我們先看一下穩定性，看下面的這幅圖

A,B,C三個點都是平衡點，把小球放在三個點上，都不會動，A點和C點的區別就是C點是有摩擦的。如果我們讓A點的小球小球偏離A點，小球就會無休止的擺下去，如果讓B點的小球偏離，則小球永遠不會回到B點，如果讓C點的小球偏離，因為有摩擦力，偏離平衡點之后，最終小球會逐漸的回到C點。所以我們稱A，C點是穩定點，B點不是一個穩定點。

在這里，提出一個不嚴謹的說法：一個穩定系統，在離開平衡點后的反應隨時間衰減，至少不增加。

下面給出一個嚴謹的數學表達，先看幾個符號：
$?:$ for all，對于任意給定
$?:$ at least one，至少存在一個
$||?||:$ norm，范數，可以認為是歐式距離，$||x||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}$
定義：李雅普諾夫意義下的穩定性
$${?}_{t_0},??>0,?\delta (t_0,?):||x(t_0)||<\delta (t_0,?)??t\ge t_0,||x(t)||\le ?$$

定義：漸進穩定性
$$?\delta (t_0)>0:||x(t_0)||<\delta (t_0)?\underset{x\to \infty }{\lim }||x(t)||=0$$

上面的兩個定義比較晦澀，下面這兩幅圖更容易看懂一些。假設有一個二維系統$\dot{x}=f(x_1,x_2)$，我們把它畫在下面的二維系統中，半徑分別為$\delta ，?$的兩個圓，如果初始狀態都在小圓內（D點和E點），李雅普諾夫下的穩定性是指最終穩定在大圓之內，漸進穩定性是指最終會回到原點。

LTI系統

之前提到的可以通過判斷$\dot{x}=Ax$中的A矩陣的特征值判斷穩定性，假設特征值$\lambda =a+bi$，在這里李雅普諾夫下的穩定性就是指所有的特征值只有非正的實部（$a\le 0$），漸進穩定性是指所有特征值只有負實部（$a<0$）。只要有一個特征值大于0就是不穩定的系統。

非線性系統

求解微分方程可以判斷系統穩定性，但比較難，李雅普諾夫方法不用求解微分方程，也可以判斷穩定性。
如果$\dot{x}=f(x_0)$，$x=0$是平衡點。
case1：
（i）$V(0)=0$
（ii）$V(x)\ge 0inD?\{0\}$，不包括0的定義域
（iii）$\dot{V}(x)\le 0inD?\{0\}$
我們稱$x=0$是一個穩定的平衡點。
case2：
（i）$V(0)=0$
（ii）$V(x)>0inD?\{0\}$
（iii）$\dot{V}(x)<0inD?\{0\}$
我們稱$x=0$是一個漸進穩定的平衡點。

這里有兩個概念：PSD（positive semi definition）半正定，NSD（negative semi definition）半負定。

舉例LTI系統

看一個彈簧阻尼系統

這樣的一個LTI系統的微分方程是

$$m\ddot{x}+B\dot{x}+Kx=0$$

寫成狀態方程的形式就是

$$\left[\begin{array}{c}\dot{z_1}\\ \dot{z_2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ ?\frac{K}{m}& ?\frac{B}{m}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\end{array}\right]$$

平衡點是$z_1=z_2=0$。

我們可以用矩陣特征值的性質來判斷一下矩陣特征值的符號，我們知道

$${\lambda }_1+{\lambda }_2=0+(?\frac{B}{m})=?\frac{B}{m}<0$$

$${\lambda }_1\times {\lambda }_2=|A|=\frac{k}{m}>0$$

由上面的兩個公式可以推出${\lambda }_1,{\lambda }_2<0$，系統穩定。從實際中也可以知道，無論彈簧的初始狀態怎么樣，彈簧雖然會震蕩，但最終會穩定。

舉例非線性系統

假設上面的彈簧擁有了這樣的性質

$$f_k=k{x}^3$$

系統就變成了下面這種形式

$$m\ddot{x}+B\dot{x}+k{x}^3=0$$

我們可以設$V=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+\frac{1}{4}k{x}^4$，這個公式滿足$V(0)=0,V>0$在$D?\{0\}$，所以$V$是一個正定函數。再看一下$\dot{V}$。

$$\dot{V}=m\dot{x}\ddot{x}+k{x}^3\dot{x}=m\dot{x}(?\frac{k{x}^3}{m}?\frac{B\dot{x}}{m})+k{x}^3\dot{x}=?k{x}^3\dot{x}?B{\dot{x}}^2+k{x}^3\dot{x}=?B{\dot{x}}^2<0$$

$\dot{V}$是一個負定的函數，符合上面的case2的情況，系統是一個漸進穩定的系統。這里面比較難的是如何尋找李雅普諾夫函數，這是一個有技巧性的東西。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的现代控制理论-6李雅普诺夫稳定性的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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