Lyapunov穩(wěn)定性分析3（離散時間系統(tǒng)）

• • 一、李雅普諾夫穩(wěn)定性判定
  • • 1.1 *Lyapunov*兩類穩(wěn)定性方法分析：
    • 1.2 總結(jié)：
  • 二、舉例
  • • 2.1 MATLAB函數(shù)形式：
    • 2.2 MATLAB函數(shù)實(shí)例：
  • 三、離散Lyapunov方程的解

注：Lyapunov穩(wěn)定性理論主要內(nèi)容：李雅普諾夫第一方法和第二方法，本篇文章繼續(xù)上一篇分析線性離散時間系統(tǒng)穩(wěn)定性，非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性將單獨(dú)寫文章進(jìn)行分析！敬請關(guān)注，謝謝~

一、李雅普諾夫穩(wěn)定性判定

1.1 Lyapunov兩類穩(wěn)定性方法分析：

（1）Lyapunov漸近穩(wěn)定的充要條件（第一方法）：A的特征值模均小于1；
（2）Lyapunov漸近穩(wěn)定的充要條件（第二方法）：對于任意的正定矩陣Q，存在**正定矩陣P**滿足Lyapunov方程：

證明：
和連續(xù)時間系統(tǒng)一樣，取Lyapunov函數(shù)為：

則有


與連續(xù)時間系統(tǒng)一樣，令：

即為Lyapunov方程，則：

只要Q正定，Lyapunov函數(shù)變化率為負(fù)數(shù)，能量隨著時間增加肯定逐漸減小至收斂。和連續(xù)時間系統(tǒng)一樣，一般也是先確定Q，然后求解Lyapunov方程，最后找到正定的P，Q一般取單位陣。

1.2 總結(jié)：

二、舉例

2.1 MATLAB函數(shù)形式：

注意：
同連續(xù)時間系統(tǒng)Lyapunov穩(wěn)定性一樣，這里只求解開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，只分析系統(tǒng)矩陣A，還沒有涉及到閉環(huán)系統(tǒng)反饋矩陣K以及閉環(huán)狀態(tài)狀態(tài)矩陣A_cl=(A-BK)

2.2 MATLAB函數(shù)實(shí)例：

eg1. 確定二階系統(tǒng)在原點(diǎn)處的穩(wěn)定性


在Lyapunov方程中，取Q =I，得

>> P=[52/27 40/27;40/27 100/27]P =1.9259 1.48151.4815 3.7037

用MATLAB函數(shù)dlyap()

>> A=[0 0.5;-0.5 1];Q=eye(2,2)Q =1 00 1>> P=dlyap(A',Q)P =1.9259 -1.4815-1.4815 3.7037

從而系統(tǒng)在原點(diǎn)的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。

eg2. 求線性定常離散時間系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件

eg3. 求線性定常離散時間系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件

>> eig(A) ans =11

A的特征值模均等于1；所以該系統(tǒng)不穩(wěn)定，Lyapunov方程無解。

>> A=[0.99 0;0 0.99];Q=eye(2,2);dlyap(A',Q)ans =50.2513 00 50.2513>> eig(A) ans =0.99000.9900

A的特征值模均等于1；所以該系統(tǒng)穩(wěn)定，Lyapunov方程有解。

三、離散Lyapunov方程的解

形式

區(qū)別：與第一、二章的區(qū)別在于在Q的基礎(chǔ)上加了K^TRK

>> AA =1.1000 2.00000 0.9500>> BB =00.0790>> QQ =1 00 1>> RR =0.1000

先用離散dlqr()函數(shù)求解最優(yōu)反饋增益矩陣K

[K,P,r] = dlqr(A,B,Q,R) K =2.4950 12.5106P =4.0373 8.52268.5226 31.5400r =0.5308 + 0.2651i0.5308 - 0.2651i

① 根據(jù)lyapunov方程可知閉環(huán)系統(tǒng)矩陣Q2=Q+K^TRK
② 再求解閉環(huán)系統(tǒng)矩陣Acl

>> Acl=A-B*K Acl =1.1000 2.0000-0.1971 -0.0383>> eig(Acl) ans =0.5308 + 0.2651i0.5308 - 0.2651i

閉環(huán)系統(tǒng)矩陣特征值在單位圓內(nèi)，所以系統(tǒng)穩(wěn)定
再來求解Lyapunov方程P

>> P=dlyap(Acl',Q2) P =4.0373 8.52268.5226 31.5400

再求解反饋矩陣Kmpc

Q_ =1.0000 0 0 0 0 0 0 00 1.0000 0 0 0 0 0 00 0 1.0000 0 0 0 0 00 0 0 1.0000 0 0 0 00 0 0 0 1.0000 0 0 00 0 0 0 0 1.0000 0 00 0 0 0 0 0 4.0373 8.52260 0 0 0 0 0 8.5226 31.5400>> K_=(Fai'*Q_*Fai+R_)^(-1)*Fai'*Q_*FK_ =2.4950 12.51060.2785 4.5107-0.5822 0.3856-0.7165 -1.1786

發(fā)現(xiàn)第一個k跟dlqr()求出的結(jié)果相同

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Lyapunov稳定性分析3（离散时间系统）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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