 經度區范圍為1到60，其中58個區的東西跨度為 6°。經度區涵蓋了地球中緯度范圍從 80°S 到 84°N 之間的所有區域。一共有 20個UTM 緯度區，每個區的南北跨度為 8°；使用字母 C 到 X 標識（其中沒有字母 I 和 O）。A、B、Y、Z 區不在系統范圍以內，它們覆蓋了南極和北極區。
高斯克呂格投影與UTM投影的區別：高斯-克呂格投影與UTM投影都是橫軸墨卡托投影的變種。
從投影幾何方式看，高斯-克呂格投影是“等角橫切橢圓柱投影”，投影后中央經線保持長度不變，即比例系數為1；UTM投影是“等角橫軸割圓柱投影”，圓柱割地球于南緯80度、北緯84度兩條等高圈，投影后兩條割線上沒有變形，中央經線上長度比 0.9996。
從計算結果看，兩者主要差別在比例因子上，高斯-克呂格投影中央經線上的比例系數為1，UTM投影為0.9996，高斯-克呂格投影與UTM投影可近似采用 X[UTM]=0.9996 * X[高斯]，Y[UTM]=0.9996 * Y[高斯]，進行坐標轉換（注意：如坐標縱軸西移了500000米，轉換時必須將Y值減去500000乘上比例因子后再加500000）。從分帶方式看，兩者的分帶起點不同，高斯-克呂格投影自0度子午線起每隔經差6度自西向東分帶，第1帶的中央經度為3°；UTM投影自西經180°起每隔經差6度自西向東分帶，第1帶的中央經度為-177°，因此高斯-克呂格投影的第1帶是UTM的第31帶。此外，兩投影的東偽偏移（False_Easting）都是500公里，高斯-克呂格投影北偽偏移（False_Northing）為零，UTM北半球投影北偽偏移（False_Northing）為零，南半球則為10000公里。
3.3.4 蘭伯特Lambert投影（正軸等角割圓錐投影）
– 適用于小于1：100萬（包括1：100萬)的地圖。
– 最適用于中緯度的一種投影。它類似于Albers投影，不同之處在于其描繪形狀比描繪面積更準確。
– 由于我國位于中緯度地區，中國地圖和分省地圖經常采用割圓錐投影（Lambert或Albers投影）：
中國地圖的中央經線常位于東經105度兩條標準緯線分別為北緯25度和北緯47度– 各省的參數可根據地理位置和輪廓形狀初步加以判定。例如甘肅省的參數為：
中央經線為東經101度兩條標準緯線分別為北緯34度和41度– 投影方法：
圓錐投影通常基于兩條標準緯線，從而使其成為割投影。超過標準緯線的緯度間距將增加。這是唯一常用的將兩極表示為單個點的圓錐投影。也可使用單條標準緯線和比例尺因子定義。如果比例尺因子不等于1.0，投影實際上將變成割投影。3.3.5 阿伯斯Albers投影（正軸等積割圓錐投影）
– 也稱“雙標準緯線等積圓錐投影”，為阿伯斯（Albers）擬定。投影區域面積保持與實地相等。
– 最適合于東西方向分布的大陸板塊，不適合南北方向分布的大陸板塊。
– 在處理顯示400萬、100萬的全國數據時為了保持等面積特性，經常采用Albers投影。
上圖為Albers投影的世界地圖
四、坐標轉換
4.1 簡介
坐標轉換是空間實體的位置描述，是從一種坐標系統變換到另一種坐標系統的過程。通過建立兩個坐標系統之間一一對應關系來實現。通常坐標轉換有平移、縮放、旋轉三個方面的轉換。本文只詳細講述關于旋轉部分的內容。
坐標轉換的過程涉及到空間坐標、平面坐標及投影。
1）三維轉換：不同橢球體間轉換，例如：WGS84<——>北京54, WGS84<——>西安54, 西安54<——>北京54。常采用七參數法、三參數法。
2）二維轉換：同一橢球體下轉換，如：北京54<——>地方坐標（該地方坐標是基于北京54建立的），常采用四參數法。
不同橢球體的坐標轉換，需要用空間直角坐標來計算，采用三參數（1個點）或七參數（3個點）；同一橢球體的坐標轉換，基于高斯平面坐標來計算，采用四參數（2個點），如果公共點多可以采用最小二乘法擬合，求取最佳參數。
以WGS84坐標轉地方坐標系為例，其流程為：WGS84——>北京54——>地方坐標，詳細步驟如下：
1）（B，L，H）84——（X，Y，Z）84，空間大地坐標到空間直角坐標的轉換。
2）（X，Y，Z）84——（X，Y，Z）54，坐標基準的轉換，即Datum轉換。通常有三種轉換方法：七參數、簡化三參數、Molodensky。
3）（X，Y，Z）54——（B，L，H）54，空間直角坐標到空間大地坐標的轉換。
4）（B，L）54——（x，y）54， 高斯投影正算。
5）（x，y）54——（x0，y0）54，地方坐標轉換，常用四參數法。
上述1-5步驟中，所有的轉換公式都是公開的，但是轉換參數有些是公開的，有些是非公開的。
公開參數步驟：1、3、4步驟需要的參數都是公開的。
待解參數步驟：2、4的參數是非公開的，需要找測繪部門去轉換申請，或利用同名點求取轉換的參數，步驟2，采用三參數（1個點）或七參數（3個點）；步驟4，采用四參數（2個點），如果同名點多可以采用最小二乘法擬合，求取最佳參數。
坐標轉換公開的參數：同一空間坐標系統，大地坐標和直角坐標的轉換，空間坐標進行變換為投影坐標的參數。
坐標轉換非公開的參數：不同空間坐標系統，各坐標之間的轉化。
WGS84坐標轉地方坐標流程圖
地方坐標轉大地坐標流程圖（蔣小軍,2010）
4.2 七參數橢球轉換
七參數主要分為3類參數，旋轉、縮放和平移。
縮放，表示為k，主要是由于測量誤差產生的；
平移為3個坐標軸方向上的平移，表示為dX、dY、dZ，這是由于原點不一樣產生的；
旋轉為3個坐標軸的旋轉，表示為rX、rY、rZ，這是坐標軸指向不一致產生的。
平移的單位為對應的長度單位，我們常用米；旋轉的單位為秒，原因是各個坐標系間指向的差異都很小；縮放的單位是PPM（part(s) per million，百萬分之一），也就是說縮放是一個特別小的數值，這是因為坐標轉換前我們都會率先統一單位，所以縮放數值也就體現了測量誤差等因素的影響。
以WGS84 坐標系與1980 年國家大地坐標系的轉換為例：
如果用七參數法來實現，求解前必須確定控制網中各點對的距離。如果兩點間距離超過15 公里，必須考慮曲面因素即兩種不同坐標系的橢球參數，避免因橢球的差異，導致轉換后所得坐標殘差過大，精度過低，為了保證精度必須采用七參數法。如果兩點的距離小于10 公里，曲面因素影響幾乎可以忽略，所以采用四參數等精度較低的轉換方法來轉換。
七參數轉換主要有以下方法：
①通過衛星定位接收機測得WGS-84 大地坐標并轉換至西安80 大地坐標，再通過高斯投影將西安80 的大地坐標轉換到西安80 平面直角坐標。
②通過衛星定位接收機測得WGS-84 大地坐標，先以高斯投影將其變換至同橢球下的平面直坐標X、Y、h84，之后在平面坐標系中將WGS84 下的平面坐標轉換成西安80 平面直角坐標。
方法一采用的是不同大地坐標系的轉換模型，七參數包括3個旋轉參數、3 個平移參數和1 個尺度參數，但是考慮到兩種大地坐標的橢球參數的不同，為了提高精度，減少不同橢球引起的變化，還需要增加兩個變換參數。
方法二的原理是不同空間直角坐標系的轉換模型，通常采用布爾沙(Bursa)模型，參數由3 個平移參數、3 個旋轉參數和1 個尺度參數組成。通過GNSS 靜態觀測獲得的WGS84大地坐標，通過轉換可得同一橢球系的空間直角坐標，再結合其他橢球至少3 個已知控制點成果的公共點，采用間接平差法，通過高斯投影轉換為西安80 坐標系大地坐標;最后再轉換得到空間直角坐標。七參數轉換公式如下：
4.3 三參數橢球轉換
三參數坐標轉換公式在假設兩坐標系間各坐標軸相互平行，軸系間不存在歐勒角的條件下得出的。
布爾莎七參數轉換模型是一個嚴密的轉換公式。一般而言，只需已知3 個分布在空間的不同公共點，便能解算出其可靠的轉換參數。若公共點分布區域較小，將導致平移參數與旋轉參數間的強相關性，使其系數矩陣的條件數變大，從而影響轉換參數解的穩定性。
因此，將七參數模型中的旋轉參數與縮放比例尺度參數忽略，可得到適用于小區域范圍的三參數轉換模型：
式中，(XT，YT，ZT) 為新坐標系坐標;(X0，Y0，Z0) 為原坐標系坐標;(dx，dy，dz)T 為坐標轉換平移參數。該模型只需要一個公共點便可求解出轉換的平移參數，若公共點個數大于1，平移參數可設定為公共點坐標的平均值。
一般區域范圍不大，最遠點間的距離不大于30km（經驗值）情況下的坐標轉換，可以采用三參數。
4.4 四參數橢球轉換
在布爾沙七參數轉換的基礎上，若只省略3 個旋轉參數，可得到布爾莎四參數轉換模型：
式中，(XT，YT，ZT) 為新坐標系坐標;(XG，YG，ZG) 為原坐標系坐標;(dx，dy，dz)T 為坐標轉換時的3 個坐標平移參數;K 為縮放比例尺度參數。該模型只需要2 個公共點便可求解出轉換的平移參數。
4.5 平面四參數轉換
在一個橢球的不同坐標系中的平面坐標之間轉換轉換則會用到平面轉換。目前一般分為四參數和平面網格擬合兩種方法，以四參數法在國內用的較多。
四參數計算至少要有2個已知平面直角坐標點，四參數公式如下：
在該公式中有四個未知參數，即：
（1）兩個坐標平移量（△X，△Y），即兩個平面坐標系的坐標原點之間的坐標差值。
（2）平面坐標軸的旋轉角度A，通過旋轉一個角度，可以使兩個坐標系的X和Y軸重合在一起。
（3）尺度因子K，即兩個坐標系內的同一段直線的長度比值，實現尺度的比例轉換。通常K值幾乎等于1。
四參數的數學含義是：用含有四個參數的方程表示因變量（y）隨自變量（x）變化的規律。
具體實現過程中，一般不會只有兩個已知點，因此四參數求解出來之后，需要把X、Y的中誤差以及每個點的X殘差和Y殘差，如果殘差大于3倍中誤差則將該點剔除，重新計算四參數。
五、高程擬合
5.1 高程擬合簡介
通過GPS相對定位得到的三維基線向 量進行網平差， 可得到高精度的大地高，但在實際應用中采用的是正常高，大地高是以橢球面為基準的高程系統， 而正常高是以似大地水準面為基準。GPS數據處理需要確定各未知點的大地高 H與正常高程h之間的關系，然后，用一定方法將大地高H轉換為正常高h。大地高與正常高的關系為：
ξ ＝ H － h
式中， ξ 為高程異常。
顯然，能夠精確求出各未知點的高程異常ξ，就能夠通過大地高求出各點的正常高。精確計算各未知點的高程異常，主要有重力場模型和GPS高程擬合兩種方法。
小區域范圍內，常采用GPS高程擬合的方法計算GPS點的正常高，主要的擬合法有等值線圖示法、狹長帶狀區域線性擬合法、解析內插法、曲面擬合法（包含多項式曲線擬合法、平面擬合法、移動曲面法）、固定差改正法等。一般基于使用便捷的考慮，常用的GPS高程擬合方法有二次曲面擬合法、平面擬合和固定差改正。
5.2 二次曲面擬合法
5.3 平面擬合
在小區域內，利用平面逼近局部似大地水準面來代替曲面，設公共點的高程異常為ξi，相應平面坐標為（xi，yi） ，則有
計算方法與二次曲面擬合相同，只是至少需要３個公共點的高程異常ξi和平面坐標（xi，yi）來求解式中的３個未知參數。由于平面擬合法是利用平面局部逼近似大地水準面，該方法適合在小區域且較為平坦的范圍內使用。
5.4 固定差改正
固定差改正法高程平差計算是利用GPS計算的已知點大地高H與該點的正常高h，采用公式ξ＝H－h ，計算各已知點高程異常值ξ，然后取其平均值，作為未知點的高程異常值，從而利用h＝H－ξ來計算各個未知點的正常高。
固定差改正方法不夠嚴密，談不上是擬合高程，連最早的繪等值線圖法內插的精度都達不到。直接將未知點的自由網平差的高程全部統一減去一個常數（ 已 知點高程差值的算術平均值）而得到二維約束平差的高程，顯然得到的高程精度不會很高。
5.5 移動曲面擬合法
移動曲面擬合法是一種局部逼近法，其基本思想是以一個內插點為中心，利用內插點周圍數據點的值，建立一個擬合曲面，使其到各個數據點的距離之加權平方和為極小，而這個曲面在內插點上的值就是所求的內插值。
設P為內插的點，下面對P構造相應的曲面。本文取如下的二次多項式曲面為例：
設選取數據點的坐標為（xi，yi），i=1，2，…，n；n大于等于6且內插點P的坐標為（xp，yp），將（xi，yi）改化到以P為原點的局部坐標系中，即：形成新的坐標
為移動坐標。
任一點數據（xi，yi）假設距離d的遞減函數為：
將w（d）作為權函數，對每個數據點賦予權wi，這里wi不是代表數據點的觀測精度，而是反映該點與內插點的相關程度的大小，因此，權wi確定的原則應該是與該數據點和內插點的距離di有關，di越小，對內插點的影響越大，則權越大，反之同理。
最后，由最小二乘法解如下帶權的極小值問題：
為了給出下面這個二次多項式曲面
的系數，需要選取P點周圍的數據點。當點數不夠多時，則應擴大R的值。假設有n個數據點的值，可得到如下的方程式：
由此得系數ai=（i=1，2，…，n），從而得到所對應的的二次曲面方程，進而得到所求內插點的高程異常值。
5.6 中誤差評定
已知點高程中誤差是利用自由網平差中得到的高程減去已知點高程得到的差值，然后取其差值的算術平均值，再將各個已知點的差值減去該算術平均值，然后取其絕對值作為該已知點的高程中誤差。而未知點的高程中誤差評定是通過使用不同數量的已知高程控制點進行平差計算結果統計分析，最后得出未知點高程中誤差是采用已知點高程中誤差下式計算而得：
式中，M是未知點中誤差，單位為ｍｍ；V是已知點中誤差，單位為ｍｍ；n是已知點個數。從上式中可知：當只有１個已知高程點時，計算的未知點中誤差為 ０；有２個已知高程點時，計算的未知點中誤差就是已知點中誤差的平均數， 且已知點和未知點中誤差相同；有３個以上的已知高程點時，計算的未知點中誤差隨已知點數量的增加而減小。已知高程控制點數量越多精度越高。
參考鏈接：http://www.hydro-info.com/?p=518
總結
以上是生活随笔為你收集整理的墨卡托投影和高斯-克吕格 (Gauss-Krüger) 投影的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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