在數學和自動控制領域中，李雅普諾夫穩定性（英語：Lyapunov stability，或李亞普諾夫穩定性）可用來描述一個動力系統的穩定性。如果此動力系統任何初始條件在?{\displaystyle x_{0}}轉存失敗重新上傳取消?附近的軌跡均能維持在?{\displaystyle x_{0}}轉存失敗重新上傳取消?附近，那么該系統可以稱為在{\displaystyle x_{0}}轉存失敗重新上傳取消處李雅普諾夫穩定。

若任何初始條件在?{\displaystyle x_{0}}轉存失敗重新上傳取消?附近的軌跡最后都趨近{\displaystyle x_{0}}轉存失敗重新上傳取消，那么該系統可以稱為在{\displaystyle x_{0}}轉存失敗重新上傳取消處漸近穩定。指數穩定可用來保證系統最小的衰減速率，也可以估計軌跡收斂的快慢。[1]

李雅普諾夫穩定性可用在線性及非線性的系統中。不過線性系統的穩定性可由其他方式求得，因此李雅普諾夫穩定性多半用來分析非線性系統的穩定性。李亞普諾夫穩定性的概念可以延伸到無限維的流形，即為結構穩定性，是考慮微分方程中一群不同但“接近”的解的行為。輸入-狀態穩定性（ISS）則是將李雅普諾夫穩定性應用在有輸入的系統。

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目錄

• 1歷史
• 2連續時間系統下的定義
• 3迭代系統下的定義
• 4李雅普諾夫穩定性理論
  • 4.1李雅普諾夫穩定性第二定理
• 5線性系統狀態空間模型的穩定性
• 6有輸入值系統的穩定性
• 7相關條目
• 8參考資料
• 9外部鏈接

歷史[編輯]

這一穩定性以俄國數學家亞歷山大·李亞普諾夫命名，他在1892年發表了他的博士論文《運動穩定性的一般問題》，文中給出了穩定性的科學概念、研究方法和相關理論。李雅普諾夫考慮到針對非線性系統修改穩定理論，修正為以一個穩定點線性化的系統為基礎的線性穩定理論。他的作品最初以俄文發行，后翻譯為法文，但多年來默默無聞。人們對它的興趣突然在冷戰初期（1953至1962年）開始，因當所謂的“李雅普諾夫第二方法”被認為適用于航空航天制導系統的穩定性，而這系統通常包含很強的非線性，其他方法并不適用。大量的相關出版物自那時起開始出現，并進入控制系統文獻中。最近李雅普諾夫指數的概念（與李雅普諾夫穩定性第一種方法）引起了廣泛興趣，并與混沌理論結合了起來。

連續時間系統下的定義[編輯]

給定一個完備的賦范向量空間E（例如{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}轉存失敗重新上傳取消），設U是E的開子集。考慮一個自治的非線性動力系統：

{\displaystyle {\dot {x}}=f(x(t)),\;\;\;\;x(t_{0})=x_{0}}轉存失敗重新上傳取消,

其中{\displaystyle x(t)\in U}轉存失敗重新上傳取消是系統的狀態向量，{\displaystyle f:U\rightarrow E}轉存失敗重新上傳取消是U上的連續函數。

假設函數f有一個零點：f(a) =?0，則常數函數：x = a是動力系統的駐定解（或稱平衡解）。稱a是動力系統的平衡點。

稱點a李雅普諾夫穩定（簡稱穩定），如果對每個{\displaystyle \epsilon >0}轉存失敗重新上傳取消，均存在{\displaystyle \delta =\delta (\epsilon )>0}轉存失敗重新上傳取消，使得對所有滿足{\displaystyle \|x_{0}-a\|<\delta }轉存失敗重新上傳取消的{\displaystyle x_{0}}轉存失敗重新上傳取消，只要{\displaystyle t\geqslant t_{0}}轉存失敗重新上傳取消，就有{\displaystyle \|x(t)-a\|<\epsilon }轉存失敗重新上傳取消。

稱點a漸近穩定，如果點a李雅普諾夫穩定，且存在{\displaystyle \delta >0}轉存失敗重新上傳取消，使得對所有滿足?{\displaystyle \|x_{0}-a\|<\delta }轉存失敗重新上傳取消?的{\displaystyle x_{0}}轉存失敗重新上傳取消，{\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }x(t)=a}轉存失敗重新上傳取消。

稱點a指數穩定，如果點a漸近穩定，且存在?{\displaystyle \alpha ,\beta ,\delta >0}轉存失敗重新上傳取消?使得對所有滿足{\displaystyle \|x_{0}-a\|<\delta }轉存失敗重新上傳取消的{\displaystyle x_{0}}轉存失敗重新上傳取消，只要{\displaystyle t\geqslant t_{0}}轉存失敗重新上傳取消，就有{\displaystyle \|x(t)-a\|\leq \alpha \|x_{0}-a\|e^{-\beta t}}轉存失敗重新上傳取消。

它們的直觀幾何意義是：

平衡點為李雅普諾夫穩定的，表示若動力系統狀態函數（微分方程的解函數）的初值“足夠接近”平衡點，則它會永遠維持在平衡點附近任意小的范圍里（距平衡點的距離不超過任意選擇的正實數?{\displaystyle \epsilon }轉存失敗重新上傳取消）。

漸近穩定的意思是，初值足夠接近平衡點的狀態函數，不但維持在平衡點附近，而且最后會收斂到平衡點。

指數穩定的意思是，狀態函數不但最后會收斂到平衡點，且收斂速度不慢于某種指數遞減的速度。

設有狀態函數x，其初始取值為{\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}轉存失敗重新上傳取消。稱{\displaystyle {\bar {x}}=\{x(t);\;t\geqslant t_{0}\}}轉存失敗重新上傳取消為x的軌跡。如果對所有初始值與x足夠接近的狀態函數y，兩者的軌跡會趨于相同：

{\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|y(t)-x(t)\|\longrightarrow 0.}轉存失敗重新上傳取消

則稱x的軌跡有（局部）吸引性（attractive）。若上述條件對所有y均成立，則稱x有全局吸引性（globally attractive）。

如果x的軌跡有吸引性，并且穩定，則x漸近穩定。不過，x有吸引性不表示它的軌跡漸近穩定。

迭代系統下的定義[編輯]

離散時間系統下穩定性的定義和連續時間系統下的定義幾乎相同。以下為其定義，不過使用的是較多數學書籍上使用的定義。

給定度量空間{\displaystyle (X,d)}轉存失敗重新上傳取消。設{\displaystyle f\colon X\to X}轉存失敗重新上傳取消為一連續函數。稱點{\displaystyle a\in X}轉存失敗重新上傳取消為李雅普諾夫穩定，如果對任意{\displaystyle \epsilon >0}轉存失敗重新上傳取消，都存在{\displaystyle \delta >0}轉存失敗重新上傳取消，使得只要{\displaystyle x\in X}轉存失敗重新上傳取消滿足{\displaystyle d(x,a)<\delta }轉存失敗重新上傳取消，就有

{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;\;d(f^{n}(x),f^{n}(a))<\epsilon .}轉存失敗重新上傳取消

稱點a漸近穩定，如果a是李雅普諾夫穩定的點，而且在穩定點集合的內部，即存在{\displaystyle \delta >0}轉存失敗重新上傳取消，使得只要{\displaystyle x\in X}轉存失敗重新上傳取消滿足{\displaystyle d(x,a)<\delta }轉存失敗重新上傳取消，就有

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }d(f^{n}(x),f^{n}(a))=0}轉存失敗重新上傳取消

李雅普諾夫穩定性理論[編輯]

對于微分方程解之穩定性的研究稱為穩定性理論。而李雅普諾夫穩定性定理只提供了穩定性的充份條件。

李雅普諾夫穩定性第二定理[編輯]

考慮一個函數?V(x)?:?Rn?→?R?使得

• {\displaystyle V(x)\geq 0}轉存失敗重新上傳取消?只有在?{\displaystyle x=0}轉存失敗重新上傳取消?處等號成立（正定函數）
• {\displaystyle {\dot {V}}(x(t))<0}轉存失敗重新上傳取消?（負定）

則V(x)稱為李雅普諾夫候選函數（Lyapunov function candidate），且系統（依李雅普諾夫的觀點）為漸近穩定。

上式中?{\displaystyle V(0)=0}轉存失敗重新上傳取消?是必要的條件。否則，{\displaystyle V(x)=1/(1+|x|)}轉存失敗重新上傳取消可以用來“證明”?{\displaystyle {\dot {x}}(t)=x}轉存失敗重新上傳取消有區域性穩定。另一個稱為徑向無界性（radial unboundedness）的條件則是用來得到全域漸近穩定的結果。

此種分析方式可類比為考慮一物理系統（如彈簧及質量的系統）及其中的能量。若系統能量隨時間遞減，且減少的能量不會恢復，而此系統最后一定會靜止于某個特定的狀態。最后的狀態稱為吸引子。不過針對一個物理系統，找到表達其精確能量的函數不一定容易，而且針對抽象數學系統、經濟系統或生物系統，上述能量的概念又不一定適用。

利用李雅普諾夫的分析方式，可在不知道系統實際能量的情形下，證明系統的穩定性。不過前提是可以找到滿足上述限制的李雅普諾夫函數。

例如考慮以下的系統

{\displaystyle {\dot {x}}=-x^{3}\,}轉存失敗重新上傳取消

希望用李雅普諾夫函數來確認{\displaystyle x=0\,}轉存失敗重新上傳取消附近的穩定性。令

{\displaystyle V(x)=0.5x^{2}\,}轉存失敗重新上傳取消

{\displaystyle V(x)}轉存失敗重新上傳取消本身為正定函數．而V(x)的導函數如下

{\displaystyle {\dot {V}}(x(t))={\partial V \over \partial x}(-x^{3})=-x^{4}\,}轉存失敗重新上傳取消

為負定函數，因此上述系統在{\displaystyle x=0\,}轉存失敗重新上傳取消附近為漸近穩定。

線性系統狀態空間模型的穩定性[編輯]

一個線性的狀態空間模型

{\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}=A{\textbf {x}}}轉存失敗重新上傳取消

為漸近穩定（其實是指數穩定），若

{\displaystyle A^{T}M+MA+N=0}轉存失敗重新上傳取消

的解存在。

其中?{\displaystyle N=N^{T}>0}轉存失敗重新上傳取消?且?{\displaystyle M=M^{T}>0}轉存失敗重新上傳取消?（正定矩陣）。（對應的李雅普諾夫函數為{\displaystyle V(x)=x^{T}Mx}轉存失敗重新上傳取消）

有輸入值系統的穩定性[編輯]

一個有輸入（或受控制）的系統可以下式表示

{\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}={\textbf {f(x,u)}}}轉存失敗重新上傳取消

其中輸入 u(t) 可視為控制、外部輸入、擾動、刺激或外力。這種系統的研究是控制理論研究的主題之一，也應用在控制工程中。

對于有輸入的系統，需量化輸入對系統穩定性的影響。在線性系統中會用BIBO穩定性來作分析的工具，在非線性系統中則會使用輸入-狀態穩定性。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的李雅普诺夫稳定性的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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