控制理論中的幾種穩定性介紹

• 李雅普諾夫意義下的穩定
• 漸近穩定
• 指數穩定
• UUB（Uniformly ultimately bounded）穩定
• 輸入-狀態穩定
• 輸入-輸出穩定

1、 李雅普諾諾夫意義下的穩定：
對于 $??>0$, $?\delta (t_0,?)>0$, 使得當 $\Vert x(t_0)\Vert <\delta (t_0,?)$ 時, 有： $\Vert x(t,t_0,x_0)\Vert <?$成立。則稱系統關于平衡狀態 $x=0$ 是李雅普諾夫意義下穩定的。
舉例：$\dot{x}=?\frac{e^{?t}}{e^{?t}+1}x$

2、 漸近穩定：
如果系統平衡狀態 $x_e=0$ 是李雅普諾夫意義下穩定的，且從任意有界鄰域 $S(\delta )$ 出發的任意狀態軌跡，當 $t$ 趨于無窮大時，該狀態軌跡都離不開 $S(\delta )$, 且收斂到 $0$, 則稱平衡狀態 $x_e=0$ 是漸近穩定的。
舉例：$\dot{x}=?\frac{1}{t+1}x$

3、指數穩定：
如果系統平衡狀態 $x_e=0$ 是漸近穩定的，且狀態軌跡收斂到平衡點的速度大于等于某個關于 $t$ 的指數函數，則稱平衡狀態 $x_e=0$ 是指數穩定的。
舉例：$\dot{x}=?x$

4、UUB（Uniformly ultimately bounded）穩定：
（評論區補充）

5、輸入-狀態穩定：
存在一個 $\mathcal{K}\mathcal{L}$ 類函數 $\beta$ 和一個 $\mathcal{K}$ 類函數 $\gamma$, 使對于 $?t_0$、$?x(t_0)$ 和任意有界輸入 $u(t)$, 解對于 $?t>t_0$ 都存在且滿足：
$\Vert x(t)\Vert \le \beta \left(\Vert x(t_0)\Vert ,t?t_0\right)+\gamma \left({\sup }_{t_0\le \tau \le t}\Vert u(\tau )\Vert \right)$, 那么系統的輸入-狀態穩定的。

6、輸入-輸出穩定：
對于有界的輸入信號，若系統所產生的輸出信號也是有界的，則稱系統是輸入輸出穩定的。

💡💡💡 注意💡💡💡
1、漸近穩定的系統一定是李雅普諾夫意義下穩定的；李雅普諾夫意義下穩定的系統不一定是漸近穩定的。
2、指數穩定是漸進穩定的一種，其收斂速度可以描述；漸近穩定的收斂速度可能很慢。
3、在線性定常系統下，系統內穩一定外穩，但是外穩不一定內穩。
4、對于輸入-狀態穩定(ISS)，無輸入情況下，針對完全能控能觀的線性系統，李雅普諾夫意義下穩定、輸入-輸出穩定、輸入-狀態穩定三者等價。而對于更一般的非線性系統，ISS是一個比一致漸進穩定性更嚴格的性質。

💡💡💡 Matlab2016-Simulink-仿真比較(程序可在CSDN獲取，搜索"simulink仿真20210408")💡💡💡

總結

以上是生活随笔為你收集整理的控制理论中的几种稳定性介绍的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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